1、正 交 、 正 定 、 幂 等 矩 阵 性 质 总 结 马 鹏1正 交 、 正 定 、 幂 等 矩 阵矩 阵 理 论 在 现 代 统 计 分 析 中 有 着 广 泛 的 应 用 ， 成 为 统 计 学 中 不 可 或 缺 的 工 具 ， 同 时 统 计学 中 又 提 出 了 许 多 新 的 有 关 矩 阵 论 的 课 题 ， 刺 激 了 矩 阵 论 的 发 展 。 本 文 将 对 统 计 学 中 最 常 见的 三 种 特 殊 矩 阵 正 交 矩 阵 、 正 定 矩 阵 、 幂 等 矩 阵 的 性 质 及 其 应 用 进 行 总 结 1 。第 一 部 分 、 正 交 矩 阵在 代 数 中 ， 矩
2、 阵 是 线 性 空 间 中 线 性 变 换 的 一 种 描 述 ， 在 一 个 线 性 空 间 中 ， 只 要 我 们选 定 一 组 基 ， 那 么 对 于 任 何 一 个 线 性 变 换 ， 都 能 用 一 个 确 定 的 矩 阵 来 描 述 （ 矩 阵 实 质 上 是 对线 性 空 间 中 跃 迁 的 一 种 描 述 详 见 3 ） . 当 然 ， 对 于 正 交 变 换 我 们 很 自 然 地 定 义 了 正 交 矩 阵 ，它 有 一 种 很 好 地 性 质 保 持 长 度 不 变 .正 交 矩 阵 作 为 线 性 变 换 中 一 种 性 质 最 好 的 变 换 矩 阵 ， 它 的 行
3、 和 列 向 量 彼 此 相 互 垂 直 （ 进而 彼 此 线 性 无 关 ） 并 且 都 是 单 位 向 量 ， 这 种 特 殊 性 质 在 统 计 学 中 有 着 很 广 泛 的 应 用 ， 下 面 我们 主 要 就 正 交 矩 阵 的 定 义 及 其 性 质 进 行 探 讨 .定 义 1 .1 实 数 域 上 的 n级 矩 阵 A如 果 满 足T AA I那 么 称 A是 正 交 矩 阵 .从 定 义 1 .1 立 即 得 出 ：定 理 1 .1 实 数 域 上 的 n级 矩 阵 A是 正 交 矩 阵 等 价 于 下 面 的 三 条 结 论 中 的 任 意 一 条 ：（ 1 ） T AA
4、 I （ 2 ） A非 奇 异 ， 并 且 1 T A A ； （ 3 ） T A A I .同 时 ， 正 交 矩 阵 还 有 如 下 的 性 质 ：（ 1 ） I是 正 交 矩 阵 ；（ 2 ） 如 果 A和 B都 是 正 交 矩 阵 ， 则 AB也 是 正 交 矩 阵 ；（ 3 ） 如 果 A是 正 交 矩 阵 ， 则 1A （ 即 TA ） 也 是 正 交 矩 阵 ；（ 4 ） 如 果 A是 正 交 矩 阵 ， 则 det 1A 或 1 .注 ： 上 述 性 质 是 很 容 易 证 明 的 ， 这 里 一 并 略 去 .定 理 1 .2 设 实 数 域 上 的 n级 矩 阵 A的 行
5、向 量 组 为 1 2, , , n ； 列 向 量 组 为正 交 、 正 定 、 幂 等 矩 阵 性 质 总 结 马 鹏21 2, , , n . 则（ 1 ） A为 正 交 矩 阵 当 且 仅 当 A的 行 向 量 组 满 足1 , , 0 , ;Ti j as i jas i j （ 2 ） A为 正 交 矩 阵 当 且 仅 当 A的 列 向 量 组 满 足1 , , 0 , ;Ti j as i jas i j 定 理 1 .3 设 实 数 域 上 的 n级 矩 阵 A是 对 称 阵 ， T 是 n级 正 交 矩 阵 ， 那 么 1T AT是 实对 称 阵 .说 明 ： 此 定 理 的
