1、第2课时补集,1.在具体情境中,了解全集的含义.2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.3.重视补集思想在解题中的应用.,1,2,1.全集与补集如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集,记作UA,读作“A在U中的补集”.,1,2,归纳总结1.补集的符号语言为:UA=x|xU,且xA;2.补集的维恩(Venn)图表示如图所示;3.全集具有相对性,即研究某个问题时的全集可能在研究另一个问题时就不是全集.补集是相对于全集而言的,由于全集具有相对性,
2、那么补集也具有相对性,在不同的全集下,一个集合的补集可能不相同.4.设U是全集,A是U的一个子集,那么对于U中的任何一个元素x,要么xA,要么xUA.,1,2,【做一做1-1】 若集合U=1,2,3,4,5,A=2,4,5,则UA等于()A.2,4,5B.1,3C.1,2,3D.1,2,3,4,5答案:B,1,2,【做一做1-2】 已知全集U=R,若集合M=x|-1x3,则UM等于()A.x|-13D.x|x-1或x3解析:集合M的数轴表示如图所示,由补集的定义,并结合数轴解题.因为M=x|-1x3,所以UM=x|x3.答案:C,1,2,2.补集的性质对于任意集合A,有AUA=U,AUA=,U
3、(UA)=A,UU=,U=U.【做一做2-1】 已知全集U=xZ|-2 016x3,求UA.用数轴表示可知UA=x|x3,如图中阴影部分.在求补集时,还要特别注意看A是否满足AU,再者需看清楚全集的范围.例如,若U=x|x0,A=x|x3,则UA=x|0x3.,二、用维恩(Venn)图来解释U(AB)=UAUB与U(AB)=UAUB剖析:(1)用维恩(Venn)图表示U(AB)=UAUB:,(2)用维恩(Venn)图表示U(AB)=UAUB:归纳总结借助维恩(Venn)图分析集合的运算问题,能使问题简捷地得以解决,能将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来,这正体现了数形结合思想的优越性.,题型
4、一,题型二,题型三,题型四,【例1】 (1)已知全集U=三角形,集合A=直角三角形,求UA;(2)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=2,4,5,B=1,4,5,求UA,UAUB;(3)已知全集U=x|x4,集合A=x|-2x3,B=x|-3x2,求AUB,UAB,UAUB.分析:这是一类涉及集合补集关系的运算,解题的关键是明确全集,根据补集的定义求出集合的补集,再根据交集、并集的定义进行运算.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:(1)因为U=三角形,A=直角三角形,所以UA=锐角三角形或钝角三角形.(2)因为全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,集合A=2,4,5
5、,所以UA=1,3,6,7,8,9.又因为B=1,4,5,所以UB=2,3,6,7,8,9.所以UAUB=1,2,3,6,7,8,9.(3)首先在数轴上表示出全集U和集合A,B(如图所示),则UA=x|x-2或3x4,UB=x|x-3或2x4,所以AUB=x|2x3,UAB=x|x2或3x4,UAUB=U(AB)=x|x-2或2x4.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思利用数轴求无限集合在给定集合中的补集时,务必注意端点的“实”与“虚”,原集合中包含该端点时,在数轴上应画成实心点,此时其补集中就不能含有该端点了.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 (1)已知全集U=整数,集合M
6、=偶数,求UM;(2)已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,集合A满足UA=0,1,3,5,求A;(3)已知全集U=R,集合A=x|x4,B=x|-2x3,求AUB,UAB.解:(1)依题意可得UM=奇数;(2)因为UA=0,1,3,5,所以A=2,4,6;(3)由已知得UB=x|x-2或x3,所以AUB=x|x4.又因为UA=x|x4,所以UAB=x|xa,B=x|1x5,且ARB=R,则实数a的取值范围是.解析:因为B=x|1x5,所以RB=x|x1或x5.又ARB=R,结合数轴分析,可得a1.答案:a1,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 已知A=x|x2-2x-8=0,B=x|
7、x2+ax+a2-12=0.若BAA,求实数a的取值范围.分析:BAA说明B不是A的子集,方程x2-2x-8=0的解为-2,4,则方程x2+ax+a2-12=0的实数解组成的集合可能出现以下几种情况:-2是解,4不是解;4是解,-2不是解;-2和4都不是解.分别求解十分烦琐,这时我们先由BA=A,求出a的取值范围,再利用补集思想求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:若BA=A,则BA.因为A=x|x2-2x-8=0=-2,4,所以集合B有以下三种情况:当B=时,=a2-4(a2-12)16,所以a4.当B是单元素集时,=a2-4(a2-12)=0,所以a=-4或a=4.若a=-4,则B=
8、2A;若a=4,则B=-2A.当B=-2,4时,-2,4是方程x2+ax+a2-12=0的两根,综上可知,当BA=A时,a的取值范围为a-4或a=-2或a4.所以满足BAA的实数a的取值范围为a|-4a4,且a-2.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间的关系不明确、难以从正面入手的问题,在解题时,应及时调整思路,从问题的反面入手,探求已知和未知的关系,这样能化难为易,化隐为显,从而解决问题.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 已知集合P=x|2x3-x2+2ax-3a0,若-1P,则实数a的取值范围是.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,所以UA=x|x1.由图可知,当a1时,UAB;当a1时,UAB.所以实数a的取值范围是a|a5a,且(-1,2)M,则实数a的取值范围是.,1 2 3 4 5 6,5设全集为U,用集合A,B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.答案:(1)U(AB)(2)UAB,1 2 3 4 5 6,6已知全集U=2,0,3-a2,U的子集P=2,a2-a-2,UP=-1,求实数a的值.分析:根据补集的定义及元素的互异性列出方程组,然后解得a的值.,
