1、第 2 节 椭圆的简单几何性质撰写：刘一博 审核：冬焱三点剖析：一、教学大纲及考试大纲要求：1. 熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质 奎 屯王 新 敞新 疆2掌握标准方程中 的几何意义，以及 的相互关系 奎 屯王 新 敞新 疆cba, ecba,3理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 奎 屯王 新 敞新 疆4理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；5. 能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；6. 能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题二、重点与难点教学重点：椭圆的几何性质，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程 奎 屯王 新
2、 敞新 疆教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质三、本节知识理解1.学法点拨椭圆1 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹定义2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（00)2byax( 0)方程 参数方程为 离 心 角 ）参 数 (sincoyx 为 离 心 角 ）参 数 (sincoyx范围 axa，b yb axa，byb中心 原点 O（ 0，0） 原点 O（0，0）顶点 (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b) (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)对称轴 X 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长
3、2bX 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b焦点 F1(c,0), F2(c,0) F1(c,0), F2(c,0)焦距2c （其中 c= ）2ba2c （其中 c= ）2ba离心率 )10(ec )10(ec准线x= c2x= c2焦半径 exarexar通径 b2 b2说明：1. 表示椭圆的充要条件为：2AxByC,0ABC2.离心率 表示椭圆的扁平程度(01)e3.椭圆的参数方程常用于求最值。4.直线与椭圆有三种位置关系：相交（割线）相切（切线）相离5.椭圆 上一点 处的切线方程为：21(0)xyab0(,)Pxy021xyab6. a.弦长公式b.弦的中点（点差法）精题精讲例 1 求
4、椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画40256yx出它的图形例 2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图,并求出顶点坐标和离心率。（1） （2）1652yx1952yx例 3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。（1） （2）1492yx136492yx例 4 写出下列椭圆的准线方程：（1） (2) 奎 屯王 新 敞新 疆42yx1862yx例 5. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆过(3，0)点，离心率 e= 。36（2）过点（3，-2）且与椭圆 有相同焦点。24x9y（3）长轴长与短轴长之和为 10，焦距为 。5（4）中心在原点，
5、离心率为 ，准线方程为 。3x3（5）中心在原点，对称轴在坐标轴上，x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离是 。105例 6 求满足下列条件的椭圆的离心率.（1）若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的 2 倍.（2）若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形.（3）设 为椭圆 的两个焦点，以 为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一12F,2xy1ab0()1F个交点 M，若直线 与圆 相切.21F（4）若 分别为椭圆 的左、右焦点，P 是以 为直径的圆与椭圆的12F, 2xyab0()12F一个交点，且 .1221P5F例 7 已知椭圆 与 轴的正半轴交于
6、 A,O 是原点,若椭圆上存在一点 M,使)0(12bayxxMAMO,求椭圆离心率的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆例 8 椭圆 上有一点 P，它到椭圆的左准线距离为 10，求点 P 到椭圆的右焦点的距离 奎 屯王 新 敞新 疆13602yx例 9 设 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上12Fc0,2xy1ab0()0Pxy,一点，求证： 奎 屯王 新 敞新 疆1020PaeFae,例 10 椭圆 ，其上一点 P(3, )到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5，求椭)0( 12bayax y圆方程 奎 屯王 新 敞新 疆例 11 已知椭圆的中心在原点，长轴在 x 轴上，离心率 ，已知点
7、到这个椭圆上的点3e23P02(,)的最远距离是 ，求这个椭圆方程.7例 12 已知 是椭圆 的两个焦点，点 P 是椭圆上一点.12F,2xy1064（1） 若 ，求 的面积；12P312FA（2） 若 为钝角，求点 P 横坐标的取值范围.例 13 已知椭圆 内一点 P（1，-1） ，F 是椭圆的右焦点，点 M 在椭圆上， （1）求点 M 坐2xy43标，使 最小；（2）求点 M 坐标，使 最大.PMFP例 14 把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程(1) (2) .)(sin4co3为 参 数yx 182yx例 15 已知椭圆 上的点 P( ),求 的取值范围.),0(sin2c
8、o为 参 数bayx yx,y21例 16 已知直线 l 与椭圆 相交于 A、B 两点，弦 AB 中点坐标（1，1） ，求 及24x9y36 AB直线 l 的方程。例 17 已知椭圆21xy（1）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（2）过 引椭圆的割线，求截得得弦的中点轨迹方程；(,)A（3） 求过点 ，且被 平分的弦所在的直线方程.1,P例 18 已知中心在原点，一个焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点横坐标为 ，05,y3x212求此椭圆的方程.例 19 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 被椭圆截得的弦 AB 的长为xy1，且 AB 的中点 C 与椭圆中心的连线的斜率为 ，求
9、这个椭圆的方程.2 2例 20 已知椭圆 上有两个不同点关于直线 对称，求 m 的取值范围.2xy143y4x基础达标1.椭圆 6x2+y2=6 的长轴的端点坐标是（ ）A.(1,0)、(1,0) B.(6,0)、(6,0)C.( ，0)、( ,0) D.(0, )、(0, )662.已知点（m，n）在椭圆 8x2+3y2=24 上，则 2m+4 的取值范围是（ ）A.4-2 ,4+2 B.4- ,4+ 33C.4-2 ,4+2 D.4- ,4+ 223.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴上、短轴长、离心率依次是（ ）A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，
10、6，0.64.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的设心率是（ ）A. B. C. D.5143215.已知椭圆 + =1 与椭圆 + =1 有相同的长轴，椭圆 + =1 的短轴长与椭圆 +2axby25x16y2axby21y=1 的短轴长相等，则（ ）92A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9 或 a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=96.已知椭圆 C： + =1 与椭圆 + =1 有相同离心率，则椭圆 C 的方程可能是（ ）xy42x9yA. + =m2(m0) B. + =1824 162x4yC. + =1 D.以上都不可能x
11、y7.椭圆 1（ab0）的准线方程是（ ）2yxA.y .y2 2ba.y .x2ba 28.若椭圆上的点 P 到焦点的距离最小，则 P 点是（ ）A.椭圆的短轴的端点 B.椭圆的长轴的一个端点C.不是椭圆的端点 D.以上都不对9.已知椭圆 =1(ab0)的两准线间的距离为 ，离心率为 ，则椭圆方程为（ 2yx31623）A. =1 B. =1 C. =1 D. =1342yx3162yx162yx4162yx10.两对称轴都与坐标轴重合，离心率 e=0.8，焦点与相应准线的距离等于 的椭圆的方程是（ 9）A. =1 或 =1 B. =1 或 =1925yx925x925yx1625yxC.