6、 证 明 直 接 根 据 正 交 矩 阵 的 定 义 .定 理 1 .4 设 n级 正 交 矩 阵 A是 上 三 角 矩 阵 ， 那 么 A是 对 角 矩 阵 ， 且 A的 主 对 角 元 1为或 1 .说 明 ： 本 定 理 的 证 明 过 程 主 要 用 到 了 定 理 1 .2 的 结 论 .在 矩 阵 论 领 域 ， 正 交 矩 阵 有 一 个 很 好 的 性 质 ， 那 就 是 QR分 解 （ 这 里 给 出 Schmidt正 交化 过 程 的 实 质 ） ， 下 面 以 定 理 的 形 式 给 出 来 ：定 理 1 .5 设 A是 实 数 域 上 的 n级 矩 阵 ， 并 且 A非
7、 奇 异 ， 则 A可 以 唯 一 的 分 解 成 正 交矩 阵 Q 和 对 角 元 都 是 正 数 的 上 三 角 矩 阵 R的 乘 积 ： A=QR.说 明 ： QR分 解 其 实 质 就 是 对 一 个 互 相 线 性 无 关 的 向 量 组 进 行 Schmidt正 交 化 ， 形 成 一组 标 准 正 交 基 ， 此 过 程 中 用 到 的 最 著 名 的 工 具 就 是 Householder变 换 . 详 见 2 更 一 般 的 ， 我 们 有 下 面 的 定 理 ：定 理 1 .6 设 A 是 实 数 域 上 的 m n 级 矩 阵 ， 其 中 m n . 如 果 A 的 列
8、向 量 组1 2, , , n 线 性 无 关 ， 那 么 A可 以 唯 一 分 解 成A=QR其 中 ， A是 列 向 量 组 为 正 交 单 位 向 量 组 的 m n 级 矩 阵 ， R是 主 对 角 元 都 为 正 数 的 n级 上三 角 矩 阵 ， 这 称 为 QR 分 解 .下 面 我 们 来 考 虑 一 下 结 构 较 为 简 单 的 正 交 矩 阵 .正 交 、 正 定 、 幂 等 矩 阵 性 质 总 结 马 鹏3定 理 1 .7 由 正 交 矩 阵 的 性 质 （ 4 ） 我 们 可 以 得 到 ， 当 det 1A 和 1 时 ， 我 们 可 以 确 定2 级 正 交 矩
9、阵 A的 具 体 形 式 仅 有 下 面 两 种 ：cos sinsin cos A 和 cos sin sin cos A R说 明 ： 考 虑 1 T A A 并 利 用 逆 矩 阵 的 最 原 始 定 义 ， 根 据 矩 阵 元 素 对 应 相 等 即 可 得 到 最后 的 结 果 .下 面 在 代 数 余 子 式 的 角 度 给 出 四 个 重 要 的 定 理 ：定 理 1 .8 设 A是 实 数 域 上 的 n级 正 交 矩 阵 ， 则 ：（ 1 ） 如 果 det 1A ， 那 么 A的 每 一 个 元 素 等 于 它 自 己 的 代 数 余 子 式 ；（ 2 ） 如 果 det
10、1A ， 那 么 A的 每 一 个 元 素 等 于 它 自 己 的 代 数 余 子 式 乘 以 1 .定 理 1 .9 设 A是 实 数 域 上 的 n级 矩 阵 ， 则 ：（ 1 ） 如 果 det 1A ， 且 A的 每 一 个 元 素 等 于 它 自 己 的 代 数 余 子 式 ， 那 么 A是 正 交 矩 阵 ；（ 2 ） 如 果 det 1A ， 且 A的 每 一 个 元 素 等 于 它 自 己 的 代 数 余 子 式 乘 以 1 ， 那 么 A是 正交 矩 阵 .定 理 1 .1 0 设 A是 实 数 域 上 的 n级 矩 阵 ， 3n 且 A非 奇 异 ， 则 ：（ 1 ） 如
