1、 2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程1抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离_ 的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的_，直线 l 叫做抛物线的_ 2抛物线的标准方程(1)方程 y22px，x 22py(p0)叫做抛物线的_ 方程(2)抛物线 y22px(p0)的焦点坐标是 _，准线方程是 _，开口方向_(3)抛物线 y22px(p0)的焦点坐标是 _，准线方程是 _，开口方向_(4)抛物线 x22py(p0)的焦点坐标是 _
2、，准线方程是 _，开口方向_(5)抛物线 x22py(p0)的焦点坐标是 _，准线方程是 _，开口方向_一、选择题1抛物线 y2ax(a0)的焦点到其准线的距离是( )A. B. C|a| D|a|4 |a|2 a22已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在双曲线 1 上，则抛物线x24 y22方程为( )Ay 28x By 24xCy 22x Dy 28x3抛物线 y22px(p0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a )，则点 M 的横坐标是( )p2Aa Ba p2 p2Ca p Dap4过点 M(2,4)作与抛物线 y28x 只有一个公共点的直线 l 有( )A0 条 B1 条C
3、2 条 D3 条5已知抛物线 y22px(p0) ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )Ax1 Bx1Cx2 Dx26设抛物线 y22x 的焦点为 F，过点 M( ，0) 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与3抛物线的准线相交于点 C，|BF|2，则BCF 与ACF 的面积之比 等于( )S BCFS ACFA. B.45 23C. D.47 12题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7抛物线 x212y0 的准线方程是_8若动点 P 在 y2x 21 上，则点 P 与点 Q(0，1)连线中点的轨迹方程
4、是_9已知抛物线 x2y1 上一定点 A(1,0) 和两动点 P， Q，当 PAPQ 时，点 Q 的横坐标的取值范围是_三、解答题10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M(3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程11求焦点在 x 轴上且截直线 2xy10 所得弦长为 的抛物线的标准方程15能力提升12已知抛物线 y22px(p0) 的准线与圆(x 3) 2y 216 相切，则 p 的值为( )A. B1 C2 D41213已知抛物线 y22px (p0)上的一点 M 到定点 A 和焦点 F 的距离之和的最小(72，4)值等
5、于 5，求抛物线的方程1四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向2焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x22py 通常又可以写成 yax 2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程 yax 2 来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程知识梳理1相等 焦点 准线2(1)标准 (2)( ，0) x 向右p2 p2(3)( ， 0) x 向左 (4)(0 ， ) y 向上 (5)(0， ) y 向下p2 p2 p2
6、 p2 p2 p2作业设计1B 因为 y2ax ，所以 p ，即该抛物线的焦点到其准线的距离为 ，故选 B.|a|2 |a|22D 由题意知抛物线的焦点为双曲线 1 的顶点，即为(2,0)或(2,0) ，所以x24 y22抛物线的方程为 y28x 或 y28x.3B 由抛物线的定义知：点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线 x 的p2距离，所以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a .p24C 容易发现点 M(2,4)在抛物线 y28x 上，这样 l 过 M 点且与 x 轴平行时，或者 l在 M 点处与抛物线相切时，l 与抛物线有一个公共点，故选 C.5B y 22px
7、 的焦点坐标为( ，0)，p2过焦点且斜率为 1 的直线方程为 yx ，即 xy ，将其代入 y22px 得p2 p2y22pyp 2，即 y22pyp 20.设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则y1y 22p， p2 ，抛物线的方程为 y24x，其准线方程为 x1.y1 y226A 如图所示，设过点 M( ，0) 的直线方程为 yk( x )，代入 y22x 并整理，3 3得 k2x2(2 k22)x 3k 20，3则 x1x 2 .23k2 2k2因为|BF|2，所以| BB| 2.不妨设 x22 是方程的一个根，12 32可得 k2 ，3(32 3)2所以 x12. .SBC
8、FSACF12|BC|d12|AC|d |BC|AC| |BB |AA | 22 12 457y3解析 抛物线 x212y 0，即 x212y，故其准线方程是 y3.8y4x 29(，31 ，)解析 由题意知，设 P(x1，x 1)，Q(x 2，x 1)，21 2即(1x 1,1x )(x2x 1，x x )0，21 2 21也就是(1x 1)(x2x 1)(1x )(x x )0.21 2 21x 1x 2，且 x11，上式化简得 x2 x 1 (1x 1)1，11 x1 11 x1由基本不等式可得 x21 或 x23.10解 设抛物线方程为 y22px (p0)，则焦点 F ，由题意，得E
9、rror!( p2，0)解得Error! 或Error!故所求的抛物线方程为 y28x，m 2 .6抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.11解 设所求抛物线方程为 y2ax (a0)直线方程变形为 y2x 1，设抛物线截直线所得弦为 AB.代入，整理得 4x2(4 a) x10，则|AB| .1 22(a 44 )2 414 15解得 a12 或 a4.所求抛物线方程为 y212x 或 y24x.12C 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为 x .p2准线与圆相切，圆的方程为(x3) 2y 216，3 4，p2.p2方法二 作图可知
10、，抛物线 y22px (p0)的准线与圆(x3) 2y 216 相切于点( 1,0)，所以 1，p2.p213解 (1)当点 A 在抛物线内部时，如图，4 2 时，| MF|MA| |MA|MA|.72 167当 A，M，A共线时，(|MF|MA|) min5，故 5，p3 满足 p ，p2 72 167抛物线方程为 y26x .(2)当点 A 在抛物线外部或在抛物线上时 422p ，即 0p 时，连结 AF 交抛物线于72 167M，此时(| MA|MF|)最小，即|AF|5.即 5，p1 或 p13( 舍)(72 p2)2 42抛物线方程为 y22x .综上抛物线方程为 y26x 或 y22x.
