1、自动控制理论 （夏德钤）习题答案详解 第二章 2-1 试求图 2-T-1 所示 RC 网络的传递函数。 (a)11111111 CsR RCsRCsRz ， 22 Rz ，则传递函数为： 2121221212)( )( RRCsRR RCsRRzz zsU sUio (b) 设流过 1C 、 2C 的电流分别为 1I 、 2I ，根据电路图列出电压方程： )(1)()()()(1)(2221111sIsCsUsIsIRsIsCsUoi并且有 )()1()(1 22211 sIsCRsIsC 联立三式可消去 )(1sI 与 )(2sI ，则传递函数为： 1)(1111)()(2221112212
2、12211112 sCRCRCRsCCRRRsCRsCsCRsCsUsUio 2-2 假设图 2-T-2 的运算放大器均为理想放大器，试写出以 iu 为输入， ou 为输出的传递函数。 (a)由运算放大器虚短、虚断特性可知： dtduCdtduCRu ii 0 ， 0uuu ic ， 对上式进行拉氏变换得到 )()()( 0 ssUssURC sU ii 故传递函数为 RCsRCssU sU i 1)( )(0 (b)由运放虚短、虚断特性有： 022 R uR uudtduC ccic， 02 10 RuRuc， 联立两式消去 cu 得到 0222 0101 uRuRdtduRCR i 对该式
3、进行拉氏变换得 0)(2)(2)(2 0101 sURsURssURCR i 故此传递函数为 )4( 4)( )( 10 RC sR RsU sU i(c) 02/2/ 11 0 RuR uudtduC ccc，且1RuRu ci ，联立两式可消去 cu 得到 0222 101 RuRudtduRCR ii 对该式进行拉氏变换得到 0)(2)(2)(2 011 sURsURssURCR ii 故此传递函数为 RCsRRsU sU i 4 )4()( )( 110 2-3 试求图 2-T-3 中以电枢电压 au 为输入量，以电动机的转角 为输出量的微分方程式和传递函数。 解：设激磁磁通 ffiK
4、 恒定 meaaaama CCfRsJRfLJsLsCsUs26022-4 一位置随动系统的原理图如图 2-T-4 所示。电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用 电位器检测负载运动的位移，图中以 c 表示电位器滑动触点的位置。另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以 r 表示）即为该随动系统的参考输入。两电位器滑动触点间的电压差 eu 即是无惯性放大器（放大系数为 aK ）的输入，放大器向直流电动机 M 供电，电枢电压为 u ，电流为 I。电动机的角位移为 。 解： mAmeaaaamACKsCCfRisJRfLiJsiLCKsRsC 260232-5
5、 图 2-T-5 所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流 di 与 du 间的关系为 110 026.06 dud ei 。假设电路中的 310R ，静态工作点 Vu 39.20 ，Ai 30 1019.2 。试求在工作点 ),( 00iu 附近 )( dd ufi 的线性化方程。 解： 2.0084.01019.2 3 dd ui 2-6 试写出图 2-T-6 所示系统的微分方程，并根据力 电压的相似量画出相似电路。 解：分别对物块 1m 、 2m 受力分析可列出如下方程： )()()(122221112211yykdtdvmykfyyktFdtdvm代入 dtdyv 11、 dtdyv
6、 22得 )()()(1222222111222121yykdt ydmykfyyktFdt ydm2-7 图 2-T-7 为插了一个温度计的槽。槽内温度为 i ，温度计显示温度为 。试求传递函数)()(ssi（考虑温度计有贮存热的热容 C 和限制热流的 热阻 R）。 解：根据能量守恒定律可列出如下方程： RdtdC i 对上式进行拉氏变换得到 R sssCs i )()()( 则传递函数为 11)( )( RCsssi2-8 试简化图 2-T-8 所示的系统框图，并求系统的传递函数)()(sRsC。 解： (a) 化简过程如下 G3 G1 H1 _ G2 G1 R(s) C(s) + + +
7、 + C(s) R(s) + _ G1+G2 G1+H1 G3 R(s) C(s) G1+G2 )(11133 HGG G G1 G2 G3 H1 + _ + _ + C(s) R(s) a) + G1 H1 G2 G4 H3 G3 H2 + + + + _ _ R(s) C(s) b) 图 2-T-8 传递函数为 )(1 )()( )( 113 213 HGG GGGsR sC (b) 化简过程如下 传递函数为 )(1 )()( )( 312432121 4321 GGHGGGHGG GGGGsR sC 2-9 试简化图 2-T-9 所示系统的框图，并求系统的传递函数)()(sRsC。 C(
8、s) R(s) )(1 )( 113 213 HGG GGG H3 C(s) + + _ G1 G4 G3 H1 G2 G2 H2 1/G1 _ + R(s) R(s) G4+G2G3 12111 HGGGH3+H2/G1 + _ C(s) )(1 )( 312432121 4321 HGHGGGHGG GGGG C(s) R(s) _ + 0.7 s21 4.00.5 Ks0.4 13.012 ss + + + _ R(s) C(s) 图 2-T-9 解：化简过程如下 系统的传递函数为 52.042.018.17.09.0 42.07.0 23 sksks ssR sC 2-10 绘出图 2
