1、第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,1.命题,陈述句,陈述句,真命题、假命题,2.四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系：,若q,则p,若 p,则 q,若 q,则 p,（2）四种命题中的等价关系：原命题等价于_，否命题等价于_，在四种形式的命题中真命题的个数只能是_.,逆否命题,逆命题,0或2或4,3充要条件(1)相关概念：,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,(2)集合与充要条件:,真子集,真子集,A=B,包含,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）若原命题“若p，则q”为真，则在这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数是1.（
2、）（2）已知命题“若p成立且q成立，则r成立”，则其逆否命题是“若r不成立，则p 不成立且q不成立”.（ ）（3）命题“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”（ ）（4）已知集合A,B，则AB=AB的充要条件是A=B（ ）,【解析】（1）错误原命题为真时，如果逆命题也为真，则否命题、逆否命题均为真（2）错误“p成立且q成立”的否定是“p不成立或者q不成立”（3）正确根据命题与其逆否命题等价可得（4）正确充分性是显然的，只要结合Venn图即可判定必要性答案：（1） （2） （3） （4）,1有以下命题：集合N中最小的数是1；若-a不属于N，则a属于N；若aN,bN,则a+b的最小值
3、为2；x2+1=2x的解可表示为1,1其中真命题的个数为( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）3,【解析】选A假命题，集合N中最小的数是0；假命题，如a= 假命题，如a=0,b=0；假命题，1,1与集合元素的互异性矛盾,2有以下命题：“若x+y=0，则x,y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题； “若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题 其中真命题为( )（A） （B） （C） （D）,【解析】选C的逆命题是“若x,y互为相反数，则x+y=0”，为真命题；的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，为假命题；的逆否命题是“若x
4、2+2x+q=0没有实根，则q1”，为真命题；的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，为假命题,3.设a,b是向量，命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( )(A)若a-b,则|a|b| (B)若a=-b,则|a|b|(C)若|a|b|,则a-b (D)若|a|=|b|,则a=-b【解析】选D.原命题的条件是a=-b，作为逆命题的结论，原命题的结论是|a|=|b|,作为逆命题的条件，即得逆命题“若|a|=|b|,则a=-b”，故选D.,4.已知p:-4k0，q:函数y=kx2-kx-1的值恒为负，则p是q成立的( )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件
5、（D）既不充分也不必要条件【解析】选A-4k0k0,=k2+4k0；函数y=kx2-kx-1的值恒为负，不一定有-4k0，如k=0时，函数y=kx2-kx-1的值恒为负，即pq，而qp.,5设aR，则a1是 的( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【解析】选Aa1，则 条件充分；反之不真，如a=-1,6“ ”是“cos cos ”的( )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【解析】选B问题等价于判定cos =cos 是=成立的何种条件，显然是必要不充分条件,考向 1 命题及其相互关系 【典例1】（1
6、）（2012湖南高考）命题“若 则tan =1”的逆否命题是( )（A）若 则tan 1（B）若 则tan 1（C）若tan 1,则（D）若tan 1,则,（2）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是( )（A）若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数,【思路点拨】(1）把否定的结论作条件、否定的条件作结论即可得出（2）条件的否定作条件、结论的否定作结论即可得出,【规范解答】（1）选C.原命题的逆否命题是“若tan 1,则 ”，故
7、选C.(2)选B.条件的否定是“f(x)不是奇函数”，结论的否定是“f(-x)不是奇函数”，故该命题的否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数”,【拓展提升】否定的方法（1）一些词语及其否定：（2）在根据原命题构造其否命题和逆否命题时，首先要把条件和结论分清楚，其次把其中的关键词搞清楚【提醒】否定时注意易混的关键词，如“都不是”和“不都是”，其中“都不是”是指的一个也不是，“不都是”指的是其中有些不是,【变式训练】已知：命题“若函数f(x)=ex-mx在（0,+)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是( )（A）否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数，则m1
8、”，是真命题（B）逆命题是“若m1，则f(x)=ex-mx在(0,+)上是增函数”，是假命题,（C）逆否命题是“若m1，则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上是减函数”，是真命题（D）逆否命题是“若m1，则函数f(x)=ex-mx在(0,+)上不是增函数”，是真命题,【解析】选Df(x)=ex-m0在(0,+)上恒成立，即mex在(0,+)上恒成立，故m1，这说明原命题正确；反之若m1，则f(x)0在(0,+)上恒成立，故逆命题正确增函数的否定是“不是增函数”结合选项知选D,考向 2 充分条件、必要条件的判断 【典例2】（1）（2013湛江模拟）lg x,lg y,lg z成等差数列是y2=
