1、基础巩固强化一、选择题1已知向量 n(2,0,1)为平面 的法向量，点 A(1,2,1)在 内，则 P(1,2 2)到 的距离为( )A. B. C2 D.55 5 5 510答案 A解析 ( 2,0,3)，点 P 到平面 的距离为PA d .|PA n|n| | 4 3|5 552正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，O 是 A1C1 的中点，则O 到平面 ABC1D1 的距离为 ( )A. B. C. D.32 24 12 33答案 B解析 以 、 、 为正交基底建立空间直角坐标系，则DA DC DD1 A1(1,0,1)，C 1(0,1,1)， ，平面 ABC1D1 的法C1
2、O 12C1A1 (12， 12，0)向量 (1,0,1)，点 O 到平面 ABC1D1 的距离DA1 d .|DA1 C1O |DA1 |122 243已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，棱 A1A5，AB12，那么直线 B1C1 到平面 A1BCD1 的距离是( )A5 B. C. D8132 6013答案 C解析 解法一 ：B 1C1BC，且 B1C1平面 A1BCD1，BC 平面 A1BCD1， B 1C1平面 A1BCD1.从而点 B1 到平面 A1BCD1 的距离即为所求过点 B1 作 B1EA 1B 于 E 点BC平面 A1ABB1，且 B1E平面 A1ABB1，BCB
3、1E.又 BCA 1BB ，B 1E平面 A1BCD1，在 RtA 1B1B 中，B1E ，A1B1B1BA1B 51252 122 6013因此直线 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离为 .6013解法二：以 D 为原点， 、 、 的方向为 x、y、z 轴正方DA DC DD1 向建立空间直角坐标系，则 C(0,12,0)，D 1(0,0,5)，设 B(x,12,0)，B 1(x,12,5) (x 0)，设平面 A1BCD1 的法向量 n(a，b，c)，由 n ， n 得BC CD1 n (a，b，c)(x,0,0)ax 0，a 0，BC n (a，b，c )(0，12,5)12b5c0
4、，CD1 b c， 可取 n(0,5,12)， (0,0，5) ，512 B1B B 1 到平面 A1BCD1 的距离 d .|B1B n|n| 60134正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，则平面 AB1D1 与平面BDC1 的距离为( )A. B. C. D.2 323 33答案 D解析 以 A 为原点，AB 、AD、AA 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，D1(0,1,1)设平面 AB1D1 的法向量为 n(x，y ，z)，则Error!Error!令 z 1，则 n(
5、1,1，1)，显然 n 0，n 0，BD BC1 n 也是平面 BDC1 的法向量，平面 AB1D1平面 BDC1，其距离为 d .|AB n|n| 33二、填空题5等腰 RtABC 斜边 BC 上的高 AD1，以 AD 为折痕将ABD 与ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：BD AC；BAC60；异面直线 AB 与 CD 之间的距离为 ；22点 D 到平面 ABC 的距离为 ；33直线 AC 与平面 ABD 所成的角为 45.其中正确结论的序号是_答案 解析 ADBD， ADCD，平面 ABD平面ACD，BDC90，BD平面 ACD， BD AC，正确；又知 AD BDCD
6、 1，ABC 为正三角形，BAC 60，正确；ABC 边长为 ，.S ABC ，由 VABDC V DABC 得232( 11)1 h，h ，故 正确；CD 平面13 12 13 32 33ABD， CAD 为直线 AC 与平面 ABD 所成的角，易知CAD45，故正确；以 D 为原点，DB、DC、DA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，易知 A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0) ， (1,0，1)， (0,1，1)， (0,1,0)，设 n(x，y ，z)，AB AC DC 由 n 0 ，n 0 得 xz0，y0，令 z1 得 n(1,0,1) ，AB DC
7、异面直线 AB 与 DC 之间的距离 d ，故正确|AC n|n| 22三、解答题6三棱柱 ABCA 1B1C1 是各条棱长均为 a 的正三棱柱，D 是侧棱 CC1 的中点(1)求证：平面 AB1D平面 ABB1A1；(2)求点 C 到平面 AB1D 的距离解析 (1)证明：如图所示，取 AB1 中点 M，则 ，又 .DM DC CA AM DM DC1 C1B1 B1M 2 .DM CA C1B1 CA CB 2 ( ) 0,2 ( )( )DM AA1 CA CB AA1 DM AB CA CB CB CA | |2| |20，CB CA DMAA 1，DM AB.DM平面 ABB1A1.
8、DM平面 AB1D，平面 AB1D平面 ABB1A1.(2)解： A 1BDM，A 1BAB 1.A 1B平面 AB1D. 是平面 AB1D 的一个法向量A1B 点 C 到平面 AB1D 的距离为d |AC A1B |A1B | |AC A1A AB |2a a.|AC AB |2a12a22a 247.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截得到的，其中 AB 4，BC2，CC 13， BE1，AEC 1F 为平行四边形(1)求 BF 的长；(2)求点 C 到平面 AEC1F 的距离解析 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，B(2,4,0)
9、，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1) ，C 1(0,4,3)，设 F(0,0，z )四边形 AEC1F 为平行四边形，由 得，( 2,0，z)( 2,0,2)，AF EC1 z 2.F(0,0,2) (2，4,2)BF 于是| |2 .即 BF 的长为 2 .BF 6 6(2)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量，显然 n1 不垂直于平面 ADF，故可设 n1 (x，y,1)，Error!Error!即Error!Error!又 (0,0,3)，设 与 n1 的夹角为 ，则 cos CC1 CC1 CC1 n1|CC1 |n1| .331 116 1 43333C 到平面
10、AEC1F 的距离为d| |cos3 .CC1 43333 433118在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD是正三角形，平面 VAD底面 ABCD.(1)证明： AB平面 VAD；(2)求平面 VAD 与平面 VDB 所成的二面角的余弦值解析 (1)以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系不妨设 A(1,0,0)，则 B(1,1,0)，V( ，0， )， (0,1,0)，12 32 AB ( ，0， )VA 12 32由 0，得 ABVA.AB VA 又 ABAD，且 AD VAA，AB平面 VAD.(2)设 E 为 DV 的中点，连接 EA，EB，则 E(
11、 ，0， )，14 34( ，0， )， ( ，1， )， ( ，0， )EA 34 34 EB 34 34 DV 12 32由 0，得 EBDV.EB DV 又 EADV，AEB 是所求二面角的平面角cos ， ，EA EB EA EB |EA |EB | 217所求二面角的余弦值为 .217点评 如果二面角的平面角容易作出，也可以先作出二面角，再求之.能力拓展提升一、选择题9正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 a，点 M 在 AC1 上且 ，N 为 BB1 的中点，则|MN| 的长为( )AMMC1 12A. a B. a216 66C. a D. a156 153答案 A解析 设 a， b， c， 则A1B1 A1D1 A1A |a| |b| c|a，abbc c a 0，