11、果 A的 每 一 个 元 素 等 于 它 自 己 的 代 数 余 子 式 ， 那 么 A是 正 交 矩 阵 ；（ 2 ） 如 果 A的 每 一 个 元 素 等 于 它 自 己 的 代 数 余 子 式 乘 以 1 ， 那 么 A是 正 交 矩 阵 .定 理 1 .1 1 设 A是 实 数 域 上 的 n级 正 交 矩 阵 ， 则 ： 任 意 取 定 A的 两 行 （ 或 两 列 ） ， 由 这两 行 （ 或 两 列 ） 的 元 素 组 成 的 所 有 二 阶 子 式 的 平 方 和 等 于 1.说 明 ： 这 四 个 定 理 的 证 明 主 要 用 到 了 余 子 式 以 及 代 数 余 子 式
12、 的 定 义 ， 并 结 合 正 交 矩 阵 的性 质 .下 面 的 定 理 表 明 矩 阵 论 中 的 三 种 最 重 要 的 矩 阵 的 之 间 的 关 系 ：定 理 1 .1 2 实 数 域 上 的 一 个 n级 矩 阵 如 果 具 有 下 列 三 个 性 质 中 的 任 意 两 个 性 质 ， 那 么 有第 三 个 性 质 ： 正 交 矩 阵 、 对 称 矩 阵 、 对 合 矩 阵 .证 明 ： 设 n级 实 矩 阵 A是 正 交 矩 阵 ， 且 是 对 称 矩 阵 ， 则正 交 、 正 定 、 幂 等 矩 阵 性 质 总 结 马 鹏42 T A AA AA I因 此 是 A对 合 矩
13、 阵 .设 n级 实 矩 阵 A是 正 交 矩 阵 和 对 合 矩 阵 ， 则1 T A A I因 此 是 A对 称 矩 阵 .设 n级 实 矩 阵 A是 对 称 矩 阵 和 对 合 矩 阵 ， 则 2T AA AA A I因 此 是 A正 交 矩 阵 .下 面 我 们 讨 论 正 交 变 换 保 持 长 度 不 变 的 性 质 ， 关 于 正 交 变 换 的 定 义 以 及 通 用 表 达 方 式 这里 不 作 罗 列 ， 见 4 定 理 1 .1 3 设 A是 n级 正 交 矩 阵 ， 那 么 对 于 Euclid 空 间 nR 中 的 任 一 列 向 量 有2 2A .说 明 ： 直 接
14、 应 用 Euclid空 间 nR 中 度 量 的 定 义 即 可 .正 交 矩 阵 一 个 最 著 名 的 应 用 就 是 对 一 个 对 称 矩 阵 进 行 正 交 相 似 对 角 化 ：定 理 1 .1 4 对 于 任 意 一 个 n级 实 对 称 阵 A， 都 存 在 一 个 n级 正 交 矩 阵 P ， 使 得1T P AP P AP成 对 角 阵 .说 明 ： 在 此 过 程 中 ， 由 实 对 称 矩 阵 和 对 称 变 换 的 关 系 ， 只 要 证 明 对 称 变 换 有 n个 特 征 向量 作 为 一 组 标 准 正 交 基 就 可 以 了 .关 于 正 交 矩 阵 在 概
15、 率 统 计 领 域 常 用 的 性 质 就 这 么 多 ， 至 于 更 进 一 步 的 正 交 矩 阵 酉 矩阵 ， 我 们 在 这 里 不 作 介 绍 ， 有 兴 趣 可 以 查 阅 文 献 5 、 6 正 交 、 正 定 、 幂 等 矩 阵 性 质 总 结 马 鹏5第 二 部 分 、 正 定 矩 阵在 求 多 远 二 次 实 函 数 以 至 于 一 般 的 多 元 实 函 数 的 极 值 时 ， 或 者 在 最 小 二 乘 问 题 、 正 则 化问 题 、 优 化 问 题 中 ， 正 定 或 负 定 的 二 次 型 起 着 十 分 重 要 的 作 用 ， 而 在 实 数 域 范 围 内
