1、第 14 课时 平面与平面的位置关系(3)教学过程一、 问题情境回顾面面垂直的判定定理.二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 证明面面垂直的方法有哪些 ?(引导学生回答:定义;判定定理 )问题 2 判定定理逆命题: AB 是否成立? 即面面垂直 线面垂直(引导学生画图找出反例)问题 3 假设有 ,直线 l,在什么条件下,直线 l 才能垂直于平面 ?(引导学生通过思考并画图归纳猜想)通过讨论,给出两平面垂直的性质定理.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.(图 2)符号表示:已知: , =CD, AB, ABCD 于点 B.求证:A
2、B.证明 在 内过 B 作 BECD,则由题意得ABE 是 -CD- 的平面角, , ABBE,又 ABCD, AB. (二) 理解概念(1) 性质定理可作为直线与平面垂直的判定方法.(2) 符号表示: AB,即面面垂直线面垂直.(3) 若交换定理中的条件与结论,即 AB 与 AB 交换, 命题是否成立?(不成立)(三) 巩固概念若改成 AB,则成立. 即有结论 若两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.( 可作为线在面内的一个依据,给以证明)三、 数学运用【例 1】 (教材 P48 例 3)求证:如果两个平面互相垂直, 那么经过第一个平面内的一点垂直于第
3、二个平面的直线必在第一个平面内.已知: , P, Pa, a.求证:a.(图 3) (图 4)处理建议 让学生思考回答,教师规范板书.规范板书 证明 设 =c,过点 P 在平面 内作直线 bc,根据平面与平面垂直的性质定理,有 b. 经过一点有且只有一条直线与平面 垂直, 直线 a 应与直线 b 重合,即 a.(图 5)题后反思 例 1 是平面与平面垂直的性质定理的一个运用,教学时应指出,运用性质定理的关键是创设定理成立的条件.变式 已知,如图 5,直线 l, , l, =CD.求证:l.提示 在 内作 aCD,证明 la.题后反思 利用平面与平面垂直的性质定理的关键,是在一个平面内作交线的垂
4、线而得到线面垂直,从而为运用线面平行的判定定理创造条件.【例 2】 如图 6, P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点,ABCD 是菱形,且DAB= 60.侧面PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD.(图 6)(1) 若 G 为边 AD 的中点,求证:BG 平面 PAD.(2) 求证:AD PB.处理建议 先由学生讨论,尝试运用两个平面垂直的判定定理和性质定理解决问题.规范板书 证明 连结 PG, BD.(1) ABCD 是 DAB=60且边长为 a 的菱形, ABD 是正三角形 .又 G 为边 AD 的中点, BGAD, 面 PAD面 ABCD,且面 PAD面 ABCD=AD,
5、 BG平面 PAD.(2) PAD 为正三角形, PGAD,易证 AD面 PGB, ADPB.题后反思 线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.【例 3】 过点 S 引三条不共面的线段, SA=SB=SC,且ASB=ASC=60, BSC=90,(图 7)求证:平面 ABC平面 BSC.处理建议 先由学生讨论,尝试运用面面垂直的判定定理或直二面角解决问题.规范板书 证明 取 BC 的中点 M,连结 SM, AM. SA=SB=SC,且ASB=ASC= 60, SAB, SBC 是正三角形. AB=AC, AMBC, SMBC, SMA 是二面角 S-BC-A 的平面角.设 SA=SB=SC=2
6、a,则 BC=2 a, AM= a, SM= a.在AMS 中,AM= a, SM= a, SA=2a,由勾股定理得SMA 为直角, 二面角 S-BC-A 为直二面角, 即平面 ABC平面 BSC.题后反思 用面面垂直的判定定理也可以证明,即证明 SMBC, SMMA,则 SM平面 ABC,可得到结论 .变式 四面体 A-BCD 中,平面 ABC平面 BDC,且 ABAC, CDBC.求证:平面 ABD平面 ACD.(图 8)提示 由面面垂直的性质定理证 CD面 ABC,再证 AB面 ACD.题后反思 灵活运用相关定理实现线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.四、 课堂练习1. 下列命题中错
7、误的是(D).A. 如果平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面 B. 如果平面 不垂直于平面 ,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C. 如果平面 ,平面 , =l,那么 lD. 如果平面 ,那么平面 内所有直线都垂直于平面 2. 自正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA平面 ABCD,若 AB=PA,则平面 PAB 与平面 PAD 所成二面角的度数是 90 . 提示 BAD 为二面角 B-PA-D 的平面角.3. 判断下列命题是否正确,并说明理由:(1) 若 , ,则 .(2) 若 , ,则 .(3) 若 1, 1, , 则 11.解答 (1) 错误.( 2) 错误.(3) 错误.4. 如图,已知 DEl, BCDE, ACDE.求证:ABl.(第 4 题)提示 证明 DE平面 ABC.五、 课堂小结1. 二面角的求法.2. 两个平面垂直的判定定理及性质定理的综合运用.