9、-T-10 所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数)()(sRsC。 + + 0.7 6.02.0s 13.012 ss0.4 Ks _ _ R(s) C(s) + _ Ks 0.7 08.0)6.0)(13.0( 6.02 sss sR(s) C(s) 52.0)42.018.1()7.09.0( 42.07.0 23 sksks sC(s) R(s) G1 H1 G2 H2 G4 G3 _ + + + + + R(s) C(s) 图 2-T-10 系统的传递函数为 4232121123211 GHGGHGGHG GGGsR sC 2-11 试绘出图 2-T-11 所示系统的信号流
10、程图，并求传递函数)( )(11 sRsC和)( )(22 sRsC（设0)(2 sR ）。 解：系统信号流程图如图所示。 题 2-11 系统信号流程图 215421421 2654212215421421321111HHGGGGGGGHGGGGGsRsCHHGGGGGGGGGGsRsC 2-12 求图 2-T-12 所示系统的传递函数)()(sRsC。 + _ C1(s) + G1 G6 G4 H1 G3 H2 G2 G5 + _ + + R2(s) R1(s) C2(s) 图 2-T-11 解： (a) 系统只有一个回环： cdhL 1 ， 在节点 )(sR 和 )(sC 之间有四条前向通
11、道，分别为： abcdefP1 ， abcdiP 2 ，agdefP 3 ， agdiP4 ，相应的，有： 14321 则 c d h agdia g d e fa b c d ia b c d e fPsR sC nk kk 11)( )( 1(b) 系统共有三个回环，因此，sCRsCRsCRL 2122111 111 ， 两个互不接触的回环只有一组，因此，2212122112 111 sCCRRsCRsCRL 在节点 )(sR 和 )(sC 之间仅有一条前向通道：22112111 111111 sCCRsCRsCP ，并且有11 ，则 1)(1 1)( )( 22121122121 211
12、21 sCRCRCRsCCRR RPLLsR sC2-13 确定图 2-T-13 中系统的输出 )(sC 。 解：采用叠加原理，当仅有 )(sR 作用时，12122211 1)( )( HGGHG GGsR sC ， 当仅有 )(1sD 作用时，12122212 1)( )( HGGHG GsD sC ， R(s) _ + G1 G2 H1 H2 + + + + + + _ _ D1(s) D3(s) D2(s) C(s) 图 2-T-13 当仅有 )(2sD 作用时，12122223 1)( )( HGGHG GsD sC ， 当仅有 )(3sD 作用时，1212212134 1)( )(
13、HGGHG HGGsD sC 根据叠加原理得出 1212231212212214321 1 )()()()()()()()()( HGGHG sDHGGsDGsDGsRGGsCsCsCsCsC 第三章 3-1 设系统的传递函数为 2222)( )( nnn sssR sC 求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。 解：当输入为单位斜坡响应时，有 ttr )( ， 21)( ssR 所以有 2222 12)( ssssC nnn 分三种情况讨论 （ 1）当 1 时， 221221222,1111212122 ttnnnnn eettcs（ 2）当 10 时， 22222,11a rc t a n21s
14、 i n1121tettcjsntnnnn（ 3）当 1 时， tettcsntnnnn 2122)(2,1设系统为单位反馈系统 ,有 22 2 2nnnr s sssRscsRsE 系统对单位斜坡输入的稳态误差为 nnnnssr ss ssssime 22 21 2220 3-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为 （ 1）)21)(1.01( 50)( sssG （ 2）)5.01)(1.01()( sss KsG （ 3）)102( )41)(21()( 22 sss ssKsG（ 4）)2 0 04()( 2 sss KsG解：（ 1） 0)(l
15、im,0)(lim,50)(lim 2000 sGsKssGKsGK sasvsp； （ 2） 0)(lim,)(lim,)(lim 2000 sGsKKssGKsGK sasvsp； （ 3） 10)(lim,)(lim,)(lim 2000 KsGsKssGKsGK sasvsp ； （ 4） 0)(lim,200)(lim,)(lim 2000 sGsKKssGKsGK sasvsp3-3 设单位反馈系统的开环传递函数为 )11.0( 10)( sssG若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。 （ 1） 0)( Rtr ，（ 2） tRRtr 10)( ，（ 3） 2210 21)(
