1、ABCD立体几何中的外接内切球如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球。有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。考查学生的空间想象能力及归纳能力。研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识。并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作业。本专题主要讨论补形法和轴截面法。补形法：情况一：若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的abc、 、长就是该三棱锥的外
2、接球的直径.设其外接球的半径为 ，则有R.22R情况二：若出现对边相等，一般也是构造长方体，再利用 。22abc此类题重点要找出 三边。cba,例 1：已知点 A、B、C、D 在同一个球面上，则外接球的体积是_ ,8,132,6, ADC若平 面。解析：如图，易得 ，2(13)4BC， ，则此球内接长2867BDD方体三条棱长为 AB、BC、CD（CD 的对边与 CD 等长），从而球外接圆的直径为 ，2264(1)8R即 .4R例 2.如图，已知球 O 点面上四点 A、B、C、D，DA 平面ABC，AB BC，DA=AB=BC= ，则球 O 的体积等于 _。3解析：本小题主要考查球的内接几何体
3、体积计算问题。其关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形 DAC,三角形 DBC 都是直角三角形，且有公共斜边。所以 DC 边的中点就是球心（到 D、A、C、B 四点距离相等），所以球的半径就是线段 DC 长度的一半。例 3.在正三棱锥 中， 、 分别是棱 、 的中点，且ABCSMNS，若侧棱 ，则正三棱锥 外接球的表面积是（ MN32AB） A B C D12648解析：正三棱锥对棱互相垂直，即 ，又 SB MN，且 ， SBAMN，从而 . ，以 为顶点，将三棱锥补SBS面 90S成一个正方体，故球的直径 ，即 ， 。R323R3642R例 4.在四面体 中, ,则四面体ACD6,
4、4,5BACBDC的外接球的表面积为_.B【答案】解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线分别为 4、5、6,设长方体的三条边分别为 ,则 ,而长方体的外接球就是四xyz227yz面体的外接球,所以 74.SR练 习 题 ：1.一个三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直，且长度分别为 1、3 ，则这个三棱锥的外接球的表面积为（ ）6A、16 B、32 C、36 D、64答案：A2.在三棱锥 A-BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，ABC、ACD、ADB 的面积分别为 ，则三棱锥 A-BCD 的外接球的体积为（ ）263、3.三棱锥 P-ABC 中，PA，PB
5、，PC 两两垂直，如果此三棱锥外接球的表面积为9，那么 PAPB+PAPC+PBPC 的最大值为（ ）A. B. C.9 D.184929轴 截 面 法 ：我 们 选 择 最 佳 角 度 找 出 含 有 找 出 含 有 正 棱 锥 特 征 元 素 的 外 接 球 的 一 个 轴 截面 面 圆 ， 于 是 该 圆 的 半 径 就 是 所 求 的 半 径 ， 把 立 体 几 何 问 题 转 化 为 平 面 几何 问 题 来 研 究 。 这 种 等 价 转 化 的 思 想 是 我 们 应 该 研 究 的 重 点 。例 1.已知四面体正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 ，点2S、 A、
6、B、 C、 D 都在同一个球面上，则该球的体积为_审题导引 如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线 SE 上找到一个点 O使得 OA OS，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上规范解答 如图所示，在 Rt SEA 中， SA ， AE1，故 SE1.设球2的半径为 r，则 OA OS r， OE1 r.在 Rt OAE 中， r2(1 r)21，解得r1，即点 O 即为球心，故这个球的体积是 .43例 2.已知四面体 在同一球面上，且 , ,当四面体ABCD2BCAA的体积最大时且为 ，求球的表面积（ ）32解析： , 是直角三角形, BC的外接圆的圆心是边 AC 的中点 O1,如图所示,若使
7、四面体 ABCD 体积的最大值只需使点 D 到平面 ABC 的距离最大,又 平面 ABC,所以点 D 是直线 1O与球的交点 ，设球的半径为 R,则由体积公式有: 12 ，在 RtA中, 22()R,解得:54R254OS球 的 表 面 积 ,故选 C 1.已知球 O 点面上四点 A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC，DA=AB=BC= ，3则球 O 的体积等于_2.已 知 四 棱 锥 V-ABCD 的 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， 底 面 ABCD 为 矩 形 ，AC BD=G， VG 平 面 ABCD， AB= ， ， ， 则 该 球 的33体 积 为 （ ） 36.9
