1、1,第三章 测量误差分析及处理,第一节 误差的来源与分类第二节 系统误差第三节 随机误差第四节 可疑测量数据的剔除第五节 随机误差的计算第六节 传递误差 第七节 有效数字与计算方法 第八节 试验数据的图示法第九节 回归分析与经验公式,一、误差的来源与误差的概念,第一节 误差的来源与分类,误差：测量值与真值之差。 真值：一个量严格定义的理论值通常叫理论真值.,在任何测量中都存在误差，故对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。,当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值，这并不能认为不存在测量误差。可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差
2、。,二、误差的定义及表示法,误差可用绝对误差和相对误差表示,绝对误差测量值-真值,绝对误差 绝对误差 相对误差 真值 测量值,绝对误差和相对误差均可为正值或负值。,客观真实值（未知）,绝对误差和相对误差均可为正值或负值。,二、误差测量的分类,1.系统误差在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差。可以对它们加以控制或者对测量结果修正，从而消除系统误差。在正确的测量结果中不应包括系统误差。,分为系统误差、随机误差和过失误差三大类。,2.随机(偶然)误差受未知或微小因素综合影响，出现与否以及它们的影响程度都难以确定，无法加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中。若测
3、量次数足够多，随机误差的算术平均值将逐渐接近于零，且完全服从统计规律。,主要有以下因素引起：,零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。,温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。,瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。, 测量装置方面的因素, 环境方面的因素, 人为方面的因素,3.过失误差是一种显然与事实不符的误差。主要由测量者粗枝大叶、过度疲劳或操作不正确等引起。无规则可寻，只要多方正意，细心操作，过失误差就可以避免。含过失误差的测量结果不能采用。, 测量人员的主观原因,测量者工作责任感不强、工作过于疲劳、缺乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔细等，造成错误的读数或记录
4、。,测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动、电磁干扰等）。, 客观外界条件的原因,产生过失(粗大)误差例子 ：雷电干扰,一、系统误差的分类,第二节 系统误差,系统误差是测量中按一定规律变化的误差。,仪器误差: 测量仪器本身不完善或老化。 安装误差: 测量仪器安装和使用不正确。 环境误差: 环境条件，温度、湿度、电磁场等与仪器使用规定的条件不符。 方法误差: 测量方法或计算方法不当，测量和计算所依据的理论本身不完善等。 操作误差: 也称人为误差。观察位置不对或操作错误等。 动态误差: 在测量迅变量时，仪器指示系统的自振频率、阻尼以及与被测瞬变量之间的关系而产生的振幅和相位误差。,二、消除系统误
5、差的方法,（1）所用基、标准件准确可靠。 （2）所用仪器经过检定。 （3）仪器调整、测件安装定位和支承装卡正确合理。 （4）所用测量方法和计算方法正确，无理论误差。 （5）测量场所的环境条件符合规定要求。 （6）测量人员无主观误差等。,1.消除产生系统误差的根源测量前对可能产生系统误差的环节分析，严格按测量仪器使用环境，测量前后均做零位检查，长期未使用的要进行标定，测量环境急剧改变时要应停止测量。,2.用修正方法消除系统误差预先将系统误差检定或计算出来，制作误差或校正曲线，对测量结果进行修正。,（3）预检法 ：将测量仪器与较高精度的基准仪器对同一物理量进行多次重复测量。设测量仪器读数的平均值为
6、L，基准仪器读数的平均值为L0，则= L-L0作为测量仪器在对该物理量测量时的系统误差。,（1）交换抵消法 ：将测量中某些条件相互交换，使产生系统误差的原因相互抵消。,（2）替代消除法 ：用一个精度较高的已知量，取代被测量，而使测量仪器的指示值保持不变。被测量即等于该已知量。,三、系统误差的综合,1.代数综合法若能估计出各系统误差分量i的大小和符号，总系统的误差。,绝对误差：,相对误差：,2.算术综合法若只能估算i的大小，不能确定符号时，将各分量的绝对值相加。,绝对误差：,相对误差：,如果误差分量较多(n较大)，此法会把总的误差估计过大。,3.几何综合法当误差分量较多时，用几何综合法(均方根法
