1、课时作业(四) 几个常见函数的导数A 组 基础巩固1已知 f(x)x n，若 f( 1)4，则 n 的值为( )A4 B4C5 D5解析：f(x) nx n1 ，f(1)n(1) n1 4，n4.答案：A2y x2 在点 处切线的倾斜角为( )32 ( 1，32)A. B.3 4C. D.23 34解析：设倾斜角为 ，y x，y| x1 tan， ，故选 C.3 323答案：C3已知 f(x) ，且 f(m) ，则 m 的值等于( )2x 12A2 B2C2 D4解析：f(x) ，f( m) ，m 24，2x2 2m2 12m2.答案：C4若曲线 yx 在点(a，a )处的切线与两个坐标轴围成
2、的三角形的面积为 18，1212则 a( )A64 B32C16 D8解析：y x ，12 3切线的斜率 k a ，12切线的方程为 ya a (xa) 12 3令 x0，得 y a ，32 1令 y0，得 x3a，即三角形的面积 S 3a a 18.12 32 1解得 a64.答案：A5已知函数 f(x)x 3 的切线的斜率等于 3，则切线有( )A1 条 B2 条C3 条 D不确定解析：f(x) 3x 23，解得 x1，故有两个切点(1,1)和(1，1) ，所以有两条切线答案：B6下列结论中不正确的是( )A若 f(x)x 4，则 f(2)32B若 f(x) ，则 f(2) 1x 22C若
3、 f(x) ，则 f(1)1x2 x 52D若 f(x)x 5，则 f( 1) 5解析：对于 A，f(x)4x 3，f(2)42 332，正确；对于 B，f ( x) ( x ) x ，(1x) 1212 f(2) 2 ，不正确；对于 C，f(x )12 312 123 142 28 (x ) x ，f (1) ，正确；对于 D，f(x)(1x2 x) 52552 7525x 6 ，f ( 1)5，正确答案：B7曲线 y 过点(4,2)的切线方程为( )xAyx1 By x114Cy x Dy x12 32解析：y( ) ，切线的斜率为 .由点斜式得过点(4,2)的切线方程为x12x 14y2
4、 (x4) ，即 y x1.14 14答案：B8曲线 y 在点 Q(16,8)处的切线斜率是 _4x3解析：yx ，y x ，切线斜率为 k 16 .434 134 138答案：389设坐标平面上的抛物线 C：y x 2，过第一象限的点( a，a 2)作抛物线 C 的切线 l，则直线 l 与 y 轴的交点 Q 的坐标为_解析：y2x ，直线 l 的方程为 ya 22a(xa)令 x0，得 ya 2，直线l 与 y 轴的交点的坐标为 (0， a2)答案：(0，a 2)10求与曲线 y 在点 P(8,4)处的切线垂直的直线方程3x2解析：y ，y ( )(x ) x .3x2 3x22323 1
5、8 ，经过点 P(8,4)的切线的斜率为 ，故所求直线方程为23 113 13y43( x8)，即 3xy280.B 组 能力提升11曲线 yx 5 的斜率等于 5 的切线方程为( )A5xy40 B5x y40C5x y40 或 5xy 40 D5xy0解析：设切点为(x 0，y 0)，y5x 4，5x 5.x 01 或 x01，40切点坐标为(1,1)或(1， 1)故所求切线为 y15( x1)或 y15(x1) ，即 5xy40 或 5xy40.答案：C12设曲线 yx n1 (nN *)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则x1x2xn的值为( )A. B.1n 1
6、n 1C. D1nn 1解析：对 yx n1 (nN *)求导得 y(n1)x n.令 x1，得在点(1,1)处的切线的斜率 kn1，在点(1,1)处的切线方程为 y1(n1)( xn1) 令 y0，得 xn ，nn 1x 1x2xn ， 故选 B.12 23 34 n 1n nn 1 1n 1答案：B13曲线 y 和 yx 2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是1x_解析：由Error!得交点 A 的坐标为(1,1)由 yx 2，得 y2x，yx 2 在点 A(1,1)处的切线方程为 y12( x1)，即y2x1.由 y ，得 y ，y 在点 A(1,1)处的切线方程为
7、y1(x1) ，即1x 1x2 1xyx2.S 1 1 .12 (2 12) 12 32 34答案：3414已知曲线方程为 yf( x)x 2，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程解析：设切点 P 的坐标为(x 0，x )20yx 2，y 2x，kf ( x0)2x 0，切线方程为 yx 2x 0(xx 0)20将点 B(3,5)代入上式，得 5x 2x 0(3x 0)，20即 x 6x 050，(x 01)(x 05)0，x 01 或 x0 5，20切点坐标为(1,1)或(5,25) ，故所求切线方程为 y12( x1)或 y2510(x5) ，即 2xy10 或 10xy250.15求证：双曲线 xya 2 上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数证明：设 P(x0，y 0)为双曲线 xya 2 上任一点y .(a2x) a2x2过点 P 的切线方程为 yy 0 (xx 0)a2x20令 x0，得 y ；令 y0 ，得 x2x 0.2a2x0则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S |2x0|2a 2.12|2a2x0|即双曲线 xya 2 上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数 2a2.