16、， 每 一 个二 次 型 都 对 应 着 一 个 实 对 称 阵 ， 那 我 们 有 必 要 弄 清 楚 正 定 矩 阵 的 性 质 ， 至 于 负 定 矩 阵 以 及 半正 定 矩 阵 、 半 负 定 矩 阵 的 性 质 类 似 可 以 得 到 ， 见 文 献 2 、 7 .同 样 ， 为 了 更 清 楚 的 阐 述 正 定 矩 阵 的 性 质 ， 我 们 先 给 出 正 定 矩 阵 的 定 义 ， 值 得 注 意 的 是这 里 仅 对 对 称 矩 阵 给 出 定 义 ， 至 于 更 一 般 的 正 定 矩 阵 的 定 义 有 兴 趣 的 读 者 可 以 参 考 文 献 8 定 义 2 .1
17、 设 矩 阵 A是 n级 实 对 称 方 阵 ， 如 果 对 于 任 意 非 零 向 量1 2( , , , )T nnx x x x R ， 均 有 0T x Ax则 称 对 称 方 阵 A是 正 定 的 .9 正 定 的 实 对 称 矩 阵 简 称 为 正 定 矩 阵 .由 定 义 2 .1 以 及 二 次 型 的 有 关 概 念 我 们 立 即 得 到 判 定 正 定 矩 阵 的 几 个 充 要 条 件 ， 并 以 定理 的 形 式 给 出 来 ：定 理 2 .1 设 n级 实 对 称 矩 阵 A是 正 定 的 当 且 仅 当 下 列 任 何 一 个 结 论 成 立 ：（ 1 ） A的
18、正 惯 性 指 数 等 于 n；（ 2 ） A合 同 于 单 位 矩 阵 ；（ 3 ） A的 合 同 标 准 型 中 主 对 角 线 元 素 全 大 于 0；（ 4 ） A的 特 征 值 全 大 于 0；（ 5 ） A的 所 有 顺 序 主 子 式 全 大 于 0；（ 6 ） A的 所 有 主 子 式 全 大 于 0.下 面 是 几 个 定 理 是 正 定 矩 阵 的 判 定 定 理 ：定 理 2 .2 与 正 定 矩 阵 合 同 的 实 对 称 矩 阵 也 是 正 定 矩 阵 .定 理 2 .3 与 正 定 二 次 型 等 价 的 实 二 次 型 也 是 正 定 的 ， 从 而 非 退 化
19、线 性 替 换 不 改 变 实 二次 型 的 正 定 性 .定 理 2 .4 正 定 矩 阵 的 行 列 式 大 于 0， 迹 也 大 于 0， 其 伴 随 矩 阵 也 是 正 定 矩 阵 .正 交 、 正 定 、 幂 等 矩 阵 性 质 总 结 马 鹏6关 于 正 定 矩 阵 ， 在 概 率 统 计 中 常 用 的 性 质 有 Cholesky分 解 ， 见 文 献 4 、 1 0 .定 理 2 .5 （ 正 定 阵 的 Cholesky分 解 或 三 角 分 解 ） 设 n n 阶 正 定 矩 阵 A， 则 存 在 唯 一的 具 有 正 对 角 线 元 素 的 下 三 角 阵 L， 使 得
20、 T=A LL更 一 般 的 我 们 有 下 面 两 个 常 用 的 定 理 ：定 理 2 .6 n级 实 对 称 矩 阵 A是 正 定 的 充 要 条 件 是 有 n级 实 可 逆 矩 阵 C 使 得T=A C C定 理 2 .7 n级 实 对 称 矩 阵 A是 正 定 的 充 要 条 件 是 有 n级 实 可 逆 对 称 矩 阵 C 使 得2=A C定 理 2 .8 如 果 A是 n级 正 定 矩 阵 ， 那 么 存 在 唯 一 的 正 定 矩 阵 C 使 得2=A C说 明 ： 上 述 证 明 主 要 用 到 了 实 对 称 阵 的 谱 分 解 ， 详 见 2 定 理 2 .9 如 果