9、xz成立的( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件,（2）（2012天津高考）设R,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的( )（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件,【思路点拨】（1）利用对数的性质、等差数列的性质及充分条件、必要条件的概念进行判断即可（2）根据三角函数性质，条件的充分性是显然的，只要根据偶函数的定义，在函数f(x)=cos(x+)(xR)是偶函数的条件下求出值，然后根据必要条件的概念判断即可,【规范解答】（1）选A.若lg x,lg y,lg z成等差数列，则
10、lg x+lg z=2lg y,即xz=y2,反之，当x=-2,z=-8,y=4时，满足y2=xz,但lg x与lg z无意义，故lg x,lg y,lg z成等差数列是y2=xz成立的充分不必要条件.,(2)选A方法一:=0时，f(x)=cos x，此时f(-x)=cos(-x)=cos x=f(x)对任意实数x恒成立，函数f(x)是偶函数，即=0f(x)=cos(x+)为偶函数；当f(x)=cos(x+)为偶函数时，根据三角函数的诱导公式，只要=k（kZ），则f(x)=cos x或者f(x)=-cos x，此时函数f(x)是偶函数，但=0只是其中的一个值，所以f(x)=cos(x+)为偶函
11、数时，不一定等于零所以“=0”是“函数f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的充分而不必要条件,方法二:=0f(x)=cos(x+)为偶函数同方法一；当f(x)=cos(x+)为偶函数时，根据偶函数的定义，对任意实数x恒有f(-x)=f(x)，即cos(-x+)=cos(x+)对任意实数x恒成立，即cos xcos +sin xsin =cos xcos -sin xsin 对任意实数x恒成立，即sin xsin =0对任意实数x恒成立，,其充要条件是sin =0，即=k(kZ)，即函数f(x)=cos(x+)为偶函数的的集合是|=k,kZ由于=0只是这个集合中的一个元素，故“=0”是“函
12、数f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的充分而不必要条件,【拓展提升】充要条件的三种判断方法（1）定义法：即根据pq,qp进行判断（2）集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的充要条件转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或者y1”的何种条件，即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件,【变式训练】（1）若非空集合A,B,C满足AB=C，且B不是A的子集，则( )(A)“xC”是“xA”的充分不必要条件(B)“xC”是“xA”的必要不充分条件(C)“xC
13、”是“xA”的充要条件(D)“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”的必要条件,（2）“ ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的( )（A）充分不必要条件 （B）充要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件,【解析】（1）选BAB=C，且B不是A的子集，说明集合CA.又AAB=C,即集合AC，这说明集合A的元素都在集合C中，但集合C中的元素至少有一个不在集合A中，结合选项可知正确选项为B（2）选A一元二次方程x2+x+m=0有实数解时m满足1-4m0，即 故 反之不成立，所以“ ”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件,考向3 充分条件、必要条件的探
14、究与证明【典例3】已知集合M=x|x-3或x5，P=x|(x-a)(x-8)0.（1）求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的充要条件.（2）求实数a的一个值，使它成为MP=x|5x8的一个充分不必要条件.,【思路点拨】（1）只要求出集合P，使MP=x|5x8，此时的a的取值范围即为所求（2）只要在（1）中求出的实数a的取值范围内找到一个a值，破坏其中的必要性即可,【规范解答】（1）由 MP=x|5x8，结合集合M，P可得-3a5.故-3a5是MP=x|5x8的必要条件.下面证明这个条件也是充分的.证明：当-3a5时，集合P=x|ax8，集合M=x|x-3或x5，故MP=x|5x8.综上
15、可知，-3a5是MP=x|5x8的充要条件.,（2）求实数a的一个值，使它成为MP=x|5x8的一个充分不必要条件，就是在集合a|-3a5中取一个值，如取a=0，此时必有MP=x|5x8；反之，MP=x|5x8未必有a=0，故a=0是MP=x|5x8的一个充分不必要条件.,【互动探究】本例中条件不变,求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的一个必要不充分条件.【解析】求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的一个必要不充分条件就是另求一个集合Q满足所述条件，故a|-3a5是集合Q的一个真子集.当a|a5时，未必有MP=x|5x8，但是MP=x|5x8时，必有a5，故a|a5是所求的一
