1、第二章 函数,2.1函数,2.1.1函数,1.会用集合与对应语言来刻画函数,了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.2.掌握用换元法和代入法求函数解析式这一常用方法,并能正确地使用区间表示数集.3.了解映射的概念,能判定一些简单的对应是不是映射,并用映射概念加深对函数概念的理解.,1,2,3,1.函数的概念,1,2,3,(1)在近代定义中,x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值构成的集合y|y=f(x),xA叫做这个函数的值域.(2)确定一个函数只需两个要素
2、:定义域和对应法则.要检验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:定义域和对应法则是否给出;根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y.,1,2,3,1,2,3,【做一做1-1】 下列四组函数中,f(x),g(x)表示同一函数的是()解析:若两个函数表示同一函数,则需其定义域、对应法则都相同,缺一不可.选项A中对应法则不同,选项B中定义域不同,选项C中定义域不同,仅有选项D表示同一函数.答案:D,1,2,3,即x1,且x2,故函数定义域为x|x1,且x2.答案:x|x1,且x2,【做一做1-3】 函数f(x)=2|x|+1的值域为.解析:因为当xR时,|
3、x|0,所以2|x|+11.故此函数的值域为y|y1.答案:y|y1,1,2,3,1,2,3,2.区间(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点的线来表示(如下表).用实心点表示端点属于这个区间,用空心点表示端点不属于这个区间.,1,2,3,(2)无穷区间的概念:-或+作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间.,1,2,3,名师点拨1.区间是数轴上某一线段或射线或直线上的所有点所对应的实数的取值集合.这是一种符号语言,即用端点对应的实数、+、-、方括号、圆括号等数或符号来表示数集;2.区间符号内的两个字母(或数)之间要用“,”隔开;3.“”是一个符号,不是一个数,它表示数的变化趋势;4.区间中
4、必须是前面的数小,后面的数大.例如,(3,2)就不是区间,(2,2)也不是区间,并不是所有数集都能用区间表示,如自然数集N,整数集Z等;5.在平面直角坐标系中,(2,3)可表示点,也可表示区间,应用时注意区分,不能混淆;6.如果一个实数集合不能用一个区间完全表示,可以用两个或两个以上的区间的并()来表示.,1,2,3,【做一做2】 用区间表示下列数集:(1)x|x-2;(2)x|3x8;(3)x|x=4或6x0)不是同一函数;(2)对应法则不同,两个函数也是不同的.例如,y=x与y=x2不是同一函数;,(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域
5、不能唯一地确定函数的对应法则.例如,函数f(x)=x2与f(x)=2x2虽定义域和值域均相同,但它们不是同一函数;(4)因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的.例如,f(x)=2 015x+2 016,f(t)=2 015t+2 016,g(x)=2 015x+2 016都表示同一函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,分析:只给出函数的解析式,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解:(1)函数为整式函数,x取任意实数时,f(x)都有意义,故函数的定义
6、域为R;(2)要使函数有意义,应满足x-20,即x2,故函数的定义域为x|x2;(3)要使函数有意义,应满足x2-40,即x24,所以x2,且x-2,故函数定义域为x|x2,且x-2;,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思1.已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即:(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使
7、各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集);(5)对于由实际问题确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,2.本例中的(4)容易出现错解:化简函数的解析式为 x|x1.错解的原因是违背了讨论函数问题要遵循定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前,不要化简函数的解析式.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,分析:先确定各个函数的定义域,再用相应的方法求值域.(1)和(2)可用观察法;(3)用配方法;(4)用分离常
8、数法;(5)用换元法.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思在求函数的值域时,常用的方法有:(1)观察法.通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域,这就是观察法.(2)配方法.对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的值域的方法求函数的值域,这就是配方法.(3)换元法.通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,从而求出函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要