21、矩 阵 A和 B都 是 n级 正 定 矩 阵 ， 那 么 AB是 正 定 矩 阵 的 充 要 条 件 是AB BA定 理 2 .1 0 如 果 A是 n级 正 定 矩 阵 ， B是 n级 半 正 定 矩 阵 ， 那 么 A B是 正 定 矩 阵 .显 然 ， 当 B也 是 n级 正 定 矩 阵 的 时 候 结 论 成 立 .说 明 ： 定 理 2 .9 和 定 理 2 .1 0 分 别 利 用 实 对 称 矩 阵 的 正 交 相 似 和 正 定 矩 阵 的 定 义 即 可 证 得最 后 的 结 果 .与 定 理 2 .8 、 定 理 2 .1 0 类 似 ， 我 们 还 有 以 下 定 理 ：
22、定 理 2 .1 1 如 果 A是 n级 正 定 矩 阵 ， B是 n级 半 正 定 矩 阵 ， 那 么det( ) det( ) det( ) A B A B等 号 成 立 当 且 仅 当 B 0 .定 理 2 .1 2 设 T A BM = B D 是 n级 正 定 矩 阵 ， 其 中 A是 r级 矩 阵 ( )r n . 那 么 A，D， 1T D B A B都 是 正 定 矩 阵 .说 明 ： 这 是 一 个 特 殊 的 鞍 点 矩 阵 ， 在 计 算 数 学 领 域 有 很 重 要 的 地 位 ， 这 里 我 们 只 需 要 对正 交 、 正 定 、 幂 等 矩 阵 性 质 总 结
23、马 鹏7矩 阵 M进 行 初 等 变 换 即 可 得 到 .和 上 面 的 定 理 类 似 ， 我 们 也 有 下 面 的 结 论 .定 理 2 .1 3 设 T A BM = B D 是 n级 正 定 矩 阵 ， 其 中 A是 r级 矩 阵 ( )r n .那 么det( ) det( )det( )M A D等 号 成 立 当 且 仅 当 B 0 .下 面 看 一 看 一 类 最 简 单 的 Hadamard不 等 式 ：定 理 2 .1 4 如 果 ( )ijaA 是 n级 正 定 矩 阵 ， 那 么11 22det( ) nna a aA 等 号 成 立 当 且 仅 当 A是 对 角
24、矩 阵 .说 明 ： 关 于 此 定 理 的 证 明 我 们 只 需 要 用 简 单 的 数 学 归 纳 法 即 可 .定 理 2 .1 5 对 于 一 个 正 定 的 矩 阵 序 列 1 2, , , mA A A . 则 准 对 角 阵1 2 m A A A是 正 定 矩 阵 .定 理 2 .1 6 设 A是 n级 正 定 矩 阵 ， B是 m n 级 实 矩 阵 ( )m n ， 则 TB AB是 正 定 矩阵 的 充 要 条 件 是 ( )rank nB .正 交 、 正 定 、 幂 等 矩 阵 性 质 总 结 马 鹏8第 三 部 分 、 幂 等 矩 阵作 为 一 种 投 影 矩 阵
25、， 幂 等 矩 阵 在 矩 阵 论 领 域 以 及 高 等 概 率 领 域 应 用 都 非 常 广 泛 ， 因 此 对幂 等 矩 阵 进 行 探 讨 具 有 很 重 要 的 意 义 。 本 部 分 主 要 是 对 简 单 的 幂 等 矩 阵 的 一 些 性 质 和 结 论 进行 归 纳 总 结 .见 文 献 1 1 下 面 先 给 出 幂 等 矩 阵 的 定 义 ：定 义 3 .1 对 n阶 方 阵 A,若 2 A A,则 称 A为 幂 等 矩 阵 .定 理 3 .1 若 A是 幂 等 矩 阵 ,则 与 A相 似 的 任 意 矩 阵 是 幂 等 矩 阵 .证 明 ： 若 A相 似 于 B(记
