1、,第1章 信号及其描述 Signal and Its Description,1.0 序（Introduction） 1.1 信号的分类（Signal Classification） 1.2 信号的描述（Signal Description） 1.3几种典型信号的频谱（Several Typical Signals Spectrum）,返回,信号（signal）：随时间或空间变化的物理量。 信号是信息的载体，信息是信号的内容。 依靠信号实现电、光、声、力、温度、压力、流量等的传输 电信号易于变换、处理和传输，非电信号 电信号。信号分析与处理（signal analysis and proces
2、sing） 不考虑信号的具体物理性质，将其抽象为变量之间的函数关系，从数学上加以分析研究，从中得出具有普遍意义的结论。,序,1.0 序（Introduction）,信号无处不在,通信 古老通信方式：烽火、旗语、信号灯。 近代通信方式：电报、电话、无线通讯。 现代通信方式：计算机网络通信、视频电视传播、卫星传输、移动通信。,序,0001 1010 0111 1100 0110 0101 0101 0111 0110 0101 0001 1000,摩尔码,序,故障诊断,序,心电图波形,医学,序,生物医学信号处理应用举例,滤波以前干扰严重,滤波以后干扰去除,序,生物医学信号处理应用举例,左下图是一段
3、听觉响应的时间信号，没有表现出可以识别的特征。 右下图是经过小波分析后得到的时间-频率关系平面，得到明显可识别的特征。,序,1.1 信号的分类 （Signal Classification）,信号,确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达的信号称为确定性信号。,1.1.1. 确定性信号和非确定性信号,信号的分类,m,x(t),0,x(t),f0,A,t,k,周期信号(period signal)：依一定的时间间隔周而复始、重复出现；无始无终。,周期：满足上式的最小T 值。 频率(frequency)：周期的倒数，f = 1/T，单位：（Hz 赫兹） 圆频率/角频率：频率乘以2 f, 即 =2
4、 f =2 /T实际应用中，n 通常取为正整数。,数学表达：,信号的分类,T0 = 2 / 0 =1/ f0,(a) 正弦信号：,(b) 复杂周期信号：x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 t,t,T,0,A,x(t),0,0,信号的分类,这种频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信号。谐波(harmonious)信号常用特征参量：均值、绝对均值、均 方差值、均方根值（有效值）和均方值（平均功率） 描述。一般周期信号（如周期方波、周期三角波等）由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公共周期。准周期信号(quasi-periodic signal)
5、也由多个频率成分叠加而成，但不存在公共周期。,信号的分类,一般非周期信号是在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号。,例：准周期信号,信号的分类,瞬变信号：在有限时间段存在，或随时间的增加幅值衰减至零。,信号的分类,非确定性信号又称为随机（random）信号，是无法用明确的数学关系式表达的信号。如： 加工零件的尺寸 机械振动 环境的噪声等 根据是否满足平稳随机过程的条件，非确定性信号又可以分为： 平稳随机信号 非平稳随机信号,信号的分类,t,0,x(t),随机信号：白噪声,非确定性信号。 具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预
6、估性。 采用概率和统计的方法进行描述。,随机信号,信号的分类,1.1.2 连续（continuous）信号和离散（discrete）信号,信号的分类,1.1.3 能量信号和功率信号,如周期信号、准周期信号、随机信号等。,信号的瞬时功率：,信号能量：,能量（有限）信号：,功率（有限）信号：信号在有限区间（t1, t2）上的平均功率：,如各类瞬变信号。,信号的分类,信号的时域描述以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征，反映信号幅值随时间变化的关系。波形图：时间为横坐标的幅值变化图。优点：形象、直观。缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。,1.2 信号的描述（Signal Descr
7、iption）,信号的频域描述 应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。 频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。幅值谱：幅值-频率图相位谱：相位-频率图 频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。,信号的描述,信号时域与频域描述的关系时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换，两者蕴涵的信息相同。时域描述与频域描述各有用武之地。将信号从时域转换到频域称为频谱(specrtrum)分析，属于信号的变换域分析。采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱(amplitudespectrun)和相位谱(ph
