1、基础巩固强化一、选择题1设 M 是ABC 的重心，记 a ，b ，c ，则BC CA AB 为( )AM A. B.b c2 c b2C. D.b c3 c b3答案 D解析 M 为ABC 重心，则 ( ) (cb) AM 2312AB AC 13AB AC 132如图所示，已知 A，B，C 三点不共线， P 为平面 ABC 内一定点，O 为平面 ABC 外任一点，则下列能表示向量 的为( )OP A. 2 2 B. 3 2OA AB AC OA AB AC C. 3 2 D. 2 3OA AB AC OA AB AC 答案 C解析 根据 A，B，C，P 四点共面的条件可知 x y .AP A
2、B AC 由图知 x 3，y 2， 3 2 ，故选 C.OP OA AB AC 3已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 中， ，若 xA1E 14A1C1 AE y( )，则 ( )AA1 AB AD Ax 1， y Bx ，y112 12C x 1，y Dx1，y13 14答案 D解析 ( )所AE AA1 A1E AA1 14A1C1 AA1 14AB AD 以 x1，y .144已知 i 与 j 不共线，则存在两个非零常数 m，n，使km inj 是 i，j，k 共面的( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D非充分非必要条件答案 C解析 本题考查空间三个向量共面的条件若
3、i 不平行 j，则k 与 i，j 共面存在惟一的一对实数 x，y 使 kxiyj.故选 C.5对空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C，能得到P、A、B 、C 四点共面的是( )A. OP OA OB OC B. OP 13OA 13OB 13OC C. OP OA 12OB 12OC D以上皆错答案 B解析 解法一： 1，选 B.13 13 13解法二： ，OP 13OA 13OB 13OC 3 ，OP OA OB OC ( )( )，OP OA OB OP OC OP ，AP PB PC ， P、A、B、C 共面PA PB PC 二、填空题6化简 (a2b3c)5( a b c)3(a2
4、bc) _.12 23 12 23答案 a b c56 92 76解析 原式 ab c a b c3a6b3c a b c.12 32 103 52 103 56 92 767在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N 分别是 A1A，B 1B 的中点，O 为 BD1 的中点设 a， b， c，用 a，b，cAB AA1 AD 表示下列向量：(1) _；D1N (2) _.OM 答案 (1)a bc (2) a c12 12 12解析 (1) a bc.D1N 12(2) a c.OM 12 12三、解答题8在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M 为 DD1 的中点，N 在 AC上
5、，且 AN:NC2:1，求证： 与 、 共面A1N A1B A1M 解析 ， ， (A1B AB AA1 A1M A1D1 D1M AD 12AA1 AN 23AC 23AB )AD ( )A1N AN AA1 23AB AD AA1 ( ) ( )23AB AA1 23AD 12AA1 .23A1B 23A1M 与 ， 共面A1N A1B A1M 9已知平行六面体 ABCDABCD，点 E 在 AC上，且 AE:EC 1:2，点 F，G 分别是 BD 和 BD的中点，求下列各式中的 x，y ，z 的值(1) x y z ；AE AA AB AD (2) x y z ；BF BB BA BC
6、(3) x y z .GF BB BA BC 解析 (1)AE:EC1:2， AE 13AC ( ) ( )13AB BC CC 13AB AD AA ，13AA 13AB 13AD x ，y ，z .13 13 13(2)F 为 BD的中点， ( ) ( )BF 12BB BD 12BB BA AA A D (2 ) ，12 BB BA BC BB 12BA 12BC x1，y ，z .12 12(3)G、F 分别为 BD、BD的中点， ，x ，y0，z0.GF 12BB 1210已知 i、j、k 是不共面向量，ai 2jk，bi3j2k，c3i7j ，证明这三个向量共面解析 设 abc，则
7、 i2jk( 3)i(3 7 )j2 k，i，j，k 不共面，Error!Error!故存在实数 ， ，使 abc，12 12故 a，b，c 共面.能力拓展提升一、选择题11已知正方体 ABCDABCD ，点 E 是 AC 的中点，点 F 是 AE 的三等分点，且 AF EF，则 等于( )12 AF A. AA 12AB 12AD B. 12AA 12AB 12AD C. 12AA 16AB 16AD D. 13AA 16AB 16AD 答案 D解析 由条件 AF EF 知，EF2AF，12AEAFEF3AF， ( ) ( )AF 13AE 13AA A E 13AA 12A C AA (
8、) .13 16A D A B 13AA 16AD 16AB 12以下命题：若 a，b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；若 a，b 所在直线是异面直线，则 a 与 b 一定不共面；若 a，b，c 三向量两两共面，则 a，b，c 三向量一定也共面；若 a，b，c 三向量共面，则由 a，b 所在直线确定的平面与由b，c 所在直线确定的平面一定平行或重合其中正确命题的个数为( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个答案 A解析 a， b 共线是指 a，b 的方向相同或相反，因此 a，b 所在直线可能重合，故错；由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故错；从正方体一顶点引出的三
9、条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故错；首先 a、b 所在直线不一定能确定平面，其次在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中， ， ， 三向量共面，然而平面 ABCD 与平面AB A1B1 DC ABB1A1 相交，故错，故选 A.13在三棱锥 SABC 中，G 为ABC 的重心，则有( )A. ( )SG 12SA SB SC B. ( )SG 13SA SB SC C. ( )SG 14SA SB SC D. SG SA SB SC 答案 B解析 ( ) SG SA AG SA 13AB AC SA ( ) ( ) ( )13SB SA 13SC SA 13SA SB
10、 SC 14对于空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，且有 xOP y z (x，y ，zR)，则 xyz1 是四点 P、A、B、COA OB OC 共面的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 x y z x y (1 xy ) ，OP OA OB OC OA OB OC x( )y( )，OP OC OA OC OB OC x y ，即 ， ， 共面，又有公共点 C，CP CA CB CP CA CB P， A，B，C 共面，反之也成立二、填空题15如图所示，已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且PA平面 ABCD，M、 N 分别为 PC、PD 上的点，且PM:MC2:1 ，N 为 PD 中点，则满足 x y z 的实数MN AB AD AP x_ ，y _ ，z _.答案 23 16 16解析 在 PD 上取一点 F，使 PF:FD2:1 ，连接 MF，则 ，MN MF FN FN DN DF 12DP 13DP ( )，16DP 16AP AD
