1、课时作业( 九) 生活中的优化问题举例A 组 基础巩固1有边长分别为 8 与 5 的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为( )A18 B10C8 D1解析：设正方形的边长为 x，则V(82x)(5 2x)x2(2x 313x 220x) ，(0 x 52)V4(3x 213x10) ，(0 x 52)令 V0，得 x1，所以当 x1 时，容积 V 取最大值为 18.答案：D2若一球的半径为 r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( )A2 r2 Br 2C4r 2 D. r212解析：如图，设内接圆柱的底面半径为 R，母线长为
2、 l，则 Rrcos，l 2rsin，S 侧 2r cos2rsin4 r2sincos.S4r 2(cos2sin 2)4r 2cos20， .4当 ，即 R r 时，S 侧 最大且 (S 侧 )max2 r2.4 22答案：A3用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A6 B8C10 D12解析：设截去的小正方形的边长为 x cm，铁盒的容积为 V cm3，由题意，得 Vx (482x)2(0x 24)，V12(24x)(8x)令 V0，则在(0,24
3、) 内有 x8，故当 x8 时，V 有最大值答案：B4某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品若该商品零售价定为 P 元，销售为 Q，销量 Q(单位：件)与零售价 P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP 2，则最大毛利润为( 毛利润销售收入进货支出 )( )A30 元 B60 元C28 000 元 D23 000 元解析：设毛利润为 L(P)，由题意知，L(P)PQ20 QQ( P20)(8 300170PP 2)(P20)P 3150P 211 700P 166 000，所以 L(P )3P 2300P 11 700.令 L(P )0，解得 P30 或 P130(舍去)
4、此时，L(30)23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件 30 元时，最大毛利润为 23 000 元答案：D5要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为 72 cm3，其底面两邻边长之比为12，则它的长为_cm，宽为_cm，高为_cm 时，可使表面积最小解析：设底面两邻边长分别为 x cm,2x cm，则高 h .722x2 36x2表面积 S4x 22( x2x ) 4x 2 (x0)36x2 216xS8x (x327)216x2 8x2令 S0，解得 S 在(0， )内的唯一可能的极值点为 x3，x3 时函数取极值，且就是它的最小值答案：6 3 46做一个
5、容积为 256 dm3 的方底无盖水箱，它的高为 _dm 时最省料解析：设底面边长为 x dm，则高 h ，256x2其表面积为 Sx 24 xx 2 ，256x2 2564xS2x ，令 S0，得 x8，2564x2则高 h 4(dm)25664答案：47一个帐篷，它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥( 如图所示)当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离为_时，帐篷的体积最大解析：设 OO1 为 x m，底面正六边形的面积为 S m2，帐篷的体积为 V m3.则由题设可得正六棱锥底面边长为 (m)，32 x 12 8 2x x2于是底面正六边形的
6、面积为S6 ( )2 (82xx 2)34 8 2x x2 332帐篷的体积为V (82x x 2)(x1) (82xx 2)13 332 332 (82x x2)332 13x 1 1 (1612x x3)，32求导数，得 V (123x 2)32令 V0，解得 x2 或 x 2(不合题意，舍去)当 1x2 时，V 0；当 2x 4 时，V0.所以当 x2 时，V 最大答案：2 m8一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时 10 千米时的燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解析：设轮
7、船速度为 x(x0)千米/时的燃料费用为 Q 元，则 Qkx 3，由 6k10 3，可得 k .Q x3.3500 3500总费用 y x2 .(3500x3 96)1x 3500 96xy .令 y0，得 x20.6x500 96x2当 x(0,20)时，y0，此时函数单调递减，当 x(20 ，)时，y 0，此时函数单调递增当 x20 时，y 取得最小值，此轮船以 20 千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小B 组 能力提升9统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升) 关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表示为 y x3 x8(0x120)已知甲、乙两地相距 100
8、 千1128 000 380米(1)当汽车以 40 千米/ 时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解析：(1)当 x40 时，汽车从甲地到乙地行驶了 2.5 小时，要耗油100402.517.5(升) (1128 000403 38040 8)(2)当速度为 x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 h(x)升，100x依题意得 h(x) x2 (0x120)，(1128 000x3 380x 8) 100x 11 280 800x 154h(x) (0x 120) x640 800x2 x3 80
9、3640x2令 h(x) 0，得 x80.因为 x(0,80)时，h(x)0，h(x)是减函数；x(80,120)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当 x80 时，h( x)取得极小值 h(80)11.25(升)因为 h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值即汽车以 80 千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升10为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系：C(x)
10、 (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用k3x 5与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解析：(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x) ，k3x 5再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x) .403x 5而建造费用为 C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x )C 1(x)20 6x 6 x(0x10) 403x 5 8003x 5(2)f(x) 6 .2 4003x 52令 f(x )0，即 6，2 4003x 52解得 x5 或 x (舍去)253当 0x5 时，f( x)0；当 5x10 时，f( x)0.故 x5 时是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)65 70.80015 5当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元