26、作 A B),则 有 同 阶 可 逆 矩 阵 P ,使 1B P AP ， 从 而2 1 1 1 2 1 B P APP AP P A P P AP V .定 理 3 .2 若 A是 对 角 分 块 矩 阵 ， 设 1 2 = m A AA A ，则 A是 幂 等 矩 阵 iA ( 1,2, , )i r 均 是 幂 等 矩 阵 .由 于 每 个 n级 复 数 域 矩 阵 A都 与 一 个 若 尔 当 矩 阵 相 似 ， 据 定 理 3.1和 定 理 3.2 知 ， 我 们只 需 要 讨 论 若 尔 当 块 的 幂 等 性 .若 A是 一 个 2 阶 复 数 域 矩 阵 ,则 A的 若 尔 当
27、 标 准 型 有 两 种 可 能 的 形 式 :第 一 种 : 10 ,但 它 不 是 幂 等 矩 阵 .否 则 有 210 = 10 ,有 ,2 1 矛 盾 .第 二 种 : 00 ,由 20 00 0 ,有 2 21 1 2 2, ,从 而 有0 或 1, 2 0 或 1. 于 是 该 情 况 有 四 种 可 能 的 形式 : 0 00 0 , 1 00 0 , 1 00 1 , 0 00 1 据 定 理 3.1,于 是 得 到 :定 理 3 .3 设 A是 二 阶 幂 等 矩 阵 ,则 A是 零 矩 阵 或 单 位 矩 阵 或 形 如 1a bc a .正 交 、 正 定 、 幂 等 矩
28、 阵 性 质 总 结 马 鹏9证 明 : 由 以 上 讨 论 知 A相 似 于 (1)式 中 的 四 个 矩 阵 之 一01 若 0 0 0 0 A ,显 然 有 0 00 0 A ；02 若 0 0 0 0 A ,显 然 有 0 00 0 A ；03 若 0 0 0 0 A ,则 有 可 逆 矩 阵 1 23 4 P ， 1 4 2 3( , ) P因 为 可 逆使 1 4 1 21 4 2 3 1 4 2 31 3 4 2 31 4 2 3 1 4 2 31 00 0 a bc d A P P则 有 1d a .即 A 1a bc a .定 理 3.4 设 A是 n阶 幂 等 矩 阵 ，
29、当 且 仅 当 存 在 n阶 可 逆 矩 阵 P ， 使 得 1A PJP .其 中 J是 主 对 角 线 上 元 素 为 0 或 1 的 对 角 矩 阵 .下 面 将 给 出 一 些 幂 等 矩 阵 的 常 用 性 质 ， 更 进 一 步 的 研 究 请 参 考 文 献 5 性 质 1.方 阵 零 矩 阵 和 单 位 矩 阵 I是 幂 等 矩 阵 .性 质 2.方 阵 A是 幂 等 矩 阵 ， 且 A可 逆 ， 则 A I .据 此 易 知 :可 逆 幂 等 矩 阵 的 逆 矩 阵 是 幂 等 矩 阵 .即 1A (如 果 存 在 的 话 )是 幂 等 矩 阵 .性 质 3.若 A是 实 幂
30、 等 矩 阵 ， 则 *, ,T A I A A 都 是 幂 等 矩 阵 .性 质 4.若 A是 复 数 域 上 的 幂 等 矩 阵 ,则 H A I A， 也 是 幂 等 矩 阵 .性 质 5.若 A是 幂 等 矩 阵 ,则 A的 特 征 值 只 能 是 1 或 0.即 幂 等 矩 阵 是 半 正 定 矩 阵 .性 质 6.若 A是 幂 等 矩 阵 ,设 ( ) 是 A的 最 小 多 项 式 ,则 ( ) = 1 或 或 （ -1） 从 而 A可 对 角 化 ,且 其 若 尔 当 标 准 型 为 00 0r I .其 中 rI 是 r阶 单 位 矩 阵 , r是 A的 秩 .性 质 7.若
