1、,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,三、二元函数的全微分求积,10.3 格林公式及其应用,单连通与复连通区域、区域边界曲线的正方向,曲线积分与路径无关的含义,定理3、,格林公式、,格林公式的简单应用：,曲线积分与路径无关与闭曲线积分为零的等价性,曲线积分与路径无关的充要条件,由曲线积分确定的函数,求原函数的公式、,思考与练习：,一、格林公式,单连通与复连通区域：,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D， 则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域,单连通,复连通区域,区域边界曲线的正方向：,一、格林公式,单连通与复连通区域：,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围
2、的部分都属于D， 则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域,定理1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线围成，函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有,其中L是D的取正向的边界曲线,格林公式：,对复连通区域D，格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向,应注意的问题：,简要证明：,仅就D即是X型的又是Y型的区域情形进行证明,设D(x, y)|j1(x)yj2(x), axb则,另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有,简要证明：,仅就D即是X型的又是Y型的区域情形进行证明,设D(x, y)|j1(x)yj2(x), axb则,因此,
3、设D(x, y)|y1(y)xy2(y), cyd类似地可证,以上两个等式合并得格林公式,另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有,简要证明：,仅就D即是X型的又是Y型的区域情形进行证明,设D(x, y)|j1(x)yj2(x), axb则,格林公式的简单应用：,取Py，Qx，即得,从而闭区域D的面积为,例1 求椭圆xa cosq ，yb sinq 所围成图形的面积A,解,例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明,解 令P2xy，Qx2，,则,2x2x0,因此，由格林公式有,问： 为什么二重积分前有“”号？,为顶点的三角形闭区域,因此，由格林公式有,例3,经过原点的连续闭曲线，L的方向为
4、逆时针方向,记L 所围成的闭区域为D 当(0, 0)D时，由格林公式得,L,D,r0，作位于D内的圆周l ：x2y2r 2 ,经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向,解 记L 所围成的闭区域为D,当(0, 0)D时，选取适当小的,其中 l 的方向取逆时针方向于是,L,D,l,记L和 l 所围成的闭区域为 D1,D1,在复连通区域D1上应用格林公式得,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关：,设G是一个开区域，P(x, y)、Q(x, y)在区域G内具有一阶连续偏导数. 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2，,在G内与路径无关，否
5、则说与路径有关,等式,因为,内任意两条从点A到点B的曲线，则有,所以有以下结论：,曲线积分与路径无关与闭曲线积分为零的等价性：,定理2 设开区域G是一个单连通域，函数P(x, y)及Q(x, y)在G,关 (或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零) 的充分必要条件是等式,在G内恒成立,曲线积分与路径无关的充要条件：,条件的充分性：,应注意的问题： 定理要求，区域G是单连通区域，且函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足，那么定理的结论不能保证成立,定理2 设开区域G是一个单连通域，函数P(x, y)及Q(x, y)在G,关 (或沿G内任意闭曲线的曲线积分
6、为零) 的充分必要条件是等式,在G内恒成立,曲线积分与路径无关的充要条件：,再看10.3 例3：,我们已求得沿三条路线都有,=1,这里P=2xy，Q=x2在整个平面内恒有,，,所以曲线积分与路径无关,经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向,再看本节例4：,我们前面已求得,当(0, 0)D时，,，,所以闭曲线积分是否为零与闭曲线是否绕原点有关,在原点不满足定理条件,由曲线积分确定的函数：,若起点(x0, y0)为G内的一定点，终点(x, y)为G内的动点，则,为G内的的函数,讨论： 1、在什么情况下曲线积分可化为二重积分计算？ 2、在已知曲线积分与路径无关条件下如何计算曲线积分？,3、求曲线
7、积分所确定的函数：,并求u(x, y)的全微分与曲线积分比较你能发现什么？,提示：,=x2y0- x02y0+ x2y- x2y0= x2y - x02y0,du(x, y)=2xydx+x2dy,三、二元函数的全微分求积,定理3 设开区域G是一个单连通域，函数P(x, y)及Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数，则P(x, y)dxQ(x, y)dy 在G内为某一函数u(x, y)的全微分的充分必要条件是等式,在G内恒成立,必要性：假设存在某一函数u(x, y)，使得du P(x, y)dxQ(x, y)dy，,简要证明：,则必有,从而,充分性：,在G内与路径无关设(x0, y0)为G内一
8、定点，(x, y)为G内的动点，,因为,P(x, y)dxQ(x, y)dy是某一函数的全微分,充分性：,在G内与路径无关设(x0, y0)为G内一定点，(x, y)为G内的动点，,因为,即,求原函数的公式：,并求出一个这样的函数,的全微分,问：为什么(x0, y0)不取(0, 0)？u(x, y)是唯一的吗？,例6 验证：在整个 xOy 面内，xy2dxx2ydy 是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数,恒成立，因此在整个xOy 面内，xy2dxx2ydy是某个函数的全微分,思考与练习：,(3) 在G内P(x, y)dxQ(x, y)dy是否是某一函数u(x, y)的全微分？,(3) 在G 1内P(x, y)dxQ(x, y)dy是否是某一函数u(x, y)的全微分？,3. 在单连通区域G内，如果P(x, y)和Q(x, y)具有一阶连续偏,(1)如何计算G内的闭曲线积分？,(2)如何计算G内的非闭曲线积分？,