8、ase spectrum)。,信号的描述,狄里赫利（Dirichet）条件在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。在一个周期内，极大值和极小值数目为有限个。在一个周期内，信号绝对可积，即,1.2.1 周期信号的描述 （1）三角函数展开式,信号的描述,其中,则可以展开为,信号的描述,式中,进一步，可以改写为,信号的描述,例：方波信号的描述时域描述,T0,T0,T0 2,T0 2,0,t,x(t),信号的描述,频域,，,4A,4A 3,4A 5,0,A(),0,30,50,0,0,30,50, (),/2,幅值谱,相位谱,信号的描述,x(t),0,t,T0,周期方波信号的合成,信号的描
9、述,周期方波信号的时、频域描述,信号的描述,例：周期性三角波的傅里叶级数,信号的描述,解：,信号的描述,因此，有：,信号的描述,（2）复指数展开式,所以：,欧拉公式,信号的描述,按实频谱和虚频谱形式,幅频谱和相频谱形式,幅频谱图：| Cn | - 实频谱图： CnR - 虚频谱图： CnI - 相频谱图： n - ,信号的描述,例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。,解：,C-1 = 1/2，C1 = 1/2，Cn = 0（n=0, 2, 3, ）,C-1 = j/2，C1 = -j /2，Cn = 0（n = 0, 2, 3, ）,信号的描述,单边幅频谱,单边幅频谱,双边幅频谱,双边幅频谱
10、,负频率,“负频率”是运算的需要。实际中，只有把负频率项与相应的正频率项成对合并起来，才是实际的频谱函数。从向量旋转的角度：一个向量的实部可以看成两个旋转方向相反的矢量在其实轴上的投影之和，虚部为其在虚轴上的投影之差。,信号的描述,几点结论,复指数函数形式的频谱为双边谱（ 从 - 到 +），三角函数形式的频谱为单边谱（ 从 0 到 +）。,两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：,双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数,一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。,信号的描述,综上所述，周期信号频谱的特点如下： 周期信号的频谱是离散谱； 每个谱线只出现在基波频率的整数
11、倍上，基波频率是诸分量频率的公约数； 一般周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无限的。工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小 在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。,信号的描述,1.2.2 非周期信号的描述,瞬变信号例参见下页,频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期，是周期信号。 当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号。 一般非周期信号是指瞬变信号。,信号的描述,非 周 期 信 号,准周期信号信号中各简谐成分的频率比为无理数具有离散频谱,瞬变信号在一定时间区间内存在或随时间的增长衰减至零,（1）傅里叶变换 （fourier transfo
12、rm）,非周期信号可以看成是周期T0 趋于无穷大的周期信号。,谱线无限靠近，变为连续谱 。,谱线长度：,此时根据傅里叶级数展开所表示的谱线失去意义。 信号存在就必然含有一定的能量，无论信号怎样分解，其所含总能量应当不变。 无论周期增大到何种程度，信号能量沿频率域的分布特征总存在，即非周期信号的频谱依然存在。,信号的描述,设周期信号x(t)在一周期内的傅里叶级数表示为,其中：,T0时， = 0 0，n0 ，Cn0。 但 CnT0 存在：,信号的描述,Cn表示n0（即）处的频谱值，而 反映了单位频带的频谱值（0为谱线间隔），称为非周期信号的频谱密度(spectrum density)函数，简称频谱
13、函数，它反映了信号能量沿频域的分布状况。若以 的值为高、以间隔0为宽画一个小矩形，则该小矩形的面积等于 = n0频率处的频谱值Cn(n0)。,信号的描述,Cn,信号的描述,傅里叶变换（FT）,傅里叶逆变换（IFT）,以,代入得,记为：,信号的描述,用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为,非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱 很相似，但是两者量纲不同。为信号幅值的量纲。为信号单位频宽上的幅值，是频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。,信号的描述,例：矩形窗函数的频谱,W(f)中 T 称为窗宽，,信号的描述,W(f)函数只有实部，没有虚部。,sinc 以2为周期并随的增加作衰减振荡。 sin
