1、基础巩固强化一、选择题1若平面 、 的法向量分别为a ，b(1，2，6)，则( )(12， 1，3)A B 与 相交但不垂直C D 或 与 重合答案 D解析 b2a，ba， 或 与 重合2直线 l1、l 2 的方向向量分别为 a(1,2， 2)，b(2，3,2) ，则( )Al 1l 2 Bl 1 与 l2 相交，但不垂直C l1l 2 D不能确定答案 C解析 ab0，ab，l 1l 2.3若平面 、 的法向量分别为 u(2， 3,5)，v( 3，1 ，4)，则( )A BC 、 相交但不垂直 D以上均不正确答案 C解析 且 uv0，、 相交但不垂直 32 1 34在如图所示的坐标系中，ABC
2、DA 1B1C1D1 为正方体，给出下列结论：直线 DD1 的一个方向向量为 (0,0,1)；直线 BC1 的一个方向向量为(0,1,1)；平面 ABB1A1 的一个法向量为(0,1,0)；平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1)其中正确的个数为( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个答案 C解析 DD 1AA 1， (0,0,1) ；BC 1AD 1， (0,1,1)，AA1 AD1 直线 AD 平面 ABB1A1， (0,1,0) ；C 1 点坐标为(1,1,1)， 与平AD AC1 面 B1CD 不垂直，错5在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 、G、H 分别为AB、
3、CC 1、A 1D1、C 1D1 的中点，下列结论中，错误的是( )AA 1EAC 1 BBF 平面 ADD1A1C BFDG DA 1ECH答案 A解析 设正方体棱长为 1，以 D 为原点， DA、DC、DD 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A1(1,0,1)，E(1 ，0)，C(0,1,0)，F(0,1， )，C 1(0,1,1)，H (0，12 12，1) ，G( ，0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)， (0 ，1)，12 12 A1E 12( 1,1,1)， (1,0， )， ( ，0,1) ，AC1 BF 12 DG 12 (0， ，1)CH 12
4、平面 ADD1A1 的一个法向量为 v(0,1,0)， ， v0，A1E AC1 12 BF 0， .BF DG A1E CH B 、 C、D 成立，A 不成立，故选 A.二、填空题6如果三点 A(1,5， 2)，B (2,4,2)，C(a,3，b2)在同一直线上，那么 a_，b_.答案 3 47平面 的法向量 u(x,1，2)，平面 的法向量 v，已知 ，则 xy_.( 1，y，12)答案 154解析 ，uv， ，x 1 1y 212Error!xy .154三、解答题8如图所示，已知矩形 ABCD，PA平面 ABCD，M、N 分别是 AB、PC 的中点，PDA ，能否确定 ，使直线 MN
5、是直线 AB与 PC 的公垂线？若能确定，求出 的值；若不能确定，说明理由解析 以点 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz ，设|AD| 2a， |AB|2b，PDA，则 A(0,0,0)、B(0,2b,0) 、C (2a,2b,0)、D(2a,0,0)、P(0,0,2 atan)、M(0，b,0) 、N (a， b，atan ) (0,2b,0)， (2a,2b，2atan)， ( a,0，atan )AB PC MN (0,2b,0)(a,0，atan)0，AB MN ，即 AB MN.AB MN 若 MNPC，即 ( a,0，atan )(2a,2b，2atan)MN PC 2a 22
6、a 2tan20，则 tan21，而 是锐角，tan1，45.即当 45时，直线 MN 是直线 AB 与 PC 的公垂线9已知四面体 ABCD 中，ABCD，AC BD，求证：ADBC.证明 证法 1：先将已知条件转化为 0， 0，AB CD AC BD 再证明 0.AD BC ABCD，ACBD， 0， 0.AB CD AC BD ( )( )AD BC AB BD AC AB 2 AB AC BD AC AB AB BD 2 AB AC AB AB BD ( ) 0.AB AC AB BD AB DC ，从而 ADBC.AD BC 证法 2：设 a， b， c ，DA DB DC ABCD
7、， (ba)(c)a cbc0，AB CD ac bc；ACBD， ( ca)( b)AC BD a bb c0，a bbc；ac ab ， (a)(c b)a bac0，AD BC AD BC.能力拓展提升一、选择题10对于任意空间向量 a(a 1，a 2，a 3)，b(b 1，b 2，b 3)，给出下列三个命题：ab ；a1b1 a2b2 a3b3若 a1a 2a 31，则 a 为单位向量；aba 1b1a 2b2a 3b30.其中真命题的个数为( )A0 B1 C2 D3答案 B解析 由 ab，反之不一定成立，故不正确；a1b1 a2b2 a3b3显然错误；是正确的，故选 B.11已知空
8、间四边形 ABCD 中，ACBD，顺次连接各边中点P、Q 、R 、 S，如下图，所得图形是 ( )A长方形 B正方形C梯形 D菱形答案 D解析 .PQ BQ BP 12BC 12BA 12AC 同理 ， ，SR 12AC PQ SR 四边形 PQRS 为平行四边形，又 ，PS AS AP 12AD 12AB 12BD | | | |，即 PS BD，PS 12BD 12又| | | |，PQ AC，PQ 12AC 12ACBD，PS PQ ，四边形 ABCD 为菱形二、填空题12直线 l1 与 l2 不重合，直线 l1 的方向向量 v1( 1,1,2)，直线 l2 的方向向量为 v2 (2,0
9、,1)，则直线 l1 与 l2 的位置关系是_答案 垂直解析 v1v22020，v 1v 2.l 1l 2，13已知空间直角坐标系 Oxyz 中的点 A(1,1,1)，平面 过点A 并且与直线 OA 垂直，动点 P(x，y，z)是平面 内的任一点，则点P 的坐标满足的条件为_答案 x yz3解析 由题意知， OA ，直线 OA 的方向向量 (1,1,1)，OA 因为 P ， ，OA AP (1,1,1)(x1，y1 ，z1)0，xyz3.三、解答题14设 a，b 分别是不重合的直线 l1、l 2 的方向向量，根据下列条件判断 l1，l 2 的位置关系；(1)a (4,6，2)，b (2，3,1
10、)；(2)a (5,0,2)，b(0,1,0)；(3)a (2，1，1)，b(4，2，8)解析 (1)a(4,6 ，2)，b(2，3,1)，a2b，ab，l 1l 2.(2)a (5,0,2)，b(0,1,0)，ab 0，ab，l 1l 2.(3)a (2，1，1)，b(4，2，8)，a 与 b 不共线也不垂直l 1 与 l2 相交或异面15在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是D1D， BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG CD，H 是 C1G 的中点，14应用空间向量解决下列问题：(1)求证： EFB 1C；(2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值；
11、(3)求 FH 的长解析 (1)证明：如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，D 为坐标原点 O，依已知条件有：E(0,0 ， )，F ( ，0)，C(0,1,0)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，12 1212G(0，0)34( ，0)(0,0 ， )( ， )， (0,1,0)(1,1,1)EF 1212 12 1212 12 B1C ( 1,0， 1)， (1) 0( )(1)0，EF B1C 12 12 12得 ，所以 EFB 1C.EF B1C (2)解： (0 ，0)(0,1,1)(0， ，1)，C1G 34 14| | .C1G 02 142 12 174由(1)得， | | ，且 ，EF 122 122 122 32 EF C1G 38
