1、第一章过关检测(时间:45 分钟,满分:100 分)一、选择题(每小题 6 分,共 48 分)1.(2014 四川高考 )六个人从左至右排成一行 ,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) .A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种答案:B解析:(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为;(2)当最左端排乙的时候 ,排法种数为 .因此不同的排法的种数为=120+ 96=216.2.(2012 课标全国高考 )将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( ).A
2、.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种答案:A解析:将 4 名学生均分为 2 个小组共有=3 种分法,将 2 个小组的同学分给两名教师带有=2 种分法,最后将 2 个小组的人员分配到甲、乙两地有=2 种分法,故不同的安排方案共有 322=12 种.3.(2014 黄冈重点中学高三三月月考) 从 6 名教师中选 4 名开发 A,B,C,D 四门课程,要求每门课程有一名教师开发,每名教师只开发一门课程,且这 6 名中甲、乙两人不开发 A 课程,则不同的选择方案共有( ).A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种答案:B解析:依题意可得从除甲、乙外的四位老师中任取一位开
3、发 A 课程共有=4 种,再从剩下的 5 位老师中分别选 3 位开发其他课程共有=5 43=60.所以完成该件事共有 =240 种情况.4.(2014 湖北高考 )若二项式的展开式中的系数是 84,则实数 a=( ) .A.2 B. C.1 D.答案:C解析:二项式通项 Tr+1=(2x)7-r(ax-1)r=27-rarx7-2r.由题意知 7-2r=-3,则 r=5.令 22a5=84,解得 a=1.5.(2014 南昌第二中学高二下学期期中考试) 已知集合 A=5,B=1,2,C=1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( ).A.33
4、B.34 C.35 D.36答案:A解析:共有-3=33 种.6.(2014 浙江高考 )在(1+x) 6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ).A.45 B.60 C.120 D.210答案:C解析:(1+x )6 展开式的通项公式为 Tr+1=xr,(1+y)4 展开式的通项公式为 Th+1=yh,(1+x )6(1+y)4 展开式的通项可以为 xryh.f(m,n )=.f(3,0)+f(2,1)+f(1,2) +f(0,3)=20+60+36+4=120.故选 C.7.“2012”中含有数字 0
5、,1,2,且数字 2 有两个,则含有 0,1,2,且有两个相同数字的四位数的个数是( ) .A.18 B.24 C.27 D.36答案:B解析:有两个数字相同时,共有三类:0,0,1,2;0,1,1,2;0,1,2,2.第一类:由 0,0,1,2 组成四位数时,千位有 2 种选法,再将剩余的非零数字填入个位、十位、百位中的一个位置,有 3 种方法,再将 0,0 填入其余位置有一种方法,共有 6 个不同四位数.第二类:当千位是 2 时,将 0 填入个位、十位、百位中的一个位置有 3 种方法,再将 1,1 填入其余位置有一种方法,故当千位是 2 时有 3 个不同的四位数.当千位是 1 时,将 0,
6、1,2 填入个位、十位、百位有 6 种方法.当由 0,1,1,2 组成四位数时,共有 9 个.第三类,同第二类,由 0,1,2,2 组成四位数时,共有 9 个.故符合条件的四位数有 6+9+9=24 个.8.的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为( ).A.-40 B.-20 C.20 D.40答案:D解析:在中令 x=1 得(1+a )(2-1)5=2,即 a=1.原式=x,故常数项为x(2x)2(2x)3=-40+80=40.二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)9.(2014 课标全国 高考)(x+a) 10 的展开式中,x 7 的系数为 15,则 a= .(用数字填写
7、答案) 答案:解析:设展开式的通项为 Tr+1=x10-rar,令 r=3,得 T4=x7a3,即 a3=15,得 a=.10.航空母舰“辽宁舰” 将进行一次编队配置科学实验,要求 2 艘攻击型核潜艇一前一后,2 艘驱逐舰和 2 艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为 .(用数字作答) 答案:32解析:第一步确定攻击型核潜艇的先后顺序有种方法;第二步确定在攻击型核潜艇的左侧是驱逐舰、护卫舰的哪一艘并排序有种方法;第三步,将剩下的一艘驱逐舰及护卫舰分列在攻击型核潜艇的右侧并排序有种,所以舰艇分配方案的方法数为=2 5=32 种.11.(2014 浙江高考 )在 8 张
8、奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有 种.(用数字作答) 答案:60解析:不同的获奖情况分为两种,一是一人获两张奖券一人获一张奖券,共有=36 种;二是有三人各获得一张奖券,共有=24 种.因此不同的获奖情况有 36+24=60 种.三、解答题(共 34 分)12.(10 分 )(1)四面体的一个顶点为 A,从其他顶点和各棱中点中取 3 个点,使它们和点 A 在同一平面上,有多少种不同的取法?(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,从其中取 4 个不共面的点,有多少种不同的取法?解:(1)(直接法)如图,在含顶点
9、 A 的四面体的 3 个面上,除点 A 外都有 5 个点,从中取出 3 点必与点 A 共面,共有 3 种取法;含顶点 A 的 3 条棱上各有 3 个点 ,它们与所对的棱的中点共面,共有 3种取法.根据分类加法计数原理,与顶点 A 共面的 3 点的取法有 3+3=33(种).(2)(间接法)如图,从 10 个点中取 4 个点的取法有种,除去 4 点共面的取法种数后可以得到结果.从四面体同一个面上的 6 个点取出的 4 点必定共面,有 4=60(种),四面体每一棱上的 3 点与所对棱的中点共面,共有 6 种共面情况;从 6 条棱的中点中取 4 个点时有 3 种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平
10、分).故 4 点不共面的取法有- (60+6+3)=141(种).13.(12 分 )已知 (+3x2)n的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992.求:(1)展开式中二项式系数最大的项;(2)展开式中系数最大的项 .解:令 x=1,则展开式中各项系数和为(1 +3)n=22n,又展开式中二项式系数和为 2n,2 2n-2n=992,即 n=5.(1)n=5,展开式共 6 项,二项式系数最大的项为第 3、4 两项,T 3=)3(3x2)2=90x6,T4=)2(3x2)3=270.(2)设展开式中第 r+1 项系数最大,则 Tr+1=)5-r(3x2)r=3r,于是r.因此 r=4,即
11、展开式中第 5 项系数最大 ,T5=)(3x2)4=405.14.(12 分 )6 个人坐在一排 10 个座位上,则(用数字表示):(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种 ?(3)4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种 ?解:(1)第一步:6 人先坐在 6 个座位上并排好顺序有=720 种,第二步:将 4 个空位插入有=35 种,所以空位不相邻的坐法共有=72035=25 200 种.(2)第一步:6 人先坐在 6 个座位上并排好顺序有=720,第二步:先将 3 个空位捆绑当作一个空位,再将生产的“ 两个” 空位采用插空法插入有=42 种,所以 4
12、个空位只有 3 个相邻的坐法有=72042=30 240 种.(3)解法一:采用间接法,所有可能的坐法有=151 200 种,四个空位相邻的坐法有=5 040,只有3 个空位相邻的坐法有 30 240 种,所以 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有=151 200-5 040-30 240=115 920 种 .解法二:直接法,分成三类:第一类是空位都不相邻的坐法有=72035=25 200 种.第二类是 4 个空位中只有两个空位相邻的,另两个不相邻的坐法有3=75 600 种.第三类是 4 个空位中,两个空位相邻,另两个空位也相邻的坐法有:=15 120 种;所以 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有 25 200+75 600+15 120=115 920 种.
