1、3.1.1 数系的扩充和复数的概念教学目标：1.知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位 i 2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念 教学重点：复数的概念，虚数单位 i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念； 教学难点：虚数单位 i 的引进及复数的概念教学过程设计（一） 、情景引入，激发兴趣。【教师引入】 ：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了 1，
2、2，3，4 等数以及表示“没有”的数 0.自然数的全体构成自然数集 N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展(二)、探究新知，揭示概念为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集 Q.显然 N Q.如果把自然数集(含正整数和 0)与负整数集合并在一起，构成整数集 Z，则有 Z Q、N Z.如果把整数看作分母为 1 的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理
3、数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集 R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集 R 以后，像 x2=1 这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数 ，叫做虚数i单位.并由此产生的了复数（三） 、分析归纳，抽象概括
4、1.虚数单位 :i(1)它的平方等于-1，即 ; 21i(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. 与1 的关系: 就是1 的一个平方根，即方程 x2=1 的一个根，方程 x2=1 的另一个根是ii! i3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1iiiii4.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部全体复数所成的(,)abRab集合叫做复数集，用字母 C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示，即 ，把复数表示成 a+bi 的形式，(,)ziR叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、
5、纯虚数及 0 的关系：对于复数 ，当且仅当 b=0 时，复数(,)abia+bi(a、 bR)是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数；当 a=0 且 b0 时， z=bi 叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0 时， z 就是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果 a， b， c， dR，那么 a+bi=c+di a=c， b=d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如 3+5i 与 4+3i
6、 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 （四） 、知识应用，深化理解例 1 请说出复数 的实部和虚部，有没有纯虚数？iii 53,123,答：它们都是虚数，它们的实部分别是 2，3，0， ;虚部分别是 3， ， ， ; i21531是纯虚数.例 2 复数2 i+3.14 的实部和虚部是什么？答：实部是 3.14，虚部是2.易错为：实部是2，虚部是 3.14！例 3（课本例 1）实数 m 取什么数值时，复数 z=m+1+(m1) i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？分析因
7、为 mR，所以 m+1， m1 都是实数，由复数 z=a+bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 m 的值.解：(1)当 m1=0，即 m=1 时，复数 z 是实数；(2)当 m10，即 m1 时，复数 z 是虚数；(3)当 m+1=0，且 m10 时，即 m=1 时，复数 z 是纯虚数.例 4 已知(2 x1)+ i=y(3 y)i，其中 x， yR，求 x 与 y.解：根据复数相等的定义，得方程组 ，所以 x= ， y=4)3(1,225（五） 、归纳小结、布置作业教师提出问题：（1）这节课你学到了什么？（2）虚数单位 i 及它的两条性质（3）复数的概念布置作业：课本第 106 页 习题 3.1 1 , 2 , 3；