16、个必要不充分条件.,【拓展提升】充要条件的证明方法在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时，其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明的这类试题一般有两种设置格式（1）证明：A成立是B成立的充要条件，其中充分性是AB，必要性是BA.（2）证明：A成立的充要条件是B，此时的条件是B，故充分性是BA，必要性是AB,【提醒】在分充分性与必要性分别进行证明的试题中，需要分清充分性是证什么，必要性是证什么；在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明,【变式备选】已知ab0，证明a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0【解析】先证充分性：若a3+b3+ab-a2-b2=0
17、，则(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,所以(a+b-1) =0，由ab0得a+b-1=0，所以a+b=1成立，充分性得证,再证必要性：若a+b=1，则由以上对充分性的证明知a3+b3+ab-a2-b2=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0，故必要性得证.综上知，a+b=1成立的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.,【易错误区】混淆充分性与必要性致误【典例】（2013东莞模拟）已知a,bR,则“log3alog3b”是“ ”的( )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【误区警示】本题易由 得出ab后，错误地认为 从而作出错误的判断.
18、,【规范解答】选A由log3alog3b,得ab0,从而 但当a=-1,b=-2时，有 而log3a与log3b没有意义，所以,【思考点评】条件、结论的相对性充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”、哪个是“结论”，从语文的角度好理解，如“A是B成立的条件”，其中A是条件；“A成立的条件是B”，其中B是条件.其实只要把条件简化为“A是条件”“条件是B”就行了，然后再根据充分条件、必要条件的概念进行判断,1.(2013中山模拟）有以下命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB
19、，则AB”的逆否命题其中真命题为( )（A） （B） （C） （D）,【解析】选D中逆命题为：“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；中否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形”，是真命题；中原命题是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；中原命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题,2.（2013惠州模拟）已知命题“函数f(x)，g(x)定义在R上，h(x)=f(x)g(x)，如果f(x)，g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）3,【解析】选C由f(x)，g(x)均为奇函数可得h(x)=f(x)
20、g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)=x2是偶函数，但函数 都不是奇函数，故逆命题不正确.根据命题的等价关系其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确故选C,3.（2013广州模拟）若aR,则“a=4”是“ ”的( )（A）充分不必要条件（B）充要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分又不必要条件【解析】选A.当a=4时， 当 时，则a=4,故“a=4”是“ ”的充分不必要条件.,4.（2012山东高考）设a0且a1，则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不
21、必要条件,【解析】选A.因为函数f(x)=ax在R上是减函数，所以00,即a2.转化为若0a1,则a2，而若a2推不出0a1.所以“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件.,5. （2013茂名模拟）设a,bR，则“a1且0b1”是“a-b0且 ”的( )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件,【解析】选A显然ab0，故a1且0b1a-b0且 反之，a-b0且 ab且 ab且b0,推不出a1且0b1故“a1 且0b1”是“a-b0且 ”的充分不必要条件,1.命题“若函数f(x)=logax(
22、a0,a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是( )(A)若loga20，则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数(B)若loga20，则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内不是减函数,（C）若loga20，则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数（D）若loga20，则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定义域内是减函数,【解析】选A小于0的否定是不小于0，即大于或者等于0，故原命题结论的否定是loga20，这是逆否命题的条件；是减函数的否定为不是减函数，即函数f(x)=logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数，这是逆否命题的结论结合选项选A,2 设M,N是两个集合，则“MN ”是“MN ”的( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件,【解析】选B方法一:MN 时，显然M,N均不是空集，此时一定有MN ，故条件是必要的；但当MN 时，集合M,N未必有公共元素，故条件不是充分的方法二：逆否命题是：若MN= ，则MN= .当MN= 时，M,N可以是空集，也可以不是空集，所以MN不一定是空集，故条件不充分；当MN= 时，M=N= ，所以一定有MN= ，故条件是必要的.,
