1、第 9 课时 基本不等式的证明(1)教学过程一、 问题情境把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡, 称得物体的质量为 a.如果天平制造得不精确, 天平的两臂长略有不同(其他因素不计),那么 a 并非物体的实际质量. 不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘上, 此时称得物体的质量为b.二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 如何合理地表示物体的质量呢 ?活动 1:把两次称得的物体的质量“平均”一下,以 表示物体的质量 .活动 2:根据力学原理:设天平的两臂长分别为 l1, l2,物体实际质量为 M,则有 l1M=l2a, l1b=l2M,两式相乘再除以 l1
2、l2,可得到 M= .(引导学生讨论活动 1,2 的合理性,并从物理学角度来探讨物体的质量)问题 2 对于正数 a, b,我们把 称为 a, b 的算术平均数, 称为 a, b 的几何平均数.那么两个正数 a, b 的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系?活动 3:举一些数作试验,初步判断两者的大小关系 .组 1 组 2 组 3 组 4 组 5ab大小关系活动 4:给予严密的证明.证法一(比较法): - = + -2 = 0,当且仅当 = ,即 a=b 时,取“=”.证法二(分析法):要证 ,只要证 2 a+b,只要证 0a-2 +b,只要证 0 .因为最后一个不等式成立,所以 成立,
3、当且仅当 a=b 时取“ =”号.证法三(综合法):对于正数 a,b,有 0a+b-2 0a+b2 .通过讨论,给出基本不等式:如果 a,b 是正数,那么 (当且仅当 a=b 时取“=” ).(二) 理解概念1. 基本不等式成立的条件:a ,b 是正数.(当 a0, b0 时,这个不等式仍然成立)2. 基本不等式证明的方法:比较法, 分析法,综合法.3. 从图形上理解基本不等式: 如图 1,以 a+b 为直径作圆 ,在直径 AB 上取点 C(使得 AC=a, BC=b),过 C 作弦 DDAB,则 CD2=CACB=ab,从而 CD= ,而半径 CD= .基本不等式 的几何意义是“半径不小于半
4、弦”.(图 1)4. 当且仅当 a=b 时取“ =”的含义:一方面是当 a=b 时取等号,即 a=b = ;另一方面是仅当 a=b 时取等号,即 = a=b.5. (1) 在数学中,我们称 为 a, b 的算术平均数, 称 为 a, b 的几何平均数.基本不等式还可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(2) 如果把 看做是正数 a, b 的等差中项, 看做是正数 a, b 的等比中项, 那么基本不等式又可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.6. 通过基本不等式还可以推得:(1) 如果 a, b 是正数,那么 a+b2 (当且仅当 a=b 时取“=”);(2) 如
5、果 a, bR,那么 a2+b22ab(当且仅当 a=b 时取“ =”).三、 数学运用【例 1】 (教材 P98 例 1)设 a, b 为正数, 证明下列不等式成立:(1) +2;(2) a+2. (见学生用书课堂本 P57)处理建议 由学生叙述解题思路或方法,教师板书,强化基本不等式的应用.规范板书 证明 (1) a, b 为正数, , 也为正数,由基本不等式得+2 =2, 原不等式成立.(2) a, 均为正数 ,由基本不等式得 a+2 =2, 原不等式成立 .题后反思 运用基本不等式解决不等式的证明问题,一要注意不等号的方向;二要注意定理运用的条件:a, b 都是正数,证明过程中一定要体
6、现这一点!变式 (教材 P99 练习第 3(1)题)设 a1,求证:a+ 3.处理建议 让学生讨论,给出解题方法,并由学生板书.规范板书 证明 a1, a-1, 均为正数, 由基本不等式得 a-1+ 2,即 a+ 3.【例 2】 已知 a, b, c 为两两不相等的实数, 求证:a 2+b2+c2ab+bc+ca. (见学生用书课堂本 P57)处理建议 由学生思考讨论,然后进行交流.在解答中,注意纠正学生忽略的问题.规范板书 证明 a, b, c 为两两不相等的实数, a2+b22ab, b2+c22bc, c2+a22ca,将以上三式相加得 2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ca, a
7、2+b2+c2ab+bc+ca.题后反思 注意不等式“如果 a, bR,那么 a2+b22ab(当且仅当 a=b 时取“=” )”的运用,此时 a, b 都是实数,没有正数的要求!第二需要注意的是等号的取舍,由于本题中的“ 两两不相等”, 所以题中的不等号是“ ”.变式 设 a, b 为实数 ,求证:a 2+b2+22a+2b.处理建议 学生完成,教师点拨即可.规范板书 证明 a, b 为实数,a 2+b2+2=(a2+1)+(b2+1)2a+2b, 原不等式成立.【例 3】 图(1)是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标 ,该会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的, 颜色的明暗使它
8、看上去像一个风车, 代表中国人民热情好客. 我们把“ 风车 ”造型抽象成图 (2),在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形, 设直角三角形的边长分别为 a, b,那么正方形 ABCD 的面积为多少? 在这个图案中隐藏了什么样的不等关系 ?(见学生用书课堂本 P58)(1)(2)(例 3)处理建议 由学生思考讨论,然后进行交流.规范板书 解 由题意可知正方形 ABCD 的边长为 ,所以它的面积为 a2+b2.而四个直角三角形的面积是 4ab=2ab,从而有 a2+b22ab.题后反思 本题告诉我们:可以从图形上理解“如果 a, bR,那么 a2+b22ab(当且仅当a=b 时取“=”
9、)”.*【例 4】 求证: 2.处理建议 由学生思考讨论,然后进行交流.在交流中,教师适时点拨.规范板书 证明 0,又 x2+31, , = = + 2 =2,即 2.题后反思 本题对基本不等式的运用,关键是变形,抓住 这一整体进行变形.四、 课堂练习1. 证明:x 2+44x.提示 x2+42x2=4x.2. 当 m(-,0)且 m-1 时,证明:m+ 0, b+c2 0, c+a2 0,从而有( a+b)(b+c)(c+a)2 2 2 =8abc.4. 已知 a, b, c, d 都是正数, 求证:(ab+cd)(ac+bd)4abcd.提示 由 a, b, c, d 都是正数, 得 0, 0, abcd,即(ab+cd)(ac+bd)4abcd.五、 课堂小结1. 算术平均数与几何平均数的概念.2. 基本不等式及其应用条件.3. 不等式证明的三种常用方法.4. 重要的公式:(1) 如果 a, b 都是正数,那么 (当且仅当 a=b 时取“=”);(2) 如果 a, b 都是正数,那么 a+b2 (当且仅当 a=b 时取“ =”);(3) 如果 a, bR,那么 a2+b22ab(当且仅当 a=b 时取“ =”).
