1、课时作业(十九) 数学归纳法A 组 基础巩固1用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，x ny n能被 x y 整除”的第二步是( )A假使 n2k1 时正确，再推 n2k3 时正确B假设 n2k 1 时正确，再推 n2k1 时正确C假设 nk 时正确，再推 nk1 时正确D假使 nk(k 1)时正确，再推 nk2 时正确(以上 kN *)答案：B2某同学回答“用数学归纳法证明 1)，第二步证明由“k 到12 13 12n 1k1”时，左端增加的项数是( )A2 k 1 B2 kC2 k1 D2 k1答案：B4用数学归纳法证明 1(nN *，n2) ，由“k 到 k1”时，1n 1n 1 1n
2、2 12n不等式左端的变化是( )A增加 一项12k 1B增加 和 两项12k 1 12k 1C增加 和 两项，同时减少 一项12k 1 12k 1 1kD以上都不对答案：C5已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明1 2( )时，若已知假设 nk(k 2)为偶数时12 13 14 1n 1n 1n 2 1n 4 12n命题为真，则还需要用归纳假设再证( )Ank1 时等式成立Bnk2 时等式成立Cn2k2 时等式成立Dn2(k2)时等式成立答案：B6平面上原有 k 个圆，它们相交所成圆弧共有 f(k)段，若增加第 k1 个圆与前 k 个圆均有两个交点，且不过前 k 个圆的交点，试问前 k 个圆的
3、圆弧增加_段答案：2k7对于不等式 n2(nN *)，某学生的证明过程如下：n2 4n(1)当 n1 时， 12，不等式成立12 4(2)假设 nk(kN *)时，不等式成立，即 k2，则 nk1 时，k2 4k (k1) 2.k 12 4k 1 k2 6k 5 k2 6k 5 4 k 32当 nk1 时，不等式成立上述证法第_步错误答案：(2)8对任意 nN *,34n2 a 2n 1 都能被 14 整除，则最小的自然数 a_.解析：当 n1 时，3 6a 3 能被 14 整除的数为 a3 或 5；当 a3 且 n2 时，3 103 5不能被 14 整除，故 a5.答案：59已知 nN *，
4、求证 12223 2(2 n1)(2 n)22n(2 n1) 2n(n1)(4 n3)证明：当 n1 时，左边41814(1) 27右边 假设当nk( k N*，k 1)时成立，即 12223 2(2 k1)(2k) 22k(2 k1) 2k( k1)(4k3)当 nk 1 时，12 223 2(2k1)(2k) 22k(2k 1) 2(2k1)(2k2)2(2k 2)(2k3) 2k (k1)(4k3)(2 k2)(2k1)(2 k2)(2k3) 2k(k1)(4k3)2( k 1)(6k7) (k1)(k2)(4k7)(k 1)(k1) 14( k1) 3，即当 nk1 时成立综上所述，对
5、一切 nN *结论成立B 组 能力提升10当 n2，nN *时，求证： 1 .12 13 1n n证明：(1)当 n2 时，左边1 1.7，右边 ，左边右边12 2(2)方法一：假设当 nk(k2 且 kN *)不等式成立，即 1 ，则12 13 1k k当 nk1 时，左边1 12 13 1k 1k 1 k 1k 1 kk 1 1k 1 kk 1k 1 右式，k 1k 1 k 1即当 nk1 时，不等式也成立方法二：假设当 nk( k2，且 kN *)时不等式成立，即 1 ，则12 13 1k k当 nk1 时，左边1 ，右边 要证不等式12 13 1k 1k 1 k 1k 1 k 1成立，
6、只需证 ，k1k 1 k 1只需证 k k 1 1k 1 k 1只需证 1k1，kk 1只需证 k ，k2 k只需证 k2kk 2，只需证 k0，由题设知显然成立所以当 nk1 时，不等式也成立方法三：假设当 nk( k2，且 kN *)时不等式成立，即 1 ，则12 13 1k k当 nk1 时，左边1 ，12 13 1k 1k 1 k 1k 1右边 ，k 1因为 0，k1k 1 k 1 kk 1 1 k 1k 1 kk 1 kk 1所以左边右边所以当 nk1 时，不等式也成立根据(1)和(2)，可知对一切 nN *，且 n2，不等式都成立11已知某数列的第一项为 1，并且对所有的自然数 n
7、2，数列的前 n 项之积为 n2.(1)写出这个数列的前 5 项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明解析：(1)已知 a11，由题意，得 a1a22 2，a 22 2.a 1a2a33 2，a 3 .3222同理，可得 a4 ，a 5 .4232 5242因此这个数列的前 5 项分别为 1,4， ， .94169 2516(2)观察这个数列的前 5 项，猜测数列的通项公式应为：anError!下面用数学归纳法证明当 n2 时，a n .n2n 12当 n2 时，a 2 2 2，结论成立222 12假设当 nk( k2，k N *)时，结论成立，即 ak .k2k 12a 1a2ak1 (k 1) 2，a1a2ak1 akak1 (k1) 2，a k1 .k 12a1a2ak 1ak k 12k 12k 12k2 k 12k2 k 12k 1 12这就是说当 nk1 时，结论也成立根据可知，当 n2 时，这个数列的通项公式是 an .n2n 12这个数列的通项公式为 anError!