31、A是 幂 等 矩 阵 ， 则 ( ) ( )N R A I A ， 其 中 ( ) 0nN x C x A A正 交 、 正 定 、 幂 等 矩 阵 性 质 总 结 马 鹏1 0( ) ( ) ,n nR x C x y y C I A I A .性 质 8.若 A是 幂 等 矩 阵 ,对 任 意 实 数 ( 0,1)a a ,则 aA I 是 可 逆 矩 阵 .性 质 9.任 一 秩 为 r的 n n 幂 等 矩 阵 A可 分 解 成 A CB ,其 中 C 是 秩 为 r的n r 矩 阵 ,且 rBC I .(其 中 rI 是 r阶 单 位 矩 阵 )性 质 10.任 一 幂 等 矩 阵
32、可 写 成 两 个 实 对 称 矩 阵 之 积 .性 质 11.若 ,A B均 为 n n 阶 幂 等 矩 阵 ,且 AB BA,则 AB与 T TA B 均 为 幂 等 矩 阵 .最 后 ， 我 们 给 出 一 些 关 于 幂 等 矩 阵 的 等 价 条 件 作 为 本 文 的 结 尾 ：定 理 3.5 设 A是 n n 的 实 矩 阵 ,则 下 列 命 题 是 互 相 等 价 的 :1) A是 幂 等 矩 阵 .2) TA 是 幂 等 矩 阵 .3) I A是 幂 等 矩 阵 .4) 对 任 意 的 可 逆 矩 阵 P , 1P AP是 幂 等 矩 阵 .5) 2 B A I 是 对 合
33、矩 阵 .6) ( ) ( )N R A I A .7) ( ) ( )R N A I A .8) rank rank( ) n A I A .9) ( ) ( ) 0R R A I A .10) ( ) ( ) 0N N A I A .11) ( ) ( )n R R A I AR .12) ( ) ( )n N N A I AR .正 交 、 正 定 、 幂 等 矩 阵 性 质 总 结 马 鹏1 1参 考 文 献1 刘 栋 富 . 统 计 学 中 的 一 些 矩 阵 理 论 及 其 相 关 应 用 D. 中 国 知 网 ， 2 0 0 9 ： pp1 -2 .2 丘 维 生 . 高 等 代
34、 数 （ 上 册 ） M. 清 华 大 学 出 版 社 ， 2 0 1 0 .3 大 数 据 实 验 室 .算 法 与 数 学 之 美 .理 解 矩 阵 背 后 的 现 实 意 义 （ 微 文 ） .2 0 1 6 .4 李 尚 志 . 线 性 代 数 : 数 学 专 业 用 M. 高 等 教 育 出 版 社 ， 2 0 0 6 .5 陈 景 良 ， 陈 向 晖 . 特 殊 矩 阵 M. 清 华 大 学 出 版 社 ， 2 0 0 1 .6 程 云 鹏 ， 张 凯 院 ， 徐 仲 . 矩 阵 论 M （ 第 3 版 ） . 西 北 工 业 大 学 出 版 社 ， 2 0 0 6 .7 史 荣
35、昌 ， 魏 丰 . 矩 阵 分 析 M（ 第 3 版 ） . 北 京 理 工 大 学 出 版 社 ， 2 0 1 0 .8 王 国 荣 . 矩 阵 与 算 子 广 义 逆 M. 科 学 出 版 社 ， 1 9 9 4 .9 李 炯 生 ， 查 建 国 ， 王 新 茂 . 线 性 代 数 M（ 第 二 版 ） . 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 社 ， 2 0 1 0 .1 0 王 松 桂 ， 吴 密 霞 ， 贾 忠 贞 . 矩 阵 不 等 式 M（ 第 二 版 ） . 科 学 出 版 社 ， 2 0 0 6 .1 1 邱 望 华 . 幂 等 矩 阵 的 性 质 及 其 应 用 D. 百 度 百 科 ， 2 0 0 8 .马 鹏2 2 0 1 5 0 9 1 9 4 8 1