14、c是偶函数，在n（n=1, 2, ）处其值为0。,信号的描述,非周期信号频谱的特点,基频无限小，包含了从 0 的所有频率分量。,频谱连续。,|X()|与|Cn|量纲不同。|Cn|具有与原信号幅值相同的量纲，|X()|是单位频宽上的幅值。,非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换。,信号的描述,应用,某齿轮箱各特征频率值,信号的描述,Hz,某齿轮箱体实测振动速度频谱图,信号的描述,（2） 傅里叶变换的主要性质,积 分,x(t t0),时 移,频域微分,x(kt),尺度变换,时域微分,x(-f),X(t),对 称 性,X1(f)X2(f),x1(t) x2(t),频域卷积,AX(f)+bY(f),ax
15、(t)+by(t),线性叠加,X1(f) X2(f),x1(t)x2(t),时域卷积,实奇函数,虚奇函数,X*(-f),x*(t),共 轭,虚偶函数,虚偶函数,X(-f),x(-t),翻 转,虚奇函数,实奇函数,X(f f0),频 移,实偶函数,实偶函数,函数的奇偶虚实性,频 域,时 域,性 质,频 域,时 域,性 质,信号的描述,频域分析：傅里叶变换，自变量为 j w 复频域分析：拉普拉斯变换, 自变量为 S = +j w Z域分析：Z 变换，自变量为z,频域、复频域、Z域的关系,信号的描述,傅里叶变换的主要性质,奇偶虚实性,若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数。 若
16、x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数。 若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数。 若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数。,若x(t)为实函数，则 ReX( f ) = ReX( -f )ImX( f ) = - ImX( -f ),信号的描述,对称性：X(t) x(-f ),证明：互换 t 和 f从而：X(t) x(-f),信号的描述,尺度改变性,证明：,（k 0）,（k 0）,综上所述,时间尺度特性表明：信号在时域中压缩（k 1，变化速度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。,信号的描述,尺度改变性质举例,证明：若
17、t0为常数则,时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱,时移性质,信号的描述,(c) 时移的时域矩形窗 (d) 图(c)对应的幅频和相频特性曲线时移性质举例,信号的描述,（a）时域矩形窗,图（a）对应的幅频和相频特性曲线,0,0,0,0,0,0,例：求三个窗函数的频谱。,对于矩形窗函数w(t),问题描述为求w(t -)+ w(t)+ w(t +)的频谱,根据时移性质,信号的描述,频移特性,若f0为常数,信号的描述,证明,卷积特性,证明： 函数x(t)与y(t)的卷积定义为,信号的描述,同理可得,微分特性：,证明：,同理：,信号的描述,傅里叶的两个最主要的贡献,周期信号都可表示为谐波关系的
18、正弦信号的加权和 傅里叶的第一个主要论点 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示 傅里叶的第二个主要论点,信号的描述,1.2.3 随机(random)信号的描述,随机信号是非确定性信号 随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性 随机信号必须采用概率和统计的方法进行描述 相关概念随机现象：产生随机信号的物理现象样本(sample)函数：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作xi(t)，i表示第i次观测。样本记录：在有限时间区间上观测得到的样本函数随机过程：在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样本函数的集合（总体）
19、。记作x(t)，即 x(t) = x1(t)，x2(t)，xi(t)，,信号的描述,随机变量：随机过程在某一时刻t1的取值x(t1)是一个随机变量，随机变量一般定义在样本空间上。 集合平均：一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代表随机过程 x(t) ，随机过程在任何时刻的统计特性需用其样本函数的集合平均来描述。 时间平均：按单个样本函数的时间历程进行平均计算。 平稳与非平稳随机过程：平稳随机过程指其统计特性不随时间而变化，或者说，不随时间坐标原点的选取而变化；否则，则为非平稳随机过程。,信号的描述,各态历经过程：若平稳随机过程任一样本函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特性，则称该
