1、4 倒易点阵 1. 倒易矢量的引入,前讲 X射线衍射规律 须满足布拉格定律 如图 衍射矢量为,而布拉格方程为,衍射花样,衍射规律为：(用衍射矢量来描述) 衍射矢量的方向为晶面法线方向，大小为 (选择性反射),引入一新的矢量,大小:,由于,的大小与d（晶面间距）,为倒易矢量。,1. 倒易矢量的引入 衍射矢量三角形,互为倒数，称,2. 倒易点阵的定义,晶体具有空间点阵式的周期性结构，由晶体结构周期规律中直接抽象出来的点阵，称晶体点阵，用S 表示。倒易点阵的概念是埃瓦尔德（P.P.Ewald）在1921年首先引入的。它是一种虚点阵，是由晶体内部的点阵按照一定的规则推引出来的一套抽象点阵。用S*表示。
2、倒易点阵的概念现已发展成为解释各种X 射线和电子衍射问题的有力工具，并能简化许多计算工作，所以它也是现代晶体学中的一个重要组成部分。,2 倒易点阵的定义,为正点阵的基矢量为倒易点阵的基矢量,=0,由,定义的点阵为倒易点阵or倒点阵。,（2-15）式给出了倒易矢量的方向和长度,(2-12),=b*,2. 倒易点阵的定义 (reciprocal lattice),如图所示,a,b,c,c*,a*,b*,以倒易矢量,为例。画出了它与正点阵的对应关系。 OP为,在,上的投影。同时也是,构成的（001）晶面 的面间距d001,图 倒易矢量 的定义,o,p,要求倒易基矢垂直于晶面,b,c*,a*,b*,a
3、* (100),b* (010),100,001,010,c* (001),a,O,对立方系,(2-13),p,(2-14),a*端点坐标为1,0,0, 长度为（100）晶面的间距的倒数 b*端点坐标为0,1,0, 长度为（010）晶面的间距的倒数 c*端点坐标为0,0,1, 长度为（001）晶面的间距的倒数,倒易基矢的长度,1,0.25 -1,200,100,000,H210,H110,210,110,010,220,120,020,(210),(100),(110),(010),C*,b*,a*,c,b,a,倒易晶格,正晶格,立方晶格的倒易变换,X,Y,Z,(220),H220,1,0.2
4、5 -1,200,100,000,H120,H110,210,110,010,220,120,020,(120),(100),(110),(010),c*,b*,a*,c,b,a,倒易晶格,正晶格,六方晶格的倒易变换,在三维空间,倒易基矢量可表达为（方向与长度）,；,；,（因点积为投影，叉积为面积）,；,；,(2-16),(2-17),3. 倒易点阵与正点阵的倒易关系,a*=V-1bc b*=V-1ca c*=V-1ab a*a=1， a*b=0， a*c=0 b*a=0， b*b=1， b*c=0 c*a=0， c*b=0， c*c=1 (1)在倒易点阵中，由原点指向倒易点阵结点hkl的矢量
5、称为倒 易矢量H*，可表达为 H*=ha*kb*lc*，H*必和正点阵的面网（hkl）相垂直； (2)倒易矢量H*的长度和正点阵中的面网（hkl）的晶面间距d（hkl）成反比， 即H*=1/d（hkl）。,(2-18),(2-19),三维空间的统一矢量方程,有,为倒易阵胞体积,倒易基矢量的倒易正点阵基矢量，即：,(2-20),(2-21),(2-22),4. 倒易点阵参数,正空间点阵参数: a, b, c , , 体积 V 倒易点阵参数: a*, b*, c* *, *, * 体积 V*,（矢量的多重积）,(2-23),(2-24),(2-25),倒易点阵参数的计算公式,所以,将（2-24）式
6、代入（2-26）式可得,(2-26),(2-27),(1) r*的方向与实际点阵面（hkl）相垂直，或r* 的方向是实际点阵面（hkl）的法线方向。,(2) r*的大小等于实际点阵面（HKL）面间距的倒数，即,倒易矢量的两个重要性质,倒易矢量：由倒易点阵的原点O至任一倒易点 HKL的矢量为r*,r* = Ha* + Kb* + Lc*,5. 倒易矢量及基本性质,(2-28),(2-29),证明：,ABC为HKL晶面族中最靠原点的 晶面。则从晶面指数的定义中可知：,（2-28）式分别乘以（2-31），（2-32）得,可得,可得,，,(2-33),(2-34),(2-35),(2-36),5. 倒
7、易矢量及基本性质,正点阵与倒易点阵的原点相同时，正点阵中的晶面取向和晶面间距的两个参量在倒易点阵中只用倒易矢量一个参量可表达出来。这样，晶面间距，晶面间夹角就可以用一矢量即倒易矢量来进行矢量运算。,倒易矢量的性质,倒易点阵矢量垂直于正空间点阵平面。 正空间点阵平面间距等于倒易点阵矢量的倒数。 dhkl=1/r* 同样倒易点阵平面间距也等于正空间点阵矢量的倒数,1. 这样定义的倒易点阵与正空间点阵有类似的意义平移周期、旋转对称性等2. 与正空间点阵类似倒易点阵亦有点阵方向、点阵平面和点阵矢量。3. 倒易点阵单胞的体积V*与正空间点阵单胞的体积V亦有倒易关系。4. 倒易点阵与正空间点阵互为倒易，倒
8、易点阵的倒易点阵是正空间点阵。,倒易点阵的性质,6. 由倒易矢量推算晶面间距和 晶面夹角的计算公式,（1）晶面间距的计算,(2-37),(2-38),(2-39),(2-40),立方晶系：,(2-41),正方晶系,斜方晶系,六方晶系,(2-42),(2-43),(2-44),菱方晶系,(2-45),（2）晶面夹角的计算公式,利用晶面法线间的夹角来表示。所以两个晶面（H1K1L1）和 （H2K2L2）之间的夹角 用其各自的倒易矢量,之间的夹角来表示。,立方晶系,(2-50),(2-51),(2-52),六方晶系：,：,菱方晶系:,(2-53),(2-54),单斜晶系：,：,(2-55),Finish,
