1、课时作业( 十七)1函数 f(x)(x1)( x2) 2 在0,3上的最小值为( )A8 B4C0 D.427答案 B解析 f( x)(x2) 22(x1)( x2)(x 2)(3x4)令 f( x)0x 1 ，x2 2，结合单调性，只要比较 f(0)与 f(2)即可f (0)434， f(2)0.故 f(x)在0,3上的最小值为 f(0)4.故选 B.2当函数 y x2x取极小值时，x ( )A. B1ln2 1ln2C ln2 Dln2答案 B解析 由 y x2x，得 y2 xx2 xln2.令 y0，得 2x(1xln2)0.2x0， x .1ln23(2014西安五校 联考)函数 f(
2、x)e x ，则( )xA仅有极小值 B仅有极大值12e 12eC有极小值 0，极大值 D以上皆不正确12e答案 B解析 f( x)e x ex e x ( )e x .x12x x 12x 1 2x2x令 f( x)0，得 x .12当 x 时， f( x)0.12 12x 时取极大值，f( ) .12 12 1e 12 12e4函数 f(x)x 33bx3b 在(0,1)内有极小值，则 ( )A0b1 Bb1Cb 0 Db12答案 A解析 f( x)在(0,1)内有极小值， 则 f( x)3x 23b 在(0,1)上先负后正，f(0)3b0.b0，f(1) 33b0 ，b1.综上，b 的范
3、围为 0b1.5已知 f(x)2x 36x 2m(m 为常数)在 2,2上有最大值 3，那么此函数在2,2上的最小值是 ( )A37 B29C 5 D以上都不对答案 A解析 f( x)6x 212x6x(x 2)，f(x)在( 2,0)上增， (0,2)上减，x0 为极大值点，也为最大值点，f (0)m3， m3.f(2)37，f(2)5.最小值 是37，选 A.6已知函数 f(x) x3x 2 x，则 f(a 2)与 f(1) 的大小关系为( )12 72Af( a2) f(1)Bf(a 2)1 时，f(1)a40，且 f( ) 10，解得 a4.综上所述，1a 2aa4.9若函数 f(x)
4、 (a0)在1 ，)上的最大值为 ，则 a 的值为( )xx2 a 33A. B.33 3C. 1 D. 13 3答案 D解析 f( x) .x2 a 2x2x2 a2 a x2x2 a2令 f( x)0，得 x 或 x (舍)a a若 1 时，即 01，即 a1，在1 ， 上 f(x)0，在 ，)上 f(x)0 ，此 时 在( ，2)上，f(x)0，在 (2,1) 上，f (x)1 时，1x0.所以 f(x)在(，2)为增函数，在( 2,2)为减函数，在(2， )为增函数，因此 f(x)有极大值 f(2)，极小值 f(2)，故选 D.11(2014启 东中学调研) 已知函数 f(x)e xa
5、lnx 的定义域是 D，关于函数f(x)给出下列命题：对于任意 a(0，)，函数 f(x)是 D 上的减函数；对于任意 a(，0)，函数 f(x)存在最小值；存在 a(0，) ，使得对于任意的 xD，都有 f(x)0 成立；存在 a(，0) ，使得函数 f(x)有两个零点其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)答案 解析 由 f(x)e xalnx ，可得 f(x )e x ，若 a0，则 f(x )0，得函数 f(x)是axD 上的增函数，存在 x(0,1)，使得 f(x)0，所以函数 f(x)存ax在最小值 f(m)，即命题 正确；若 f(m)0 时，极小值 a1aln a解析 因
6、为 f(x)x 212alnx(x0)，所以 f( x)2x .2ax 2x2 ax当 a0，且 x2a0，所以 f( x)0 对 x0 恒成立所以 f(x)在(0， ) 上单调递增， f(x)无极值当 a0 时，令 f( x)0，解得 x1 ，x2 (舍去)a a所以当 x0 时，f( x)，f(x)的变化情况如下表：x (0， )a a ( ， )af (x) 0 f(x) 递减 极小值 递增所以当 x 时， f(x)取得极小 值，且 f(a)( )212aln a1aln a.a a a综上，当 a0 时，函数 f(x)在 x 处取得极小值 a1alna.a13(2014沧 州七校联考)
7、 已知函数 f(x)x 2ax1ln x.(1)若 f(x)在(0， )上是减函数，求 a 的取值范围；12(2)函数 f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由答案 (1)a 3 (2) a2 2解析 (1)f (x)2xa ，f(x)在(0， )上为减函数，x (0， )时1x 12 122xa 0 恒成立，即 a2x 恒成立1x 1x设 g(x)2x ，则 g(x)2 .x(0， )时 4，g(x)g( )3， a3.12(2)若 f(x)既有极大值又有极小值， 则 f( x)0 必须有两个不等的正实数根x1，x2，即 2x2ax 10 有两个不
8、等的正实数根故 a 应满足Error! Error!a2 .2当 a2 时，f( x)0 有两个不等的实数根2不妨设 x10，x x2时 f(x)2 时 f(x)既有极大 值 f(x2)又有极小值 f(x1)214已知函数 f(x)x 3ax 23x.(1)若函数 f(x)在区间1，)上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 x 是函数 f(x)的极值点，求函数 f(x)在1 ，a上的最大值；13(3)设函数 g(x)f(x) bx ，在(2)的条件下，若函数 g(x)恰有 3 个零点，求实数 b 的取值范围答案 (1)a 0 (2) 6 (3)b7 且 b3解析 (1)f (x)3x 2
9、2ax3，f(x)在1，) 是增函数，f (x)0 在1，) 上恒成立，即3x22ax30 在1， )上恒成立则必有 1，且 f(1)2a0.a0.a3(2)依题意，f( )0，即 a30， a4.13 13 23f(x)x 34x 23x.令 f( x)3x 28x30，得 x1 ，x23.13则当 x 变化时 ，f(x )与 f(x)变化情况如下表：x 1 (1,3) 3 (3,4) 4f (x) 0 f(x) 6 18 12f(x)在1,4上的最大 值是 f(1)6.(3)函数 g(x)有 3 个零点方程 f(x)bx 0 有 3 个不相等的实根即方程 x34 x23xbx 有 3 个不
10、等实根x0 是其中一个根，只需满 足方程 x24x 3b0 有两个非零不等实根Error!b 7 且 b3.故实数 b 的取值范围是 b7 且 b3.15已知函数 f(x)lnx .ax(1)若 a0，试判断 f(x)在定义域内的单调性；(2)若 f(x)在1，e上的最小值为 ，求 a 的值；32(3)若 f(x)0，f( x)0.故 f(x)在(0 ，)上是单调递增函数(2)由(1)可知，f( x) .x ax2若 a1 ，则 xa0，即 f(x)0 在1，e 上恒成立，此时 f(x)在1， e上为增函数，f(x)minf(1)a ，a (舍去)32 32若 ae，则 xa0 ，即 f(x) 0 在1， e上恒成立，此时 f(x)在1， e上为减函数，f(x)minf(e)1 .ae 32a (舍去)e2若e0，f(x)在( a，e)上为增函数f(x)minf(a)ln(a) 1 .a .32 e综上所述，a .e(3)f(x)0，axlnxx 3.令 g(x)xlnxx 3，h(x)g(x) 1lnx 3x 2，h(x) 6x .1x 1 6x2xx(1，)时，h(x )0，h(x)在(1，) 上是减函数h(x)h(1)20，即 g(x)0.g(x)在(1，) 上也是减函数g(x)g(1)1.当 a 1 时，f(x)x 2 在(1， ) 上恒成立
