1、第一章集合,1.1集合与集合的表示方法,1.1.1集合的概念,1.了解集合的含义,会用符号“”或“”表示元素与集合之间的关系.2.理解集合中元素的特性,重点理解其确定性与互异性.3.熟悉常用数集的符号,尤其要注意空集的含义及表示.,1,2,3,4,5,1.集合的有关概念一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集),通常用英语大写字母A,B,C,表示.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员),通常用英语小写字母a,b,c,表示.名师点拨集合是现代数学中不加定义的基本概念,学习这个概念应注意以下两点:(1)集合是一个“整体”;(2)构成集合
2、的对象必须是“确定”且“不同”的.,1,2,3,4,5,【做一做1】 下列各组对象不能构成集合的是()A.著名的中国数学家B.所有的负数C.清华大学招收的2014级本科生D.某次会议所有的代表解析:因为选项B,C,D中所给的对象都是确定的,所以可以构成集合;而选项A中所给对象不确定,原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名,故不能构成集合.答案:A,1,2,3,4,5,2.元素与集合的关系,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.集合中元素的性质特征(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性.名师点拨在处理集合中有关元素的问题时,求得其中元素(或字母)的值以后,要充分考虑集合元素的互
3、异性与分类讨论思想的应用,要进行代入检验,舍去不符合要求的值.,1,2,3,4,5,【做一做3-1】 若a,a,b,b,a2,b2构成集合M,则M中的元素最多有()个.A.6B.5C.4D.3解析:由集合元素的互异性可知,当a,b,a2,b2互不相等时,集合M中的元素最多,即集合M最多有4个元素.答案:C【做一做3-2】 方程x2-2x+1=0的解集中有个元素.答案:1,1,2,4,3,5,4.集合的分类【做一做4】 指出下列集合是有限集还是无限集:(1)满足2 015x2 017的整数构成的集合;(2)数轴上所有的实数对应的点构成的集合.解:(1)满足2 015x2 017的整数仅有2 01
4、6,故此集合是有限集.(2)数轴上实数对应的点有无穷多个,故此集合是无限集.,1,2,4,3,5,5.常用数集及表示符号【做一做5】 下列关系表示正确的是()A.0N+B.RC.1QD.0Z答案:D,一、集合中元素的特性剖析:确定性:作为一个集合的元素,必须是确定的.这就是说,不能确定的对象就不能构成集合.也就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的(或说是互异的).这就是说,集合中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素.无序性:集合中的元素没有顺序,在表示集合时先写哪个元素都可
5、以.二、特殊集合空集剖析:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作.空集是一个实实在在的集合,只不过此集合中没有任何元素,故称为空集.例如,由“方程x2+2=0的实数根”构成的集合,因为没有适合该集合的元素,所以它是空集.,名师点拨1.空集的本质是其不含有任何元素,它的表现形式是多种多样的.例如,由所有平方等于-1的实数构成的集合;由所有大于-3且小于0的自然数构成的集合;由所有的有两个内角是直角的三角形构成的集合等都是空集.2.不要将实数0或只含一个元素0的集合与空集混为一谈.实数0只能作为元素出现,它不是集合,只含一个元素0的集合不等同于,因为它含有元素.,三、教材中的“思考与讨论”1.你能
6、否确定,你所在班级中,高个子同学构成的集合?并说明理由.剖析:不能确定.原因是对高个子同学“高”的程度没有确定的标准,所以无法判定哪些同学符合要求,因此不能构成集合.2.你能否确定,你所在班级中,最高的3位同学构成的集合?剖析:能确定.因为班里最高的3位同学是确定的(只要按身高从高到低取前三名即可),将他们作为元素放在一起即构成所要求的集合.,题型一,题型二,题型三,【例1】 下列各组对象能构成集合吗?(1)你所在班级的男生;(2)参加2015年第28届世界大学生夏季运动会的高大运动员;(3)关于x的方程x2+5=0的实数解;(4)从1988年到2012年举办奥运会的城市;(5)所有小的正数;
7、(6)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点.解:(1)(3)(4)(6)可以构成集合;(2)(5)不能构成集合.反思看一组对象能否构成一个集合,只要看这组对象是不是确定的,即任何一个对象,要么在这一组对象中,要么不在这组对象之中,而没有第三种情况出现.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 给出以下各组对象:较大的正整数;北京市所有身高为1.75米的人;美国NBA的著名球星;方程x2=4的所有实数解;小于1的正整数.其中能构成集合的对象的组数为()A.2B.3C.4D.5解析:“较大”和“著名”没有确定的标准,所以和不能构成集合,均可构成集合.答案:B,题型一,题型二,题型三,【例2】 由
8、元素3,x,x2-2x构成集合M,则x应满足的条件是.答案:x3,且x0,且x-1反思互异性是集合元素的重要性质,在解决集合中有关元素的问题时,一定要注意利用互异性进行验证.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 由方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有实数根构成的集合中,元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:方程x2-5x+6=0的根是2和3,方程x2-x-2=0的根是2和-1,因此两个方程的所有实数根构成的集合中含有3个元素2,3,-1.答案:C,题型一,题型二,题型三,【例3】 已知集合P中有三个元素a-3,2a-1,a2+4,且-3P,求实数a的值.分析:利用-3
9、是集合P中的元素,可列方程求a的值,最后需验证集合中元素的互异性.解:因为-3P,a2+44,所以a-3=-3或2a-1=-3,解得a=0或a=-1.经检验,当a=0时,P中三个元素为-3,-1,4,满足集合中元素的互异性;当a=-1时,P中三个元素为-4,-3,5,也满足集合中元素的互异性.综上可知,a的值为0或-1.反思在根据元素与集合的关系解题时,要注意将求得的参数值代入检验,看是否符合题意及元素的互异性等性质.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 在例3所给的集合P中,是否含有元素-5?解:不含有元素-5.理由如下:若-5P,由于a2+44,故只能有a-3=-5或2a-1=-5,这
10、时a=-2,但a-3=2a-1=-5,不满足集合中元素的互异性.因此,集合P中不可能含有元素-5.,1 2 3 4 5 6,1下列各组对象,能构成集合的是()A.平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点B.平面内两边之和小于第三边的三角形C.某书店中有意义的小说D.(=3.141)的近似值的全体解析:选项A,C,D中的对象不具有确定性,故不能构成集合;而选项B为,故能构成集合.答案:B,1 2 3 4 5 6,其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:正确,错误.答案:B,1 2 3 4 5 6,3由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值可以是()A.1B
11、.-2C.6D.2解析:代入验证如下:当a=1时,a2=2-a;当a=-2时,a2=2-a=4;当a=2时,a2=4;故1,-2,2均不能满足集合A中元素的互异性,排除选项A,B,D;当a=6时,a2=36,2-a=-4,符合要求,故选C.答案:C,1 2 3 4 5 6,4集合A是由点(2 016,2 015)和点(2 015,2 016)构成的,则A中有个元素.解析:因为点的坐标是有顺序性的,所以集合A中有2个点,即A中有2个元素.答案:2,1 2 3 4 5 6,5设L(A,B)表示直线AB上所有点组成的集合,“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单地写成PL(A,B).答案:,1 2 3 4 5 6,6已知集合A由三个元素a2,a+1,0构成,且1A,试求实数a的值.解:因为1A,所以a2=1或a+1=1.若a2=1,则a=1.当a=1时,集合A中的元素是1,2,0,符合要求;当a=-1时,集合A中的元素是1,0,0,不符合元素的互异性.若a+1=1,则a=0,集合A中的元素是0,1,0,不符合元素的互异性.综上可知,实数a的值为1.,