7、),绝对误差：,相对误差：,例2 计算使用压力表测量液体(水)管道中压力时的系统误差。,h0.05m。,压力表准确度为0.5级。量程为0600kPa。,表盘刻度分度值为2kPa/1格，测量时指示压力读数为300kPa，读数时指针来回摆动1格；,使用条件仅环境温度高于标准值（即203）10，该压力表温度修正值为每偏离1时造成系统误差为仪表基本误差的4。,（4）读数误差,pi为指示压力。,（1）仪表基本误差,（2）环境温度造成的系统误差,（3）安装误差 压力表高出管路h+h。管路中的实际压力值,安装误差为（水）：,2）按几何综合法,（5）总系统误差计算,系统误差项数不多，为了安全起见可采用算术综合
8、法。,1）按算术综合法计算,( )2,第三节 随机误差,随机(偶然)误差来自于不可知的原因，误差的出现完全随机，难以估计每个因素对测量结果的影响。,遵循一定的统计规律，可以用数理统计方法来处理测量结果。,随机误差可分正态分布与非正态分布两大类。多数都服从正态分布规律。,对随机误差所作的概率统计处理，是在完全排除了系统误差的前提下进行的。,一、随机误差的正态分布,差值(lmax-lmin)等分为m个区间。lmin，lmin+l，lmin+2l， ，lmin+ml。各区间测得值个数为y1，y2， y3， ，yn，比值yi /n称为n个测量值中落到各组的测量值个数的频率。图3-4为阶梯形分布图或频率
9、直方图。,当n及m相当大时，折线的连线趋向光滑。该曲线称为或然率曲线，或概率密度曲线。这即为随机误差的正态分布规律。,对A的等精度n个测量值:l1,l2,l3,.,ln。,正态分布随机误差四个特性：,1)单峰性 概率密度的峰值只出现在零误差附近。绝对值小的误差出现的概率密度大。,2)对称性 符号相反但绝对值相等的随机误差出现的概率相等。,3)有限性 误差的绝对值一般不超出一定范围。,4)抵偿性 当n时，i0，即正负误差的互相抵消。,二、标准误差和概率积分,根据误差方程式(3-7)绘制出不同的误差正态分布曲线。,高斯于1795年提出随机误差分布规律的函数表达式,y为随机误差为时的概率密度；为标准
10、误差(或称均方根误差),误差出现在某一区间的概率p，通过对函数y()积分求得。在区间-ii内，误差的概率p为,p是在-ii内曲线下的面积。,即误差曲线下全部面积概率等于1.,值越小，曲线形状越尖锐，小误差出现的概率越大，故可用标准误差来表征测量的精度。,若把取为的倍数，即,则有,|3的概率仅为0.27%，可认为超出3的误差不属于随机误差，而为系统误差或过失误差。常把3作为极限误差，即,三、测量结果的最佳值算术平均值,实际测量中常从有限个带有随机误差的测量值求出最接近真值A的值(最佳值或最可信赖值)。,等精度观测值为l1，l2，ln，假设最佳值L。Li与L的偏差为vi， v1= l1-L，v2=
11、 l2-L，vn= ln-L。,最小二乘法：在具有同一精度的许多观测值中，最佳值应是能使各观测值的误差的平方和为最小。,根据高斯定律，偏差为vi的概率密度分别为,正态分布中误差小的数值比误差大的数值出现的概率大。最佳值应使p最大，即（v12+v22+,，+vn2）最小。,测量值l1，l2，ln同时出现的概率密度为各观测值出现概率密度的乘积，即,Q为最小值的条件为：,将上式对L微分，并推导可得,结论：一列等精度测量中，当测量次数为无限多时，其最佳值为各观测值的算术平均值L；各观测值与算术平均值的偏差的平方和为最小。,第四节 可疑测量数据的剔除,实际测量中由于过失或疏忽，测量结果中会出现个别特大误
12、差。,一、莱依特准则,若某li与算术平均值L之差i大于三倍该组数据的标准误差时，i为过失误差，li为坏值，应予以剔除。即,坏值剔除后，再计算算术平均值L与标准误差，并再次检验有无坏值。,当n有限时，尤其在n10的情况下，此准则不可靠。,1)计算算术平均值L和标准误差 ，计算格拉布斯准则Tli,二、格拉布斯(Grubbs)准则适用于较小n。其步骤如下：,2)选择显著水平，根据n，在表中查出相应的T（n，）值。,3)判别Tli是否大于T（n，），若 ，li应剔除。,显著水平一般为5.0、2.5%、1.0%。表示发生错误的概率。,例：,例3-2：判断其中是否有过失误差引起的坏值。,解：,2）计算算术
