1、课时作业(二十二) 复数代数形式的加减运算及其几何意义A 组 基础巩固1若 z12i，z 23ai(a R)，且 z1z 2 所对应的点在实轴上，则 a 的值为( )A3 B2C1 D1解析：z 1z 22i3ai(2 3)(1a)i5(1 a)i.z 1z 2 所对应的点在实轴上，1a0.a1.答案：D2已知 z134i，z 25 2i，z 1，z 2 对应的点分别为 P1，P 2，则 对应的复数P2P1 为( )A86i B86iC86i D22i解析：由复数减法的几何意义，知 对应的复数为 z1z 2(34i)( 52i)P2P1 (35)( 4 2)i86i，故选 B.答案：B3已知|
2、z|3，且 z3i 是纯虚数，则 z 等于( )A3 B3C3i D3i解析：设 zxy i，x，y R，则 z3ix( y3)i.因为 z3i 是纯虚数，所以Error!又因为|z | 3，解得 x0，y3，即 z3i.x2 y2答案：D4设复数 z 满足| z34i|1，则|z| 的最大值是( )A3 B4C5 D6解析：因为|z34i|1，所以复数 z 所对应点在以 C(3,4)为圆心，半径为 1 的圆上，由几何性质得| z|的最大值是 16.32 42答案：D5设复数 z 满足| z34i|z34i|，则复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( )A圆 B半圆C直线 D射线解析：设 zxy
3、 i，x，y R，由|z34i|z34i| 得x 32 y 42 ，x 32 y 42化简可得 3x4y 0，所以复数 z 在复平面上对应点的轨迹是一条直线答案：C6已知复数 z1 2m i，z 2m m 2i，若 z1z 20，则实数 m_.3m 1解析：z 1z 2( 2mi)(m m 2i)3m 1( m)( m22m)i.3m 1因为 z1z 20，所以 z1z 2 为实数且大于 0，所以Error!解得 m2.答案：27已知 z1 a(a1)i，z 23 b(b2)i(a，bR) ，若 z1z 24 ，则32 3 3ab_.解析：z 1z 2 3 b(b2)i ( ab1)i4 ，3
4、2a a 1i 3 ( 32a 33b) 3由复数相等的充要条件，得Error!解得Error!故 ab3.答案：38设实数 x，y ， 满足以下关系：xyi 35cos i(45sin )，则 x2y 2 的最大值是_解析：xyi(35cos)i(45sin )，x 2y 2(35cos) 2(45sin )25030cos 40sin5050cos()，其中sin ，cos .45 35(x 2 y2)max5050100.答案：1009已知复平面内平行四边形 ABCD，A 点对应的复数为 2i，向量 对应的复数为BA 12i，向量 对应的复数为 3i，求：BC (1)点 C，D 对应的复
5、数；(2)平行四边形 ABCD 的面积解析：(1)向量 对应的复数为 12i，向量 对应的复数为 3i，BA BC 向量 对应的复数为(3i)(12i)23i.AC 又 ，OC OA AC 点 C 对应的复数为(2i)(23i)42i. ，AD BC 向量 对应的复数为 3i，即 (3 ，1)AD AD 设 D(x， y)，则 (x 2，y1)(3 ，1)，AD Error!解得Error!点 D 对应的复数为 5.(2) | | |cosB，BA BC BA BC cosB .BA BC |BA |BC | 3 2510 152 2100B，sinB ，7210S| | |sinB 7，BA
6、 BC 5 10 7210平行四边形 ABCD 的面积为 7.B 组 能力提升10若 zC，且| z22i|1，求| z22i|的最小值解析：设 zxy i，x，y R，由|z22i|1，得|z( 22i)| 1，表示以 (2,2) 为圆心，1 为半径的圆，如图所示，则|z22i| 表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数形结合得x 22 y 22|z22i|的最小值为 3.11已知 z1cosisin，z 2cosisin，且 z1z 2 i，求 cos()的值513 1213解析：因为 z1cosisin，z 2cosisin，所以 z1z 2(coscos )(sinsin )i i，5
7、13 1213所以Error!两式平方相加得(coscos)2(sinsin) 222(coscos sinsin )22cos( ) 2 21，即(513) (1213)22cos( ) 1，所以 cos() .1212已知|z 1|z 2|1，z 1z 2 i，求复数 z1，z 2 及|z 1z 2|.12 32解析：由于|z 1z 2| 1.设 z1，z 2，z 1z 2 对应的向量分别为 ， ， ，则|12 32i| OA OB OC | | |1，故 A，B，C 三点均在以原点为圆心，半径为 1 的圆上，如图OA OB OC 方法一：由余弦定理易得：cosAOC ，|OA |2 |O
8、C |2 |AC |22|OA |OC | 12故AOC60，又由平行四边形法则知四边形 OBCA 为平行四边形，OACB 为菱形，且BOC，COA 都是等边三角形，即AOB120.又 与 x 轴正半轴的夹角为 60，OC 点 A 在 x 轴上，即 A(1,0)而 xB| |cos120 ，y B| |sin120 ，OB 12 OB 32点 B 的坐标为 .( 12，32)Error!或Error!|z 1z 2| .|(32 32i)| 3方法二：|z 1z 2|22|z 1|22|z 2|2|z 1z 2|23，|z 1z 2| .3方法三：由余弦定理，得| |2| |2| |22| |
9、 |cos1203.AB OA OB OA OB 又z 1z 2 ，OA OB BA |z 1z 2| | | .BA AB 313在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边的长度分别为 a，b，c，设复数zcosA isinA，且满足|z1|1.(1)求复数 z；(2)求 的值b cacos60 C解析：(1)z cosAisin A，z11cosAisinA.|z1| 1 cosA2 sin2A .2 2cosA|z1|1.22cosA 1.cosA . A120.12sinA .复数 z i.32 12 32(2)由正弦定理，得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC( 其中 R 为ABC 外接圆的半径)，原式 .sinB sinCsinAcos60 CB180AC60C ，原式sin60 C sinCsin120cos60 C 32cosC 32sinC32cos60 C cosC 3sinCcos60 C 2，2cos60 Ccos60 C即 的值为 2.b cacos60 C
