1、第二章章末质量评估检测时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1自然数是整数，4 是自然数，所以 4 是整数以上三段论推理( )A正确B推理形式不正确C两个“自然数”概念不一致D “两个整数”概念不一致解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的答案：A2已知b n为等比数列，b 52，则 b1b2b3b92 9.若a n为等差数列，a 52，则a n的类似结论为( )Aa 1a2a3a92 9 Ba 1a 2a 92 9Ca 1a2a929 Da 1a 2a 929解析：由等差
2、数列性质，有 a1a 9a 2a 82a 5.易知 D 成立答案：D3已知 f(x1) ，f(1)1(xN *)，猜想 f(x)的表达式为( )2fxfx 2Af(x) Bf(x )42x 2 2x 1Cf(x) Df(x )1x 1 22x 1解析：f(2) ，f(3) ，f (4) ，猜想 f(x) .22 1 23 1 24 1 2x 1答案：B4下列四类函数中，具有性质“对任意的 x0，y0，函数 f(x)满足f(x) yf(xy )”的是( )A指数函数 B对数函数C一次函数 D余弦函数解析：当函数 f(x)a x(a0，a1)时，对任意的 x0，y0，有f(x )y(a x)ya
3、xyf( xy)，即指数函数 f(x)a x(a0，a1) 满足f(x) yf (xy)，可以检验，B ，C，D 选项均不满足要求答案：A5下列推理正确的是( )A把 a(bc) 与 loga(xy )类比，则有 loga(xy )log axlog ayB把 a(bc)与 sin(xy )类比，则有 sin(xy)sinx sinyC把 a(bc)与 axy 类比，则有 axy a xa yD把(ab) c 与(xy)z 类比，则有(xy) zx(yz)解析：(xy) zx (yz)是乘法的结合律，正确答案：D6观察下列各式：ab1，a 2b 23，a 3b 34，a 4b 47，a 5b
4、511，则a10b 10( )A28 B76C123 D199解析：记 anb nf(n)，则 f(3)f(1)f (2)134；f (4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现 f(n)f (n1)f(n2)( nN *，n3)，则 f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6) 29； f(8)f(6)f (7)47；f (9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以 a10b 10123.答案：C7在平面直角坐标系内，方程 1 表示在 x，y 轴上的截距分别为 a，b 的直线，xa yb拓展到空间直角坐标系内，在 x，y，z 轴
5、上的截距分别为 a，b，c( abc0)的平面方程为( )A. 1 B. 1xa yb zc xab ybc zcaC. 1 Dax bycz 1xyab yzbc zxca解析：类比到空间应选 A.另外也可将点 (a,0,0)代入验证答案：A8求证： .2 3 5证明：因为 和 都是正数，2 3 5所以为了证明 ，2 3 5只需证明( )2( )2，2 3 5展开得 52 5，即 2 0，6 6此式显然成立，所以不等式 成立2 3 5上述证明过程应用了( )A综合法B分析法C综合法、分析法配合使用D间接证法解析：证明过程中的“为了证明” ， “只需证明”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的
6、证明模式答案：B9用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，假设正确的是( )A假设三内角都不大于 60B假设三内角都大于 60C假设三内角至多有一个大于 60D假设三内角至多有两个大于 60解析：假设应为“三内角都大于 60”答案：B10数列a n满足 a1 ，a n1 1 ，则 a2 013 等于( )12 1anA. B112C2 D3解析：a 1 ，a n1 1 ，12 1ana 21 1，1a1a31 2，1a2a41 ，1a3 12a51 1，1a4a61 2，1a5a n3k a n(n N*，kN *)a 2 013a 33670 a 32.答案：C11分析
7、法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设 abc，且 abc0，求证： a”最终的索因应是( )b2 ac 3Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(a b)(ac )0解析：要证 ab2 ac 3只需证 b2ac3a 2abc0，bac只需证(ac) 2ac 3a 2只需证(ca)(c2a)0只需证(ca)(cabc)0只需证(ca)(ab)0故选 C.答案：C12观察式子：1 ，1 ，1 ，则可归纳出一般122 32 122 132 53 122 132 142 74式子为( )A1 (n2)122 132 1n2 12n 1B1 (n2)122 132 1n2 2n 1nC1 (n2
8、)122 132 1n2 2n 1nD1 (n2)122 132 1n2 2n2n 1解析：由合情推理可得答案：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 “因为 AC，BD 是菱形 ABCD 的对角线，所以 AC，BD 互相垂直且平分 ”以上推理的大前提是_答案：菱形对角线互相垂直且平分14已知 x，yR，且 xy 2，且 x，y 中至少有一个大于 1，在用反证法证明时，假设应为_解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y 均不大于 1”，亦即“x1且 y1” 答案：x，y 均不大于 1(或者 x1 且 y1)15已知 2 ， 3 ， 4 ， 6 ，a，b