12、+ =1 D. =116 1611.已知椭圆 =1(ab0)的左焦点到右准线的距离为 ,中心到准线的距离为 ，则椭2yx 3734圆的方程为（ ）A. +y2=1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =14xx42xy82x4y12.椭圆 = 的离心率为（ ）2)()(5843A. B. C. D.无法确定25111013.设 O 是椭圆 的中心， P 是椭圆上对应于 = 的点，那么直线 OP 的斜率为（ sinco3yx 6）A. B. C. D.332393214.点（2，3 ）对应曲线 ( 为参数) 中参数 的值为（ ）sin6co4yxA.k + (kZ) B.k + (kZ
13、) C.2k + (kZ) D.2k + (kZ )636315.曲线 ( 为参数 )的准线方程为（ ）sin4co5yxA.x= B.y= C.x= D.y=32325425425综合发展1.椭圆 1 与 1（0k）的关系为（ ）25x9ykx2y52A.有相等的长、短轴 .有相等的焦距.有相同的焦点 .有相同的准线2.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5，焦点到椭圆中心的距离为 3，则椭圆的标准方程是（ ）A. =1 或 =1 B. =1 或 =1162x9y2x16y2x9y259xC. 1 或 =1 D.椭圆的方程无法确定553.中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且
14、两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A. =1 B. =1812x7y 812x9yC. =1 D. =145 364.已知点（3，2）在椭圆 =1 上，则（ ）2axbyA.点（3，2）不在椭圆上B.点（3，2）不在椭圆上C.点（3，2）在椭圆上D.无法判断点（3，2） 、 （ 3，2） 、 （3，2）是否在椭圆上5.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cos OFA= ，则椭圆的方程是（ ）15A. =1 B. =114692yx14692xyC. =1 或 =1 D. =1 或 =12514692yx214692xy
15、6.曲线 =xy（ ）yxA.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对7.求椭圆 25x2+y2=25 的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标及离心率.8.AA是椭圆 =1(ab0)的长轴，CD 是垂直于长轴的弦，求直线 AC 和 AD 的交点 P2yx的轨迹方程.9.椭圆 =1(ab0)的焦点到准线的距离为（ ）2bxayA. B. C. 或 D. 22ba2ba22ba10.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.41 4111.椭圆 =1 上点 P 到右焦点的最值为（ ）925yxA.最大值为 5，最小值为 4 B
16、.最大值为 10，最小值为 8C.最大值为 10，最小值为 6 D.最大值为 9，最小值为 112.椭圆的长轴长为 10，短轴长为 8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）A.8,10 B.4,5 C.6,10 D.2,813.若椭圆的长轴长为 200，短轴长为 160，则椭圆上的点到焦点的距离的范围是（ ）A.40,160 B.0,100 C.40,100 D.80,10014.P 是椭圆 上的点， F1、F 2 是两个焦点，则|PF 1|PF2|的最大值与最小值之差是 .342yx15.椭圆 (ab0)的两焦点为 F1（0，-c） ，F 2（0，c）(c0)，离心率 e= ，焦点到椭12ba 23圆上点的最短距离为 2- ，求椭圆的方程 .316.已知椭圆的一个焦点是 F（1，1） ，与它相对应的准线是 x+y4=0,离心率为 ，求椭圆的方2程.17.已知点 P 在椭圆 =1 上（ab0),F 1、F 2 为椭圆的两个焦点，求|PF 1|PF2|的取值范围.2xy18.已知点 P 在椭圆 x2+8y2=8 上，并且 P 到直线 l：xy+4=0 的距离最小，求 P 点的坐标19.已知 P(x,y)是椭圆 =1 上的点，求 u=x+y 的取值范围.2514yx20.已知点 A（0，-1）及椭圆 =1，在椭圆上求一点 P 使|PA| 的值最大.14692yx
