1、同余作业姓名 1、 证明：一个正整数的各位数字的和被 9 整除的余数等于这个数被 9 除的余数。2、A，B 两人玩一种 32 张扑克牌的取牌游戏，A 先取，以后轮流进行，每次只能从剩下的牌中取 1 张或者质数张牌，谁取到最后一张牌谁获胜。问：谁有必胜策略？3、 在已知数列 1，4，8，10，16，19，21，25，30，43 中，相邻若干数之和能被 11 整除的数组共有多少种？练习（1）证明：对于任何整数 ， 都能被 7 整除。0k6162351kk（2）求 的末位数。44413204、共 1998 个小朋友围坐一圈，从某人开始逆时针方向报数，从 1 报到 64，一直报下去，直到每人报过 10
2、 次为止。 （1）有没有既报过 5 又报过 10 的人？（2）有没有既报过 5 又报过 11 的人？5、求最大的正整数 x，使得对任意 ，有 。*yN(712)yx6、试求出一切可使 被 3 整除的正整数 n。21n练习（1）设 是前 n 个质数的乘积，这里 ， ，证明：12pp *nN2和 都不是完全平方数。（2）已知 n 为正整数，十进制表示下的末三位数为 888，求满足条件的最小的 n 值。7、 （第 20 届 IMO）数 与 的最末三位数相等，试求正整数 m 和 n，使得1978nm取最小值，这里 。nm8、 （第 29 届 IMO 预选题）设 a 是方程 的最大正根，求证：17 可以整除3210x与 ，其中 表示不超过 x 的最大整数。17a198x9、设三角形的三边长分别是整数 ，且 。已知 ，,lmnln444331010lmn其中 ，而 表示不超过 x 的最大整数，求这种三角形周长的最小值。xx练习：给出一个数 198519841983654321，它是由大到小依次写出自然数1985,1984，3,2,1 后连接而成的。现从其首位起，把首位数字乘以 2 后加上第二位数字，把结果再乘以 2 后加上第三位数字，这样一直算下去，直到个位数字为止，于是得到一个新的数，把新的数再按上述方法做一次，又得第二个数，这样一直做下去，直到得到一个一位数为止。问：得到的一位数是多少？