8、.12.4.内切圆：等体积法例 1设棱锥 的底面是正方形，且 ， ，如果ABCDMMDAAB的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.A解： 平面 ，B,由此，面 面 .记 是 的中点，E从而 . 平面 ，DEACF设球 是与平面 、平面 、平面 都相切的球.如图OMM2，得截面图 及内切圆FO不妨设 平面 ，于是 是 的内心.E设球 的半径为 ，则 ，设 ,rFSM2aEAD.1AMDS,2,2aFaE 122ar当且仅当 ，即 时，等号成立.2当 时，满足条件的球最大半径为 . MEAD12练习：1.一个正四面体内切球的表面积为 ，求正四面体的棱长。（答案为：3）22.在 底 面
9、半 径 为 3， 高 为 4+2 的 圆 柱 形 有 盖 容 器 内 ， 放 入 一 个 半 径 为 3的 大 球 后 ， 再 放 入 与 球 面 、 圆 柱 侧 面 及 上 底 面 均 相 切 的 小 球 ， 则 放 入 小 球的 个 数 最 多 为 （ ）A、 4 B、 5 C、 6 D、 7作业：1已知三棱柱 ABCA 1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA 1=12，则球 O 的半径为（ ）A B C D372201323102将一个气球的半径扩大 1 倍，它的体积扩大到原来的（ ）A 2 倍 B4 倍 C8 倍 D16 倍图 23用与球心距
10、离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为（ ）AB C D4球的表面积与它的内接正方体的全面积之比为（ ）ABCD15将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）A 2 B 4 C 8 D166已知三棱柱 ABCA 1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA 1=12，则球 O 的半径为（ ）A B C D7已知三棱锥 P ABC 中， PA、 PB、 PC 两两垂直， PA PB2 PC2 a，且三棱锥外接球的表面积为 S9，则实数 a 的值为( )A1 B2 C. D.2128半径为 5 的球面上有三个点
11、A， B， C，若 AB6， BC8， AC10，经过这23 个点作截面，那么球心到截面的距离为( )A4 B4 C5 D929已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为( )A16 B8 C4 D210已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A B C D2636232二、填空题 ：1如图，已知球 O 的面上四点 A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC= ，则球 O 的体积等于 2已知点 A、 B、 C 在球心为 O 的球面上， ABC 的内角 A、 B、
12、C 所对边的长分别为 a、 b、 c，且 a2 b2 c2 bc， a ，球心 O 到截面 ABC 的距离为 ，则3 2该球的表面积为_3过正四面体外接球球心的平面截正四面体所得截面如图所示，图中三角形面积为 2 ，则正四面体棱长为_24给出下列命题：一个球与棱长为 的正方体的所有棱都相切，则此球的体积为 ；243若 ( )2，则实数 a1 ；limn 1 a an 11 a 22已知函数 f(x)ln( x21)，则方程 f(x)0 在(1，2)内必有实根；圆( x2) 2 y22 外的点 M 对该圆的视角为 90时，则点 M 的轨迹方程是(x2) 2 y24.其中正确的命题序号是_5过半径
13、为 2 的球 O 表面上一点 A，作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角为 30，则该截面的面积为_6已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长 AB6，侧棱长 AA12 ，它的外7接球的球心为 O，点 E 是 AB 的中点，点 P 是球 O 的球面上任意一点，有以下判断：(1)PE 长的最大值是 9；(2)三棱锥 P EBC 体积的最大值是 ；323(3)存在过点 E 的平面，截球 O 的截面面积是 8；(4)三棱锥 P AEC1体积的最大值是 20.正确的是_7已知球面上有 S， A， B， C 四点，且 SA平面 ABC， ABC90， SC2.则该球的表面积为_8设 A， B， C， D 是半径为 2 的球面上的四点，且满足AB AC， AD AC， AB AD，则 S ABC S ABD S ACD的最大值是_
