1、第 1 课时 任 意 角教学过程一、 问题情境情境 1:在初中,我们已经学习过的角有哪些?它们的范围是多少? 3情境 2:在体操、跳水运动中,有“转体 720”“翻腾两周半” 这样的动作名称,“720 ”在这里也是用来表示旋转程度的一个角,那么“720”是怎样的一个角? 4二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 在初中,角的概念是如何定义的?(初中平面几何中角的定义是:从一个端点出发的两条射线所组成的几何图形.这个定义形象、直观、容易理解,但它是静态的 ,具有一定的局限性 )问题 2 体操运动中的“ 转体 720”是如何形成的?(引导学生来说明这个角可由旋转的方式得到)问题 3 你能根据上面的
2、例子 ,给角下一个新的具有动态意义的定义吗?(引导学生由特殊来归纳一般,给角下一个动态性的定义)通过师生互动,以及多媒体演示 ,学生亲手作图,给出角的动态性定义:角是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边,射线的端点称为角的顶点.问题 4 既然角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,那么有几种旋转方式呢 ?如何来区分这些不同旋转方式所得到的角呢 ?(通过旋转方式的讨论,引导学生来区别旋转所得到的角, 进而得到正角、负角、零角的概念)通过讨论,结合下图(图 1),给出正角、负角、零角的定
3、义.(图 1)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转,那么也把它看成一个角 ,叫做零角.(二) 理解概念1. 用“旋转” 定义角之后 ,角的范围大大地扩充了. 角有正负之分 (结合图 2,引导学生知道区分正、负角的关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针,还是没有转动 ); 角可以任意大; 还有零角.(图 2)2. 正角和负角是表示具有相反意义的旋转量, 它的正负规定纯系习惯,就好像与正数、负数的规定一样,零角无正负,就好像数零无正负一样.问题 5 角的概念推广后,角的范围也就扩大了,那么, 我们又该如何来研究角?为了便于研究,我们要将角
4、放在直角坐标系中 .建立直角坐标系的方法:角的顶点与原点重合, 角的始边为 x 轴的正半轴.问题 6 将角放入直角坐标系中研究后 ,角的终边会出现在哪些位置?我们该如何称呼它们?(通过讨论,得到象限角与轴线角的概念)角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角 ;如果角的终边在坐标轴上 ,称这个角为轴线角.(三) 巩固概念(1) 分别举几个第一、 二、 三、 四象限角的例子.(2) 30, 390, -330角分别是第几象限角?观察这些角,你有什么发现?(3) 终边相同的角有何特点?试写出与 30角终边相同的角的集合. 5问题 7 与 角终边相同的角的集合如何表示?S=|=k360+, kZ.注
5、意以下问题:kZ; 是任意角; 终边相同的角不一定相等 ,但是相等的角的终边一定相同;终边相同的角有无数多个 ,它们相差 360的整数倍. 6三、 数学运用【例 1】 写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中在 0360的角写出来,并分别判断它们是第几象限角.(1) 460; (2) -21; (3) 963147. (见学生用书 P1)处理建议 选例 1 的第一小题板书来示范解题的步骤 ,其他例题请几个学生板演,教师针对板演同学所出现的问题及时给予更正,适时引导学生做好总结归纳.规范板书 解 (1) S=|=460+k360, kZ. S 中在 0360范围内的角是( -1)360
6、+460=100,它是第二象限角 .(2) S= . S 中在 0360范围内的角是 1360-21=339,它是第四象限角.(3) S=|=96314+k360, kZ. S 中在 0360范围内的角是 (-2)360+96314=24314,它是第三象限角.题后反思 只需将这些角表示成 k360+(kZ)的形式,然后根据角 选择一个适当的整数 k 值,使得 k360+ 在 0360的范围内则可.变式 写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中在-360到 720间的角写出来:(1) -120; (2) 640.处理建议 先由学生讨论,然后让学生回答,互相更正,对出现的错误进行纠正讲