16、tRtRRtr 解：首先求系统的给定误差传递函数 101.0 )11.0()(1 1)( )( 2 ss sssGsR sEse 误差系数可求得如下 0)101.0()12.0(20)101.0(2limlim1.0)101.0()12.0(10limlim0101.0)11.0(limlim322202202220012000ssssssdsdCssssdsdCsssssCsessesses（ 1） 0)( Rtr ，此时有 0)()(,)( 0 trtrRtr sss ，于是稳态误差级数为 0)(0 trCte ssr ， t （ 2） tRRtr 10)( ，此时有 0)(,)(,)(
17、110 trRtrtRRtr sss ，于是稳态误差级数为 110 1.0)()( RtrCtrCte sssr ， 0t （ 3） 2210 21)( tRtRRtr ，此时有 tRRtrtRtRRtrss 212210 )(,21)( ，2)( Rtrs ，于是稳态误差级数为 )(1.0)(!2)()( 21210 tRRtrCtrCtrCte ssssr ， 0t 3-4 设单位反馈系统的 开环传递函数为 )11.0( 10)( sssG若输入为 ttr 5sin)( ，求此系统的给定稳态误差级数。 解：首先求系统的给定误差传递函数 5001.0 )11.0()(1 1)( )( 2 s
18、s sssGsR sEse 误差系数可求得如下 232220220222001200050098)5001.0()12.0(1000)5001.0(100limlim5001)5001.0()12.0(500limlim05001.0)11.0(limlimssssssdsdCssssdsdCsssssCsessesses以及 ttrttrttrsss5sin25)(5cos5)(5sin)(则稳态误差级数为 tttCtCCte sr5c o s1015s i n109.45c o s55s i n25224120 3-6 系统的 框图如图 3-T-1a所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的
19、终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图 3-T-1b），试证明当适当选取 a值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。 )2( 2nnss R(s) C(s) a) + _ 解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：nsre 2 ，加入比例 微分环节后 nnssrnnnnnnnassEessRsRsssassCsRsEsRssassRsGsGassCsGsCassRsC2lim1222111102222222可见取na 2 ，可使 0sre 3-7 单位反馈二阶系统，已 知其开环传递函数为 )2()(2nnsssG 从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图 3-T-2 所示。经测量知， 09
20、6.0pM ，stp 2.0 。试确定传递函数中的参量 及 n 。 解：由图可以判断出 10 ，因此有 C(s) as1)2( 2 nnss b) R(s) 图 3-T-1 + _ npptM221%100)1e x p (代入 096.0pM ， 2.0pt 可求出 588.19598.0n 3-8 反馈控 制系统的框图如图 3-T-3所示，要求 （ 1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。 （ 2）整个系统的特征方程为 0464 23 sss 求三阶开环传递函数 )(sG ，使得同时满足上述要求。 解：设开环传递函数为 32213)()( ksksks KsR sC 根据条件（ 1）
21、 0)(1 1lim 32213 322130 KkskskskskskssGessr可知： 03k ； 根据条件（ 2） 0464)( 23 ssssD 可知： 41k ， 62k ， 4K 。 所以有 6442 ssssG 3-9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为 )(sG ，如要求 （ 1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于 2.0。 （ 2）三阶系统的一对主导极点为 11, 21 jss 。 求同时满足上述条件的系统开环传递函数 )(sG 。 解：按照条件（ 2）可写出系统的特征方程 02)22()2()(22()(1)(1( 232 asasasasssasjsjs 将上
22、式与 0)(1 sG 比较，可得系统的开环传递函数 )22()2( 2)( 2 asass asG G(s) R(s) C(s) + _ 图 3-T-3 根据条件（ 1），可得 aaeK srv 22 25.01 解得 1a ，于是由系统的开环传递函数为 432)( 2 ssssG 3-10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 )1()( ss KsG 试求在下列 条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。 （ 1） sK 1,5.4 （ 2） sK 1,1 （ 3） sK 1,16.0 解：系统单位阶跃响应的象函数为 )1()()()( 2 ss KsGsRsC （ 1）将 5.4K ，