9、靠自己在解题过程中逐渐探索和积累.除了上述常用的方法外,还有最值法、数形结合法等,应注意选择最优的解法.总之,求函数的值域关键是要重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例3】 已知f(x-1)=x2-2x+7,(1)求f(2)的值;(2)求f(x)和f(x+1)的解析式.分析:对(1)可令x=3求得;对(2)可用“x+1”去替换f(x-1)中的“x”即得f(x),用“x+2”去替换f(x-1)中的“x”即得f(x+1).,题型一,题型二,题型三,题型四,题型
10、五,解:(1)f(2)=f(3-1)=9-23+7=10.(2)方法一(配凑法):f(x)=f(x+1)-1=(x+1)2-2(x+1)+7=x2+6,f(x+1)=f(x+2)-1=(x+2)2-2(x+2)+7=x2+2x+7.方法二:f(x-1)=x2-2x+7=(x-1)2+6,所以f(x)=x2+6,f(x+1)=(x+1)2+6=x2+2x+7.方法三(换元法):设t=x-1,则x=t+1,所以f(t)=(t+1)2-2(t+1)+7=t2+6.故f(x)=x2+6,f(x+1)=(x+1)2+6=x2+2x+7.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思已知类型为fg(x)=
11、h(x)的函数,求f(x)的解析式时,常常使用配凑法和换元法.在解答过程中,一定要把对应法则读懂,分清对应法则f到底作用的变量是谁,然后利用化归的思想,把待求问题转向已知问题,从而使问题得以解决.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例4】 判断下列对应法则是否是从A到B的映射和一一映射.(1)A=R,B=x|x0,f:xy=|x|.(3)A=x|x2,xZ,B=y|y0,yN,f:xy=x2-2x+2.分析:判断某个对应是否是从A到B的映射,只需看在该对应法则下,A中的任一元素是否都有B中唯一的元素与之对应
12、.判断某一映射是否是一一映射,应抓住两点:原象不同,象不同;每个象都必须有原象.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解:(1)因为0A,在f作用下0|0|=0B,所以不是映射,更不是一一映射.又因为对B中任一元素,在A中有且仅有一个原象,所以为一一映射.(3)对任意的xA,根据对应法则f有xy=x2-2x+2=(x-1)2+1.因为x2,xZ,所以y2,yN,即yB,所以是映射.因为0B,且(x-1)2+1=0无解,所以集合B中的元素0在A中无原象,所以不是一一映射.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思1.按照映射的定义可知,映射应满足:(1)存在性:集合A中的每一个元素在集合
13、B中都有对应元素;(2)唯一性:集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素.2.一一映射的两个特点:(1)对于集合A中不同的元素,在集合B中有不同的象;(2)集合B中的每一个元素都有原象,即对应形式为“一对一”,集合A,B中均没有剩余元素.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练4】 给出下列对应:其中,是映射的为,是一一映射的为.(填序号)解析:中的对应符合映射的定义,是映射,其中又符合一一映射的定义,是一一映射.答案:,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思解答此类问题,关键是:(1)分清原象和象;(2)搞清楚由原象到象的对应
14、法则.一般已知原象求象时,常采用代入法.已知象求原象时,通常列方程组求解.求解过程中要注意象与原象的区别和联系.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,答案:1,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,即x0,且x-1,故函数f(x)的定义域为x|x0,且x-1.反思因为不等价化简函数解析式容易导致函数定义域发生变化,所以在求函数的定义域时,不要盲目对其解析式进行化简.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,答案:(0,+),1 2 3 4 5 6,答案:C,1 2 3 4 5 6,2下列四组函数中,表示同一函数的是()解析:根据同一函数的判断标准,
15、即定义域相同,对应法则也相同来判断.答案:B,1 2 3 4 5 6,答案:-3,1 2 3 4 5 6,4已知集合A=a,b,B=-1,1,则A到B的一一映射有个.解析:根据映射及一一映射的定义可建立如下一一映射,共2个.答案:2,1 2 3 4 5 6,1 2 3 4 5 6,6已知函数f(x+1)=x2-1,x-1,3,求f(x)的解析式.分析:本题可用“配凑法”或“换元法”求f(x)的解析式.解:方法一(配凑法):因为f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),所以f(x)=x2-2x.又因为x-1,3时,x+10,4,所以f(x)=x2-2x,x0,4.方法二(换元法):令x+1=t,则x=t-1.由x-1,3,知t0,4.由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t0,4,故f(x)=x2-2x,x0,4.,