13、平均值L与算术平均值标准误差,3）选择=5%，查表3-2得T（15，5%）=2.41。,4）计算最大与最小偏差v，用格拉布斯准则进行判别,1）温度从小到大顺序排列如下：,l1在=5%的时为坏值，应剔除。,5）舍弃l1=20.30后，重复以上(1-4)过程。,余下的数据不存在坏值。,多组测量值均值的格拉布斯检验法,三、t检验准则适于测量次数较少时。,若认为测量值是xj是可疑数据，将其剔除后计算平均值为,标准误差（计算不包含 ）：,首先剔除一个可疑的测量值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否为粗大误差。,根据测量次数n和显著度，由表3-3查t分布检验系数K(n, )。,若 ，认为测量值xj为粗大误
14、差，否则认为xj不应剔除。,0.05,t分布t分布的密度函数与标准正态分布的类似，当n充分大时，t分布可以近似看作是标准正态分布，,t分布曲线,当 n20时t分布曲线与正态分布曲线很相似, n时t分布曲线与正态分布曲线完全重合。,四、狄克逊准则上述判别准则均需求出标准误差，实际计算时麻烦。,测量结果按x1 ，x2 ， ，xn由小到大排列，当xi服从正态分布时，得最大值xn的统计量分布为,选定显著度，由表3-4得各统计量的临界值r0(n,)。当测量统计值rij大于临界值时，认为xn含有粗大误差，应剔除。,n7时，使用r10; 8n10时，使用r11; 11n13时，使用r21; n14时，使用r
15、22。,同样，对测量序列中最小值x1的统计量分布为,n7时，使用r10; 8n10时，使用r11; 11n13时，使用r21; n14时，使用r22。,例3-4：测量数据排列如下,解：1）先判断最大值x(15),n15，故计算统计量r22,查表3-4得,则 。,故x(15)不含有粗大误差。,2）再判别最小值x(1) 。,计算统计量r22,五、判别法的选择,1)当测量次数n趋近或足够大时，采用莱依特。 测量次数较少时，则采用格拉布斯准则、 狄克逊准则或t检验准则 。2) 迅速判别粗大误差时，采用狄克逊准则。3)最多只有一个异常值时，采用格拉布斯准则。4)存在多个异常值时，采用两种以上准则交叉判别
16、。,第五节 随机误差的计算,一、直接测量误差的计算,随机误差计算前，按以下步骤处理：剔除过失或粗大误差。修正系统误差。不存在粗大误差与系统误差后，对随机误差进行计算。,对不存在粗大和系统误差的n个等精度测量值l1，l2ln：,1）计算li平均值L,2) 计算li的偏差ili-L，及i2值，以及i2,3）计算均方根误差 和极限误差lim,4）计算算术平均值的均方根误差S和极限误差lim,5) 计算算术平均值的相对极限误差lim,6）求得被测量的值,检查i中有大于lim者，应剔除，然后重新计算。,例3-5：内燃机负荷特性试验，稳定工况，求转速及其误差。,1）平均值L,解：,2) 计算偏差ili-L
17、，计算i2及i2。,3）计算均方根误差 和极限误差lim,8次测量中i均不大于10.2r/min，测量中不存在过失误差。,4）计算算术平均值的均方根误差S和极限误差lim,5) 计算算术平均值的相对极限误差lim,6）被测量值,二、权的概念,对非等精度测量，不能用算术平均值来确定可信赖度。常用“权”来评价测量质量。,Pi为测量结果的“权”；为任意常数。,“权”与标准误差相关。越小，测量结果越可靠，对应的“权”数也越大。,对不等精度测量，标准误差为1、2n，相应的“权”为,在用标准误差计算“权”值时，其标准误差应在多次测量的情况下计算而得，且已消除了系统误差。,例：对某物体长度进行了三组不等精度
18、测量，其结果为,求各测量结果的权。,因此各组的权可取为,解：各权比为,非等精度测量中的最佳估计值为测量值的加权算术平均值,加权算术平均值均方根误差SL为,例3-6：两个实验者对同一恒温水箱进行温度测量。,求恒温水箱温度及其误差。,解：1）求各自算术平均值,2）求算术平均值LA、LB的均方根误差,两实验者的测量结果为：,3）求测量结果的加权算术平均值,由A=SA, B=SB，得 。,4）按式(3-26)求加权算术平均值的均方根误差,5）测量温度及误差为,恒温水箱温度,三、间接测量的误差计算,间接测量误差不仅与直接测量量的误差有关，还和两者之间的函数关系有关(如比较：f=u*v和f=u*v5)。,e为仪器精度；A为满刻度读数；Am为实测读数；,1.只进行一次测量时误差的计算实测所示读数出现的最大相对误差max,例3-7：离心式转速表满刻度读数为2000rmin，精度级为1。求示值为200rmin与1500rmin时的相对误差。,解：,1）当示值为200rmin时,2）当示值为1500rmin时,一定量程的仪器测量小示值的相对误差比测量大示值的相对误差要大。,小 结,误差的来源与分类系统误差随机误差可疑测量数据的剔除随机误差的计算,