23、1 s代入式中可求出 sradn /12.2 ， 24.0 ，为欠阻尼系统，因此得出 %46pM ， %)2(86.7 sts ， %)5(90.5 s （ 2）将 1K ， 1 s 代入式中可求出 sradn /1 ， 5.0 ，为欠阻尼系统，因此得出 %3.16pM ， %)2(8sts s， %)5(6s （ 3）将 16.0K ， 1 s 代入式中可求出 sradn /4.0 ， 25.1 ，过阻尼，无最大超调量。因此只有 15st s。 3-11 系统的框图如图 3-T-4 所示，试求当 a=0 时 ,系统的之值。如要求，是确定 a 的值。 （ 1）当 a=0时， 则系统传传递函数为
24、 828)(2 sssG， 其中 228 n ， 22 n ，所以有 354.0 。 （ 2） n 不变时，系统传函数为8)28( 8)( 2 sassG，要求 7.0 ，则有)14(22 an ，所以可求得求得 25.0a 。 3-12 已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析 z=1 的零点对系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的影响。 1. 单位脉冲响应 (a) 无零点时 0,1s i n1 22 ttetc ntn n （ b）有零点 1z 时 0,111s i n121 222 2 ta r c tgtetcnnntnnn n 比较上述两种情况，可见有零点 1z 时，单位脉冲响
25、应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为nnarctg 11 2 。 2单位阶跃响应 (a) 无零点时 0,11s i n1 11 222 ta r c tgtetc ntn （ b）有零点 1z 时 0,11s i n1211 222 2 ta r c tgtetcnntnn n 加了 1z 的零点之后，超调量 pM 和超调时间 pt 都小于没有零点的情况。 3-13 单位反馈控制系统的框图如图 3-T-5 所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零 初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？ 单位反馈控制系统的框图如图 3-T-5
26、所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例 -积分环节 ssK 111 ，当误差信号 0te 时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系统输出继续增长，知道出现 0te 时，比例 -积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。 3-14 上述系统， 如在 tr 为常量时，加于系统的扰动 tn 为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动 tn 为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间无关的常量？ 在 tr 为常量的情况下，考虑扰动 tn 对系统的影响，可将框图重画如下 图 A-3-2 题 3-14 系统框图等效变换 sNsKKss s
27、KsC 11 12122 2 根据终值定理，可求得 tn 为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为 0， tn 为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为 11K 。 从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。 3-15 已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。 （ 1）劳斯表有 30303604238101234sssss则系统系统稳定。 （ 2）劳斯表有 282104221101234sssss劳
28、斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。 （ 3）劳斯表有 101210106610911631012345ssssss劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。 （ 4）劳斯表有 4344312846269348510123456sssssss系统处于稳定的临界状态，由辅助方程 462 24 sssA 可求得系统的两对共轭虚数极点 2; 4,32,1 jsjs 。 3-16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的 K 值的范围。 （ 1） K0 时 ,系统稳定。 （ 2） K0 时，系统不稳定。 （
