1、课时训练 11 离散型随机变量的均值一、选择题1.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数 的数学期望是( ).A.0.6 B.1 C.3.5 D.2答案:C解析:由已知可得 的分布列为 P(=k)=(k=1,2,3,4,5,6),故 E()=1+2+3+4+5+6=21=3.5.2.已知离散型随机变量 的分布列如下 : 0 1 2P 0.3 3k 4k随机变量 =2+1,则 的数学期望为( ).A.1.1 B.3.2 C.11k D.22k答案:B解析:由 0.3+3k+4k=1,得 k=0.1,故 E()=00.3+10.3+20.4=1.1,E()=2E()+1=21.1+1=3.2.3.某种种
2、子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ).A.100 B.200 C.300 D.400答案:B解析:1 000 粒种子的发芽数记为随机变量 ,则 服从二项分布,记 B(1 000,0.9).则 E()=1 0000.9=900.发芽种子数的数学期望为 900.补种数的数学期望为 2(1 000-900)=200.4.设随机变量 X 的分布列如下表:X 0 1 2 3P 0.1 a b 0.1且 E()=1.6,则 a-b=( ).A.-0.2 B.-0.4 C.0.1 D.0.2答案:A
3、解析:根据题意,有解得所以 a-b=-0.2.5.设 10 件产品中含有 3 件次品,从中抽取 2 件进行检查,则查得次品数的数学期望为( ).A. B. C. D.答案:B解析:用 表示抽取 2 件产品的次品件数 ,则 的分布列为 0 1 2P故 E()=0+1+2.6.已知随机变量 X 的分布列如下表所示:X -1 0 1 2P则 E(X2)的值是( ).A. B. C. D.答案:C解析:随机变量 X2 的分布列如下:X2 0 1 4PE(X2)=0+1+4.7.(2014 上海交大附中高三月考) 如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中
4、随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( ).A. B.C. D.答案:B解析:由题意知 X 可能的取值为 0,1,2,3,故有 P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=0+1+2+3.二、填空题8.同时抛掷两颗骰子,至少有一个 3 点或 6 点出现时,就说这次试验成功,则在 9 次试验中,成功次数 的数学期望是 . 答案:5解析:由已知同时抛掷两颗骰子一次,至少有一个 3 点或 6 点出现时的概率为 P=,故 9 次试验相当于独立重复试验 9 次,则成功次数 服从二
5、项分布,且 B.因此 E()=9=5.9.(2014 上海静安、杨浦、青浦、宝山四区高考模拟) 从 5 男和 3 女 8 位志愿者中任选 3 人参加冬奥会火炬接力活动,若随机变量 表示所选 3 人中女志愿者的人数,则 的数学期望是 . 答案:解析:由 8 位志愿者中任选 3 人参加冬奥会火炬接力活动共有=56 种情况.所以 P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=.所以 的数学期望是 E()=2+3=.10.节日期间,某种鲜花的进价是每束 2.5 元,售价是每束 5 元,节后对没有卖出的鲜花以每束 1.6元处理.根据前 5 年节日期间对这种鲜花需求量 (束)的统计 (如下表),若
6、进这种鲜花 500 束在今年节日期间销售,则利润的均值是 元. 200 300 400 500P 0.20 0.35 0.30 0.15答案:706解析:节日期间这种鲜花需求量的均值为 E()=2000.20+3000.35+4000.30+5000.15=340(束).设利润为 ,则 =5+1.6(500-)-5002.5=3.4-450,所以 E()=3.4E()-450=3.4340-450=706(元).三、解答题11.(2014 安徽高考 )甲、乙两人进行围棋比赛 ,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的
7、概率为,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在 4 局以内 (含 4 局)赢得比赛的概率;(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值( 数学期望).解:用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,A k 表示“第 k 局甲获胜”,B k 表示“第 k 局乙获胜”,则 P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=.(2)X 的可能取值为 2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1
8、B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.故 X 的分布列为X 2 3 4 5PE(X)=2+3+4+5.12.(2014 湖南高考 )某企业有甲、乙两个研发小组 ,他们研发新产品成功的概率分别为.现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的
9、研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获利润100 万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.分析:在第(1)问中,考虑到欲求概率的事件包含的互斥事件较多 ,因此可先求其对立事件的概率,再根据互为对立事件的概率之和为 1,求得原事件的概率.在第(2)问中,先列出该企业所获利润的所有可能的取值,然后用相互独立事件的概率公式求出各个概率值,列出表格即得分布列,最后利用数学期望的定义求得期望值.解:记 E=甲组研发新产品成功,F=乙组研发新产品成功.由题设知P(E)=,P()=,P(F)=
10、,P()=,且事件 E 与 F,E 与与 F,都相互独立 .(1)记 H=至少有一种新产品研发成功 ,则,于是 P()=P()P()=,故所求的概率为 P(H)=1-P()=1-.(2)设企业可获利润为 X(万元),则 X 的可能取值为 0,100,120,220.因 P(X=0)=P()=,P(X=100)=P(F)=,P(X=120)=P(E)=,P(X=220)=P(EF)=,故所求的分布列为X 0 100 120 220P数学期望为 E(X)=0+100+120+220=140.13.(2014 山东日照一中高三开学考试) 计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行,每部分考试成绩只
11、记“合格” 与“ 不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“ 合格”并颁发合格证书,甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,在实际操作考试中“合格” 的概率依次为,所有考试是否合格相互之间没有影响.(1)假设甲、乙、丙 3 人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性大?(2)求这 3 人进行理论与实际操作两项考试后,恰有 2 人获得合格证书的概率;(3)用 X 表示甲、乙、丙 3 人计算机考试获合格证书的人数,求 X 的分布列和数学期望 EX.解:(1)记“甲获得合格证书” 为事件 A,“乙获得合格证书”为事件 B,“丙获得合格证书”为事件 C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.因 P(C)P(B)P(A),所以丙获得合格证书的可能性大.(2)设“3 人考试后恰有 2 人获得合格证书 ”为事件 D,则 P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=.故恰有 2 人获得合格证书的概率为.(3)X 的可能取值为 0,1,2,3,且 P(X=0)=,由(2)知 P(X=2)=P(D)=,P(X=3)=,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)-P(X=3)=1-.故 X 的分布列为X 0 1 2 3PX 的数学期望 E(X)=0+1+2+3.
