1、2.1函数的概念和图象2.1.1函数的概念和图象,函数概念与基本初等函数,“神舟七号”载人航天飞船离地面的距离随时间的变化而变化；上网费用随着上网的时间变化而变化；近几十年来，出国旅游人数日益增多，考古学家推算古生物生活的年代这些问题如何描述和研究呢？,1函数的概念设A、B是两个_的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的_，在集合B中都有_的元素y和它对应，那么这样的对应叫做_，通常记为_，其中，所有的输入值x组成的集合A叫做_则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应将所有输出值y组成的集合称为_2若f(x)xx2，则f(1)_；f(n1)f(n)_.,1非空每一个元素唯一从A到B
2、的一个函数yf(x)，xA函数yf(x)的定义域函数的值域202n,4如图所示中，可表示函数yf(x)的图象的只可能是( ),D,(1，),3函数f(x) 的定义域为_ ，值域为_,(0，),7函数 的定义域为_,B,x|x1或x1,8若正比例函数y(m1)xm23的图象经过二、四象限，则m_.9已知函数y(a1)xa是反比例函数，则它的图象在( )A第一、三象限B第二、四象限C第一、二象限 D第三、四象限10函数yx的图象是( )A两条不含端点的射线 B一条射线C两条平等直线 D一条直线,2,B,A,对函数概念的理解,1对函数概念的理解函数的定义域(即原象集合)是自变量x的取值范围，它是构成
3、函数的一个不可缺少的组成部分当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：定义域不同，两个函数也就不同；对应法则不同，两个函数也是不同的；,即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则例如：函数y2x1与yx1，其定义域都是R，值域都为R.也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数定义域A、值域C
4、以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素由于值域可用定义域和对应法则唯一确定所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数,求函数的定义域,求函数的定义域，其实质就是使解析式各部分都有意义为准则出发，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集其准则一般指以下几个方面：(1)分式中，分母不等于零；(2)偶次根式中，被开方数为非负数；(3)对yx0，要求x0.如果用已知函数通过有限次加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，求新函数的定义域要根据实际问题而定,求函数的值域,求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用即求函数的值域，首先求函数的定
5、义域求函数值域是一个相当复杂的问题，常见的方法有(1)图象法；(2)观察法；(3)反解x；(4)配方法；(5)换元法；(6)单调性；(7)判别式法等,函数的图象,作出函数的图象一般有两种方法：一是描点法，二是图象变换法但不管使用哪种方法，必须与函数的性质结合起来，掌握一些基本初等函数的图象，利用图象变换法作图是常用的方法识图题要分析所给函数图象的特征，并把图象与性质有机地结合起来思考问题函数的图象应用十分广泛，如求函数的最值，判定方程解的个数，比较函数值的大小等，函数图象是数形结合思想方法的“形”的载体，形的直观性能帮助我们化抽象为具体，直观而简捷，解题的关键是正确画出函数图象，把代数语言化为
6、图形语言,如何判断两个函数为同一函数,其中表示同一函数的组别( )A没有 B仅有(2)C仅有(2)、(4) D仅有(2)、(3)、(4),解析：检查定义域和对应法则是否完全相同答案：在(1)中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x0；在(3)中两函数的对应法则不同，故(1)、(3)中的两个函数不是相同的函数因为 x，且两函数的定义域均为R，故(2)中的两函数表示同一函数在(4)中，虽然自变量用不同的字母表示，但两函数的定义域和对应法则都相同，所以表示同一函数应选C.,点评：函数概念含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f，其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征只有当两个函数的
7、定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数,变式训练,函数的定义域,解析：对于用解析式表示的函数，如果没有给出函数的定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值集合,点评：求函数的定义域，一般转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑联结词的运用，不能乱用，求出的定义域可以用集合或不等式或区间表示,点评：(1)求函数的定义域，一般转化为解不等式或不等式组的问题，但要注意逻辑联结词的运用(2)由函数的解析式有意义求定义域时，不能随意对解析式进行变形因为变形后自变量的允许值扩大或缩小，这样得到的函数与原来的函数就是不同的函数，所以在求定义域时，一般不将解析式变形,点评
8、：求函数的值域是函数的重要内容第(1)小题采用配方法，对于含二次三项式的有关问题，常常根据求解问题的要求，采用配方的方法来解决，对于含有二次三项式的函数，也常用配方的方法来求值域第(2)小题采用换元法，在利用换元法求函数值域时，一定要注意确定辅助元的取值范围，如在本例中，要确定t的取值范围如忽视了这一点，就造成错误第(3)小题采用判别式法，所谓判别式法就是利用一元二次方程根的判别式求函数值域的方法在使用判别式法求值域时：对转化得到的整式方程，当二次项系数是含有字母的系数时，必须分成二次项系数为零和不为零两种情况讨论，只有当二次项系数不为零时，才能使用判别式；当原函数的定义域不是R时，求得值域后
9、必须对定义域的端值进行验证第(4)小题采用反解x法,变式训练,2若函数f(x1)的定义域为2,3，则yf(2x1)的定义域为_,变式训练,4求函数yx24x3的值域,yx24x41(x2)21，(x2)20，(x2)211，故值域为1，),分析：画函数图象时，以定义域、对应法则为依据，采用列表描点作图解析：(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y1x上，由于xZ，从而yZ，这些点称为整点(见图),点评：已知f (x)的 定义域，求f(x)的定义域的方法是：若f (x)的定义域为D，则 (x)在D上的取值范围( (x)的值域)即为f(x)的定义域,函数的值域,(3)这个函数的解析式当x
10、25x60即x2，且x3时可化成(y1)x2(25y)x6y10.当y10时方程有非2、3的实根，故(25y)24(y1)(6y1)0，即y属于(，)但y1.又当x时，y1，故所求值域为全体实数,点评：求函数的值域是函数的重要内容，它的解法有：第(1)小题采用配方法，对于含二次三项式的有关问题，常常根据求解问题的要求，采用配方的方法来解决，对于含有二次三项式的函数，也常用配方的方法来求值域第(2)小题采用换元法，在利用换元法求函数值域时，一定要注意确定辅助元的取值范围，如在本例中，要确定t的取值范围如忽视了这一点，就造成错误第(3)小题采用判别式法，所谓判别式法就是利用一元二次方程根的判别式求
11、函数值域的方法在使用判别式法求值域时：对转化得到的整式方程，当二次项系数是含有字母的系数时，必须分成二次项系数为零和不为零两种情况讨论，只有当二次项系数不为零时，才能使用判别式；当原函数的定义域不是R时，求得值域后必须对定义域的端值进行验证第(4)小题采用反解x法,点评：解法1利用的是分离变量法解法2是将函数解析式转化为关于x的二次方程，用判别式求y的取值范围在使用判别式法求值域时，对转化得到的整式方程，当二次项系数含有字母时，必须分二次项系数为零和不为零两种情况讨论，只有当二次项系数不为零时，才能使用判别式,函数的图象,一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温()有一定的关系如下图所示，图(1)表
12、示某年12个月中每月平均气温图(2)表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是(),A气温最高时，用电量最多B气温最低时，用电量最少C当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加解析：1月至8月气温逐月上升，气温由最低值2.5到最高值27.5.用电量从1月到2月是增加的，2月至5月是逐月下降的，5月到8月是逐月上升的，8月到10月是逐月下降的，10月到12月逐月上升答案：C,变式训练,8已知函数y|xa|与两条坐标轴围成的一个封闭图形的面积为5，求实数a的值,如下图所示，函数y|xa|与两条坐标轴围成的封闭图形是一个RtAOB，其面积是,祝,您,学业有成,