29、 3） 0K3 时，系统稳定。 3-17 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为)12)(1( )1()( sss sKsG 请在以 K 为横坐标， 为纵 坐标的平面上，确定系统为稳定的区域。 系统的特征方程为 0)1()2(2)( 23 KsKsssD 列 写 劳 斯 表 kskksksks012322)1)(2(212， 得 出 系 统 稳 定 应 满 足 的 条 件 02 2)1)(2( KK 由此得到和应满足的不等式和条件 2,1,1 )1(20 KKK 2 3 4 5 9 15 30 100 6 4 3.3 3 2.5 2.28 2.13 2.04 根据列表数据可绘制 K 为横坐标、
30、为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3 中的阴影部分。 图 A-3-3 闭环系统稳定的参数区域 3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为)1000)(200( )40)(5()( 3 sss ssKsG试求系统的临界增益 cK 之值及无阻尼振荡频率值。 根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程 0200452000001200 2345 kkskssss 列写劳斯表 kskkkkkskkkkskkkskksks200107544.11096.04510787.7200104.2107544.101200200104.51200104.2200120045200000102
31、8163291828248345根据劳斯判据可得 02000107544.11096.04510787.70104.2107544.101200104.228163298288kkkkkkkkkk系统稳定的 K 值范围为 86 101 .7 5 3 51022.1 K 当 61 1022.1 K 、 82 107535.1 K 时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益 61022.1 cK 以及 8107535.1 cK 。 根据劳斯表列写 61022.1 cK 时的辅助方程 01022.12001022.1104.2 )1022.1(1022.1107544.1 6268
32、2668 s 解得系统的一对共轭虚数极点为 162,1 js ，系统的无阻尼振荡频率即为 srad/16 。 8107535.1 cK 时的辅助方程 0107535.1200107535.1104.2 )107535.1(107535.1107544.1 8288 2888 s 解得系统的一对共轭虚数极点为 3384,3 js ，系统的无阻尼振荡频率为 srad/338 。 第四章 4-2 设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益 1K 变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。 （ 1） 31 1 sss KsG系统开环极点为 0， 1， 3，无开环零点。实轴 01， 与 3， 上
33、有根轨迹，渐近线相角 180,60 a ，渐近线与实轴交点 33.1a ，由 01dSdK 可得出分离点为）（ 0,45.0 j ，与虚轴交点 123 1 Kj 。常规根 轨迹如图 A-4-2 所示。 图 A-4-2 题 4-2 系统（ 1）常规根轨迹 （ 2） 2044 2 1 ssss KsG方法步骤同上，实轴 04， 上有根轨迹， 135,45 a ， 2a ，分离点 5.220,2 jj 与 ，与虚轴交点 26010 1 Kj 。常规根轨迹如图 A-4-3 所示。 图 A-4-3 题 4-2 系统（ 2）常规根轨迹 4-3 设单位反馈系统的开环传递函数为)1()( 2 1 ss KsG
34、（ 1)试绘制系统根轨迹的大致图形，并对系统的稳定性进行分析。（ 2）若增加一个零点 1z ，试问根轨迹图有何变化，对系统稳定性有何影响？ （ 1） 22 1 ss KsG实轴 2 ， 上有根轨迹， 67.0,60 aa ，由 01dSdK 可得出分离点为 0,0j ，与虚轴交点为 0j 01K 常规根轨迹如图 A-4-4（ a）所示。从根轨迹图可见，当01K 便有二个闭环极点位于右半 s 平面。所以无论 K 取何值，系统都不稳定。 图 A-4-4 题 4-3 系统常规根轨迹 （ 2） 2121 ss sKsG实轴 12， 上有根轨迹， 5.0,90 aa ，分离点为 0,0j ；常规根轨迹如
35、图A-4-4（ b）所示。从根轨迹图看，加了零点 1z 后，无论 K 取何值，系统都是稳定的。 4-4 设系统的开环传递函数为)2( )2()()( 2 1 asss sKsHsG 试绘制下列条件下系统的常规根轨迹（ 1） a=1 (2) a=1.185 (3) a=3 （ 1） a=1 时，实轴 02， 上有根轨迹， 90a ， 0a ，分离点为 038.0 ， ，常规根轨迹如图图 A-4-5（ 1） -2 - 1 . 8 - 1 . 6 - 1 . 4 - 1 . 2 -1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0-3-2-10123R o o t L o c u
