1、2.1函数的概念和图象2.1.3函数的简单性质,函数概念与基本初等函数,在初中，我们学习了二次函数，通过二次函数的图象，知道x在某个范围内取值时，y的值随着x的增加而增加(或减小)，在高中，我们学习了函数的符号语言，那么如何用符号语言来定量地描述函数这一增减性质呢？,1一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有_，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，I称为yf(x)的单调增区间2一般地，设yf(x)的定义域为A.如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的_，记为ymaxf(x0
2、)；如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0)，那么称f(x0)为yf(x)的最小值，记为_,f(x1)f(x2),最大值,yminf(x0),D,D,C,6一般地，设函数yf(x)的定义域为A.如果对于任意的xA，都有_，那么称函数yf(x)是偶函数；如果对于任意的xA，都有_，那么称函数yf(x)是奇函数7如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性偶函数的图象关于_对称，奇函数的图象关于_对称8判断下列函数的奇偶性,6f(x)f(x)f(x)f(x)7y轴原点8(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数,9观察如图所示的图象，判断相应函数的奇偶性,(1)奇函
3、数(2)偶函数(3)非奇非偶函数(4)偶函数,函数单调性的概念,关于函数的单调性的理解函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的有些函数在整个定义域内是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如常数函数yc，又如函数y关于单调区间的书写函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间,x1，x2的三个特征一定要予以重视函数
4、单调性定义中的x1，x2有三个特征，三者缺一不可：一是任意性，即“任意取x1，x2”“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是x1与x2之间有大小关系，通常规定x1x2；三是x1和x2同属一个单调区间若函数f(x)在其定义域内的两个区间A、B上都是增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在AB上是增(减)函数如认为f(x) 在(，0)(0，)上是减函数，事实上，取x111x2，有f(1)11f(1)，不符合减函数定义,函数增减性(单调性)的几何意义，反映在图象上是：若f(x)是区间I上的增(减)函数，则图象在I上的部分是从左到右上升(下降)的，如图所示,判断函数单调性的
5、方法,判断函数单调性是函数部分常见的问题，通常使用如下方法：(1)定义法利用基本函数的单调性：如一次函数、二次函数、反比例函数等的单调性，都可用于其他的函数；利用函数的基本性质：如a.yf(x)和yf(x)的单调性相反；b.当f(x)恒为正或恒为负时，y 和yf(x)的单调性相反；c.在公共区间内：增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等,(2)图象法(3)复合函数单调性的判定方法设yf(t)，tg(x)，xa，b，tm，n都是单调函数，则yfg(x)也是单调函数，并且当外层函数f(t)在m，n上为增函数时，复合函数yfg(x)与内层函数g(x)在a，b上有相同的增减性；当外层函数f(t)在m
6、，n上为减函数时，复合函数yfg(x)与内层函数g(x)在a，b上有相反的增减性即复合函数的单调性具有同增异减的规律,求函数最值的常用方法,函数的最值是指在定义域A(给定区间I)上，函数的最大值和最小值求函数最大(小)值的常用方法有：(1)值域法求出函数f(x)的值域，即可求其最值(注意必须确保存在函数值为其最值)(2)单调性法通过研究函数的单调性来求函数的最值(3)特殊函数法利用特殊函数(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数yx (a0)等)的单调性及最值情况来求其最值,奇函数、偶函数的概念与图象特征,函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，利用奇(偶)函数的对称性，在函数的两个对称区间上的问
7、题，可以转化到一个区间上处理，根据奇(偶)函数的定义，由函数在原点一侧的解析式，能求得另一侧的解析式；可以根据奇(偶)函数图象的对称性作图,判定函数奇偶性的方法,判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区域，则立即可判定该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区域，再判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于零，或判断 是否等于1等等(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称(3)性质法：偶函数的和、差仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；偶函数的积、商(分母不为零)仍为偶函数；一个奇
8、函数与一个偶函数的积为奇函数F1(x)f(x)f(x)为偶函数，F2(x)f(x)f(x)为奇函数,判定函数的单调性,解析：利用增函数的定义答案：证明：设x1，x2是(2，)上的任意两个数，且x1x2，,2x1x2，x1x20， x1x20，x1x240，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)x 在(2，)上是增函数,点评：证明函数单调性严格按(取值作差变形定号)步骤进行,例二,1已知函数yf(x)定义在2,1上，且有f(1)f(0)，则下列判断正确的是( )Af(x)必为2,1上的单调增函数Bf(x)必为1,1上的单调减函数Cf(x)不是2,1上的单调减函数Df(x)不是
9、2,1上的单调增函数,D,变式训练,3证明函数f(x)x31(xR)为减函数,6求函数y|x1|的单调区间解析：函数y|x1|的图象如图所示从图中可以看出函数在(，1)上是减函数，在1，)上为增函数,8求函数f(x)x22x3在下列区间上的最大值与最小值(1)3,0；(2)1,1；(3)2,4,f(x)(x1)24的对称轴为直线x1，增区间为1，)，减区间为(，1(1)ymaxf(3)12， yminf(0)3；(2)ymaxf(1)0， yminf(1)4；(3)ymaxf(4)5， yminf(2)3.,变式训练,例五,函数奇偶性的判定,解析：由于这里的函数解析式较复杂，运用定义法难以判断
10、f(x)与f(x)的关系，不妨用验证法试一试,点评：(1)当函数解析式比较复杂，对f(x)进行恒等变形又感觉到无从下手，这时可用验证法进行探索，从而达到目的运用验证法判断函数的奇偶性的好处在于，它比用定义法时从f(x)中拼凑出f(x)的解析式具有更强的目的性，即只需验证它是否等于0(或1)，它实质上是将问题转化为代数式的化简过程(2)在本例的解法二中，容易出现如下两点错误：未讨论“x0”这一情况；讨论后分为两种情况，即当x0时为奇函数，当x0时既是奇函数又是偶函数事实上函数的奇偶性是函数的整体性质，因此我们不能将函数的定义域分割成几部分来确定它的奇偶性,变式训练,综合题型,定义在R上的函数f(
11、x)满足x0时f(x)0且对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)为增函数,解析：抽象函数的单调性与奇偶性的判别，由于没有具体的函数解析式，因此直接处理起来比较困难但只要细细分析抽象函数所具备的性质或规律，通过“配凑”与“赋值”的方法，紧紧围绕函数单调性与奇偶性定义，就可以顺利地解决,答案：(1)证明：f(xy)f(x)f(y)(x，yR)，令xy0，代入式，得f(00)f(0)f(0)，即f(0)0；再令yx，代入式，得f(xx)f(x)f(x)又f(0)0，则有0f(x)f(x)，即f(x)f(x)对任意xR成立，f(x)是奇函数(2
12、)设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)，x1x20，f(x1x2)0，f(x1)f(x2)f(x)是增函数,点评：抽象函数其实并不“抽象”，它是从基本初等函数中抽象出来的如本题中抽象函数满足f(xy)f(x)f(y)，从中可以发现我们所熟知的一次函数f(x)kx(k0)就满足该性质这也启发我们对抽象函数问题的处理，有时可以找出其“模型函数”，借助“模型函数”来帮助我们进一步探讨解决的方法当然切不可用找出的“模型函数”来代替解题,变式训练,10已知f(x)是 R上的奇函数，且当x(0，)时，f(x)x(1 )，求当x(，0)时，f(x)的解析式,祝,您,学业有成,