20、随机过程是各态历经的（遍历性）。 各态历经过程的物理含义：任一样本函数在足够长的时间区间内，包含了各个样本函数所有可能出现的状态。 对于各态历经过程，其时间平均等于集合平均，因此各态历经过程的所有特性都可以用单个样本函数上的时间平均来描述。工程中绝大多数随机过程都是各态历经的或可以近似为各态历经过程进行处理。 一般，随机过程需足够多（理论上为无限个）的样本函数才能描述，即使是各态历经过程，理论上也需要无限长的时间记录。,信号的描述,随机过程的样本函数,信号的描述,随机信号的主要统计特征,描述各态历经随机信号的主要特征参数有： 幅值域：均值、方差、均方值、概率密度函数等 时间域：自相关函数、互相
21、关函数 频率域：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数、相干函数等,信号的描述,均值、均方值、均方根值和方差,均值(mean)反映信号的静态分量，即常值分量：,均方值(mean square)反映信号的能量或强度：,均方根值(root of mean square)为均方值正的平方根：,信号的描述,方差(Variance)反映信号偏离均值的波动情况：,标准差(standard variance)为方差的正的平方根：,信号的描述,概率密度(probability density)函数,概率密度函数表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率。,随机信号 的时间历程，幅值落在 区间的总时间为 ，当观测时间T 趋
22、于无穷大时，概率记为,信号的描述,定义概率密度函数,概率密度函数提供了随机信号的幅值分布信息，是随机信号的主要特征参数之一。在实际应用中，当不知道所处理的随机数据服从何种分布时，可以用统计概率分布图和直方图来估计p(x)。,如果知道信号的概率密度函数，则,信号的描述,1.3 几种典型信号的频谱 （several typical signals spectrum）,1.3.1 单位脉冲函数(函数) 的频谱 1. 函数定义,且其面积（强度）：,2. 函数的性质,1)函数的采样性质,2)筛选性,筛选结果为x(t)在发生函数位置的函数值(又称为采样值),3)卷积性,几种典型信号的频谱,函数与其他函数的
23、卷积示例,(t),0,t,1,x(t),0,t,A,0,t,A,x(t) (t),(tt0),0,t,x(t),0,t,0,t,(t+t0),(t-t0),x(t) (t t 0),-t0,t0,-t0,t0,3. 函数的频谱,对(t)取傅里叶变换,函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱”。,函数是偶函数，即 ，则利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对,几种典型信号的频谱,（各频率成分分别移相2ft0）,(t t0),(f) （单位脉冲谱线）,1 （幅值为1的直流量）,1 （均匀频谱密度函数）,(t) （单位瞬时脉冲）,频 域,时 域,单位脉冲函数的时、频域关系,
24、几种典型信号的频谱,1.3.2 矩形窗函数和常值函数的频谱,（1）矩形窗(rectangle window)函数的频谱,几种典型信号的频谱,几种典型信号的频谱,（2）常值函数(又称直流量) 的频谱,幅值为1的常值函数的频谱为 f = 0处的函数。,当矩形窗函数的窗宽 T 趋于无穷时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域为函数。,几种典型信号的频谱,（3）指数(exponent)函数的频谱,双边指数衰减函数,其傅里叶变换为,几种典型信号的频谱,单边指数衰减函数及其频谱,几种典型信号的频谱,（4） 符号(sign)函数和单位阶跃(unit step)函数的频谱,符号函数的频谱 符号函数可以看作是
25、双边指数衰减函数当a 0时的极限形式，即：,几种典型信号的频谱,单位阶跃函数的频谱 单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数a 0时的极限形式。,几种典型信号的频谱,单位阶跃函数及其频谱,几种典型信号的频谱,（5）正余弦(sine/cosine)函数的频谱密度函数,正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅里叶变换。由欧拉公式知：,几种典型信号的频谱,几种典型信号的频谱,（6）梳状(comb)函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱,Ts为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数,（fs = 1 / Ts）,因为在（-Ts /2，Ts /2）区间内只有一个函数(t)，故,几种典型信号的频谱,从而,所以,即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），脉冲强度为1/Ts。,几种典型信号的频谱,