36、 sR e a l A x isImaginaryAxis图 A-4-5（ 1） （ 2） a=1.185 时，实轴 02， 上有根轨迹， 90a ， 0a ，根轨迹与虚轴的交点为 j，0 ，常规根轨迹如图图 A-4-5（ 2） -2 - 1 . 8 - 1 . 6 - 1 . 4 - 1 . 2 -1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0-4-3-2-101234R o o t L o c u sR e a l A x isImaginaryAxis图 A-4-5（ 2） （ 3） a=3 时，实轴 02， 上有根轨迹， 90a ， 0a ，根轨迹与虚轴的交点为
37、 j，0 ，常规根轨迹如图图 A-4-5（ 3） -2 - 1 . 8 - 1 . 6 - 1 . 4 - 1 . 2 -1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0-6-4-20246R o o t L o c u sR e a l A x isImaginaryAxis图 A-4-5（ 3） 4-5 求开环传递函数为)( )1()()( 21 ass sKsHsG 的系统在下列条件下的根轨迹（ 1） a=10（ 2）a=9（ 3） a=8 (4)a=3 （ 1）实轴 110 ， 上有根轨迹， 5.4,90 aa ，分离点为 00 j， ， 与虚轴交点为 00 1K
38、j 。常规根轨迹大致图形如图 A-4-6（ 1） - 1 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0- 1 0-8-6-4-20246810R o o t L o c u sR e a l A x isImaginaryAxis图 A-4-6（ 1） （ 2） 实轴 19， 上有根轨迹， 4,90 aa ，分离点为 00 j， ，与虚轴交点为 00 1Kj 。常规根轨迹大致图形如图 A-4-6（ 2） -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-8-6-4-202468R o o t L o c u sR e a l A x isImaginaryAxis图 A
39、-4-6（ 2） （ 3） 实轴 18， 上有根轨迹， 5.3,90 aa ， 分离点为 00 j， ，与虚轴交点为 00 1Kj 。常规根轨迹大致图形如图 A-4-6（ 3） -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-8-6-4-202468R o o t L o c u sR e a l A x isImaginaryAxis图 A-4-6（ 3） （ 4） 实轴 13， 上有根轨迹， 1,90 aa ，分离点为 00 j， ，与虚轴交点为 00 1Kj 。常规根轨迹大致图形如图 A-4-6（ 4） -3 - 2 . 5 -2 - 1 . 5 -1 - 0 . 5 0-3-2-1
40、0123R o o t L o c u sR e a l A x isImaginaryAxis图 A-4-6（ 4） 4-7 设系统的框图如图 4-T-2 所示，试绘制以 a 为变量的根轨迹，并要求：（ 1）求无局部反 馈时系统单位斜坡响应的稳态误差，阻尼比及调整时间。（ 2）讨论 a=2 时局 部反馈对系性 能的影响。 (3)确定临界阻尼时的 a 值。 系统特征方程为 0112 ss 以 为可变参数，可将特征方程改写为 011 2 ss s 从而得到等效开环传递函数 1)( 2 ss ssG eq 根据绘制常规根轨迹的方法，可求得实轴 0， 上有根轨迹 1,180 aa ，分离点为 0,1
41、j ，出射角为 150P 。参数根轨迹如图 A-4-7 所示。 图 A-4-7 题 4-7 系统参数根轨迹 （ 1） 无局部反馈时 0 ，单位速度输入信号作用下的稳态误差为 1sre ；阻尼比为5.0 ；调节时间为 %56sts （ 2） 2.0 时， 2.1sre ， 6.0 ， %)5(5sts 比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。 （ 3） 当 1 时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点 12,1 s。 4-8 根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘制其根轨迹的大致图形。 （ 1）实轴 ， 12 有根轨迹， 5.1,90 aa ，分离点为 05
42、.1 ， ，与虚轴交点为 30 1Kj 。常规根轨迹大致图形如图 A-4-8（ 1） （ 2） 实轴 120 ， 有根轨迹， 2,1 2 00 aa ， ，分离点为 057.1 ， ，与虚轴交点为 30 1Kj 。常规根轨迹大致图形如图 A-4-8（ 2） （ 3） 实轴 34120 ， 有根轨迹， 2,1 2 00 aa ， ，虚轴交点为 375.591.00 1 Kj， 。常规根轨迹大致图形如图 A-4-8（ 3） 4-9 绘出图 4-T-3 所示滞后系统的主根轨迹，并确定能使系统稳定的 K 值范围。 主根轨迹如图 A-4-9 所示。系统稳定的 K 值范围是 38.140 K 。 图 A-4-9 题 4-9 系统主根轨迹 4-10 若已知一个滞后系统的开环传递函数为 sKesHsG s ，试绘制此系统的主根轨迹。 由 sKesHsG s 知 01K 时系统的根轨迹从开环极点 和01p 出发，实轴 0， 上有根轨迹，主根轨迹分离点 0,1 j；与虚轴交点
