1、21.1 平 面,要点一 平面概念的理解1.平面是一个不加定义，只须理解的最基本的原始概念常见的桌面、黑板面、平静的水面等，都给我们以平面的形象,2立体几何里所说的平面就是从生活中的平面抽象出来的，生活中的平面是比较平、且有限的，而立体几何中的平面是理想的、绝对的“平”并无限延展的3立体几何体中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的：平面图形如三角形，正方形，梯形等它们有大小之分；而平面是无大小、无厚薄之分的，它可以无限延伸，它是不可度量的,例1 判断下列说法是否正确，并说明理由(1)平行四边形是一个平面(2)任何一个平面图形都是一个平面(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线【分析】解
2、答本题可先考虑平面的性质及其画法，然后依次解决。,【解】(1)不正确平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的(2)不正确平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可能无限延展的(3)不正确在空间图形中，我们一般是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住看不见的线画成虚线(无论是题中原有的，还是后引的辅助线),【规律方法】(1)在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面(2)要严格区分“平面图形”和“平面”这两个概念,(3)在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线，在立体几何中却不然有的同学在学习立体几何时，对此点没有认识，必将
3、影响空间立体感的形成，削弱或阻断空间想象能力的培养,变式1在下列命题中，正确命题的个数为()书桌面是平面8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚有一个平面的长是50 m，宽是20 m平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念,A1B2C3 D4解析：平面具有无限延展性，且无薄厚之分答案：A,要点二 共面问题某些点或线在同一个平面内，称之为这些点、线共面证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，及其推论，常用方法有：1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；,2先由其中一部分点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，再证平面与重合，即用“同一法
4、”；3假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”,例2 求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a、b、c和l共面【分析】,【证明】ab，直线a与b确定一个平面，设为，,laA，lbB，Aa，Bb，则Aa，B.而Al，Bl，由公理1可知：l.bc，直线b与c确定一个平面，设为，同理可知l.平面和平面都包含直线b与l，,且lbB，又经过两条相交直线，有且只有一个平面，平面与平面重合，直线a，b，c和l共面【规律方法】在证明多线共面时，常用“纳入法”或“同一法”(如本例)来证明,变式2已知直线l与两平行直线a和b分别相交于A
5、，B两点求证：三条直线a，b，l共面证明：证法一：(纳入法)如下图所示,ab，直线a，b确定一个平面.又alA，blB，Aa，B，l.因此直线a，b，l都在平面内，即三线共面,证法二：(同一法)alA，直线a与l确定一平面.又ab，直线a和b确定一平面.blB，B且Ba.又a，a，,和有公共的一条直线a.又B，B，Ba，由推论可知，和重合直线a，b，l共面.,要点三 共线问题利用公理3证明三点共线：两个平面的公共点在交线上如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：B、D、O三点共线,【分析】解答本题只要证明点O在平面ABD与平面CBD
6、的交线BD上即可。,【证明】EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理O平面BCD，即O平面ABD平面BCD，OBD，即B、D、O三点共线,【规律方法】证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上,变式3如图，已知ABC在平面外，它的三边所在直线分别交于P，Q，R，求证：P，Q，R三点共线,证明：A，B，C为外的三点，ABC所在的平面与平面不重合PAB，P为平面与的公共点，同理可证：R，Q也是平面与的公共点，由公理3知，P，Q，R三
7、点共线.,要点四 共点问题利用公理3证明多线共点：任意两条直线的交点是两个平面的公共点，两个平面的公共点在两个平面的交线上,例4 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE、D1F、DA三线交于一点,【分析】因为CE平面ABCD，D1F平面ADD1A1，且平面ABCD平面ADD1A1AD.所以可证明D1F与CE的交点在直线DA上,又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD.P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据公理3，可得PDA，即CE、D1F、DA相交于一点,【规律方法】证明三线共点的基本方法是：(1)先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面内，于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点(2)也可以先说明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再说明A、B是同一点，从而得到a、b、c三线共点,变式4如图三个平面、两两相交于三条直线，即c，a，b，若直线a和b不平行 求证：a、b、c三条直线必过同一点,证明：b，a，a，b.由于直线a和b不平行，a、b必相交设abP，则Pa，Pb.a，b，P，P.又c，Pc即交线c经过点P.a、b、c三条直线相交于同一点,