7、解,并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法.答案 (1) S=|=k360-120, kZ,分别令 k=0, 1, 2 得 S 中在-360到 720间的角为-120, 240, 600.(2) S=|=k360+640, kZ,分别令 k=-2, -1, 0 得 S 中在-360到 720间的角为-80 , 280, 640.【例 2】 已知 与 320角的终边相同, 判断是第几象限角. 8 (见学生用书 P2)处理建议 引导学生先写出的表达式,然后将表达式中的 k 值具体化,取几个具体的值来发现结论.规范板书 由 =k360+320 (kZ),可得=k180+160 (kZ).若 k
8、 为偶数 ,设 k=2n (nZ),则=n360+160 (nZ), 与 160角的终边相同 ,是第二象限角;若 k 为奇数 ,设 k=2n+1 (nZ),则=n360+340 (nZ), 与 340角的终边相同,是第四象限角.所以是第二或第四象限角.题后反思 (1) 解题的关键在于将 表示出来;(2) 在判断所在象限的过程中 ,蕴含着分类讨论的思想,要让学生充分领悟此方法 ;(3) 从本题中可以得到这样的一个结论:若角 可以表示为 =k180+ (kZ),则 的终边与 的终边所在的直线重合 .变式 若角 的终边落在 x 轴上,则 的集合为 ;若角 的终边落在第一、三象限的角平分线上,则 的集
9、合为 . (根据上述题后反思的结论可得到结果)答案 |=k180, kZ; |=k180+45, kZ(或|=k180 +225, kZ)*【例 3】 (教材第 10 页习题 1.1 第 11 题)如图, 写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界) .9(例 3)处理建议 此题较难,引导学生观察、分析阴影部分图形的特点.规范板书 解 (1) 方法 1:根据例 2 的变式可得|k180+45k 180+90, kZ.方法 2:|k360+45k360+90, kZ=|k180+45k180+90, kZ.(2) |k360-150k360+120, kZ.题后反思 (1)一个角按顺、逆时针旋转
10、k360 (kZ)角后与原来角终边重合,同样一个“ 区间 ”内的角 ,按顺、逆时针旋转 k360 (kZ)角后,所得“区间” 仍与原区间重叠,因此,解决此类问题,我们可以首先在 0到 360范围内找出满足条件的角,然后在加上 k360 (kZ)即可.(2) 此类问题要注意角的终边的大小关系,以及按逆时针方向旋转的角是越来越大的.如第二小题表示为|k360 +210k360+120, kZ或|k360+120k 360+210, kZ都是错误的解答.变式 若 是第四象限角,判断是第几象限角. 10处理建议 根据象限角的定义结合不等式的知识求解,最后来确定所在的象限.规范板书 因为 是第四象限角,
11、 所以 k360+270k360+360 (kZ),故 k180+135k180+180 (kZ),从而在第二或第四象限.题后反思 在学生领悟了分类讨论的思想后,在此基础之上可增讲八卦图的巧解法.四、 课堂练习1. 已知角 为- 30,将角 的终边按逆时针方向旋转三周后的角的度数为 1050.2. 钟表经过 4 小时,时针转了-120 度.提示 钟表每 12 个小时,时针顺时针转一圈, 即转了-360 ,故 4 小时转过的角度为 4=-120.3. 设 A=|=k360+45, kZ, B=|=k360+225, kZ, C=|=k180+45, kZ,D=|=k360-135, kZ, E=
12、|=k360+45或 =k360+225, kZ,则相等的角集合为 B=D, C=E. 提示 可通过分类讨论的方法或在直角坐标系中作出角用数形结合的方法来解决.4. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并将集合中适合不等式-720360的元素 写出来.(1) 60; (2) -225解 (1) 与 60角终边相同的角的集合 S=|=k360+60, kZ,当 k=0 时,=60 ;当 k=-1 时,=-300;当 k=-2 时,=-660.(2) 因为- 225=-360+135,所以与-225角终边相同的角的集合 S=|=k360+135,kZ,当 k=0 时,=135;当 k=-1 时,=-225;当 k=-2 时, =-585.五、 课堂小结1. 任意角、终边相同的角的概念.2. 与角 终边相同的角的集合为 S=|=k360+, kZ,这一结果表示角周而复始的变化规律,同时,它也是研究角之间关系的最为基础的知识.3. 本节课主要涉及了数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法.