9、均为2 23 23 3 38 38 4 415 415 6 ab ab正实数，由以上规律可推测出 a、b 的值，则 ab_.解析：由题意归纳推理得 6 ，6 ab abb6 2135，a6.ab63541.答案：4116现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是 a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，a24有两个棱长为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为_解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部的体积为 .a38答案：a38三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解
10、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交结论是正确的，证明如下：设 ，且 a，则必有 b，若 与 不相交，则必有 .又 ， ，与 a 矛盾，必有 b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交18(本小题满分 12 分)ABC 中，三边 a、b、c
11、成等比数列求证：acos 2 ccos 2 b.C2 A2 32证明：a、b、c 成等比数列，b 2ac.acos 2 ccos 2 C2 A2 a1 cosC2 c1 cosA2 (ac) (acosCc cosA)12 12 (ac) 12 12(aa2 b2 c22ab cb2 c2 a22bc ) (ac) b 12 12 ac b2b bb2 32acos 2 ccos 2 b.C2 A2 3219(本小题满分 12 分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数；sin 213cos 217sin13cos17；sin 215cos 215sin15cos15；
12、sin 218cos 212sin18cos12；sin 2(18)cos 248sin(18)cos48 ；sin 2(25)cos 255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析：方法一：(1)选择式，计算如下：sin215cos 215sin15cos151 sin30 1 .12 14 34(2)三角恒等式为 sin2cos 2(30)sincos(30) .34证明如下：sin2cos 2(30) sin cos(30)sin 2(cos30cos sin30sin) 2s
13、in(cos30cossin30sin)sin 2 cos2 sincos sin2 sincos sin2 sin2 cos2 .34 32 14 32 12 34 34 34方法二：(1)同方法一(2)三角恒等式为 sin2cos 2(30)sincos(30) .34证明如下：sin2cos 2(30) sin cos(30) sin (cos301 cos22 1 cos60 22cossin30sin ) cos2 (cos60cos2sin60sin2)12 12 12 12 sincos sin2 cos2 cos2 sin2 sin2 (1cos2)32 12 12 12 12
14、 14 34 34 141 cos2 cos2 .14 14 14 3420(本小题满分 12 分)若 a10，a 11，a n1 (n1,2，) 2an1 an(1)求证：a n1 a n；(2)令 a1 ，写出 a2、a 3、a 4、a 5 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 an(不要求12证明) 解析：(1)证明：若 an1 a n，即 a n，2an1 an解得 an0 或 1.从而 ana n1 a 2a 10 或 1，这与题设 a10，a 11 相矛盾，所以 an1 a n不成立故 an1 a n成立(2)由题意得 a1 ，a 2 ，12 23a3 ，a 4 ，a 5 ，45
15、89 1617由此猜想：a n .2n 12n 1 121(本小题满分 12 分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)(1)求证：tan ；(x 4) 1 tanx1 tanx(2)设 xR，a 为非零常数，且 f(x) ，试问：f(x) 是周期函数吗？证明你的1 fx1 fx结论解析：(1)证明：由两角和的正切公式得tan ，(x 4)tanx tan41 tanxtan4 tanx 11 tanx即 tan ，命题得证(x 4) 1 tanx1 tanx(2)猜想 f(x)是以 4a 为周期的周期函数证明过程如下：f(x 2a)f(x a)a .1 fx a1 fx a1 1 fx1 f
16、x1 1 fx1 fx 1fxf(x 4a)f(x 2a)2a f(x )1fx 2af(x)是以 4a 为周期的周期函数f(x)是周期函数，其中一个周期为 4a.22(本小题满分 12 分)已知 Cn(n1) n，设 TnC 1C 2C n，试比较 Tn与 的大小，并予以证(12) 5n2n 1明解析：C n(n1) n，(12)故 Tn2 3 24 3(n1) n，12 (12) (12) (12)Tn2 23 34 4(n1) n1 ，12 (12) (12) (12) (12)由，得Tn1 2 3 n(n1) n112 (12) (12) (12) (12)1 (n1) n1141 (
17、12)n 11 12 (12) .32 n 32n 1T n3 ，n 32nT n 3 5n2n 1 n 32n 5n2n 1 ，n 32n 2n 12n2n 1于是确定 Tn与 的大小关系等价于比较 2n与 2n1 的大小5n2n 1由 2211,2 2221,2 3231,2 4241,2 5251，可猜想当 n3时，2 n2n1，证明如下：当 n3 时，由上可知显然成立假设当 nk 时，2 k2k1 成立那么，当 nk1 时，2k1 2 2k2(2k1) 4k22(k 1)1(2k 1)2(k1) 1，所以当 nk1 时猜想也成立，综合和，对一切 n3 的正整数，都有 2n2n1.所以当 n1,2 时，T n ；5n2n 1当 n3 时，T n (n 为正整数)5n2n 1
