1、第 2 讲 直线与圆最新考纲1理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论2掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理.知 识 梳 理1圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论：(i)推论 1：同弧或等弧 所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(ii)推论 2：半圆( 或直径)所对的圆周角是 直角；90的圆周角所对的弦是直径(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数2弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角3圆的切线的性质及
2、判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论：推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4与圆有关的比例线段定理名称 基本图形 条件 结论 应用相交弦定理弦 AB、CD 相交于圆内点 P(1)PAPBPCPD(2)ACPBDP(1)在 PA、PB、PC 、PD 四线段中知三求一(2)求弦长及角割线定理PAB、 PCD 是 O 的割线(1)PAPBPCPD(2)PACPDB(1)求线段 PA、PB、PC 、PD(2)应用相似求 AC、BD切割线定理PA 切O 于 A，PBC 是O的割线(1)PA2PBPC(2)PAB PCA(1)已
3、知 PA、PB、PC 知二可求一(2)求解 AB、AC切线长定理PA、PB 是O 的切线 (1)PAPB(2)OPAOPB(1)证线段相等，已知 PA 求PB(2)求角5.圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理定理 1：圆内接四边形的对角互补定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆诊 断 自 测1.如图，ABC 中，C90，AB10，AC6，以 AC 为直径的圆与斜边交于点 P，则 BP 长为_ 解析
4、 连接 CP.由推论 2 知CPA90，即 CP AB，由射影定理知，AC2AP AB.AP3.6，BPABAP 6.4.答案 6.42.如图，AB、AC 是O 的两条切线，切点分别为 B、C，D 是优弧 上的点，已知BAC80， 那么BDC_.解析 连接 OB、OC，则 OBAB，OCAC，BOC180BAC100，BDC BOC50.12答案 503.如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交 于点 P.若PB1，PD3，则 的值为 _BCAD解析 ABCD 为圆内接四边形，PBCADP，又PP ，BCPDAP ， .BCAD PBPD 13答案 134.
5、(2014广州调研)如图，四边形 ABCD 内接于O，BC 是直径，MN 与O 相切，切点为 A，MAB35 ，则D_.解析 连接 BD，由题意知，ADBMAB 35，BDC90 ，故ADCADB BDC 125.答案 1255如图所示，过点 P 的直线与O 相交于 A，B 两点若PA1，AB2，PO3，则 O 的半径 r_.解析 设O 的半径为 r(r0)，PA1，AB2，PB PAAB3.延长 PO 交O 于点 C，则 PCPOr3r.设 PO 交O 于点 D，则 PD3r.由圆的割线定理知，PA PBPDPC，13(3 r)(3r )，则 r .6答案 6考点一 圆周角、弦切角及圆的切线
6、问题【例 1】 如图所示，O 的直径为 6，AB 为O 的直径，C 为圆周上一点，BC3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线 AD，AD 分别与直线 l、圆交于D、E.(1)求DAC 的度数；(2)求线段 AE 的长解 (1)由已知 ADC 是直角三角形，易知CAB30 ，由于直线 l 与O 相切，由弦切角定理知BCF30，由DCAACBBCF180，又ACB90，知DCA60 ，故在 RtADC 中，DAC30.(1)(2)法一 连接 BE，如图(1)所示，EAB60 CBA，则 Rt ABERtBAC，所以 AEBC3.法二 连接 EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，
7、DCECAE30，又DCA60 ，故ECA30，(2)又因为CAB30，故ECACAB，从而 ECAO，由 OCl ，ADl，可得 OCAE，故四边形 AOCE 是平行四边形，又因为 OAOC，故四边形 AOCE 是菱形，故 AEAO3.规律方法 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦 (弧 )两端画圆周角或作弦切角【训练 1】 如图，ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.(1)证明： ABE ADC；(2)若ABC 的面积
8、 S ADAE，求BAC 的大小12(1)证明 由已知条件，可得BAE CAD.因为AEB 与ACD 是同弧所对的圆周角所以AEBACD. 故ABE ADC.(2)解 因为 ABEADC，所以 ，即 ABACADAEABAD AEAC又 S ABACsinBAC ，且 S ADAE，12 12故 ABACsinBAC ADAE，则 sin BAC1.又BAC 为ABC 的内角，所以BAC90.考点二 与圆有关的比例线段【例 2】 如图，PA 切O 于点 A，割线 PBC 交O 于点 B，C，APC 的角平分线分别与 AB、AC 相交于点 D、E，求证：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.证明
9、 (1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因 PE 是APC 的角平分线，故EPCAPD .又 PA 是O 的切线，故 CPAB.所以AED ADE .故 ADAE.(2)Error! PCEPAD ；ECAD PCPAError!PAEPBD .AEDB PAPB又 PA 是切线，PBC 是割线PA 2PBPC .PAPB PCPA故 ，又 ADAE ，故 AD2DBEC.ECAD AEDB规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑
10、相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理【训练 2】 (2013天津卷)如图，ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦，且BDAC.过点 A 作圆的切线与 DB 的延长线交于点 E，AD 与 BC 交于点 F.若ABAC，AE6，BD5，则线段 CF 的长为_解析 由切割线定理得 AE2EB ED，解得 EB4.因为 ABAC，所以ABCACBADB .由弦切角定理得EAB EDA ，所以EABABC，则 AEBC，因为 ACBD，所以四边形 AEBC 是平行四边形所以 AEBC6，ACEB4，又由题意可得CAFCBA，所以 ，CF .CACB CFCA
11、 CA2CB 83答案 83考点三 圆内接四边形的判定及应用【例 3】 (2014银川一中月考)如图，已知 AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于 B、C 两点，圆心 O 在PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点(1)证明：A、P、O、M 四点共圆；(2)求OAMAPM 的大小(1)证明 连接 OP，OM，因为 AP 与O 相切于点 P，所以 OPAP.因为 M 是O 的弦 BC 的中点，所以 OMBC，于是OPA OMA 180.由圆心 O 在PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角互补，所以 A、P 、O 、M 四点共圆(2)解 由(1)得 A、P 、O、M
12、四点共圆，所以OAM OPM ，由(1)得 OPAP ，因为圆心 O 在PAC 的内部，所以OPM APM 90，所以OAM APM90.规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆； (2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆【训练 3】 如图，已知ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于点H，ABC60，F 在 AC 上，且 AEAF.求证：(1)B、D、H、E 四点共圆；(2)CE 平分 DEF.证明 (1)在 ABC 中，ABC60，BACBCA120.AD， CE 分别是ABC
13、 的角平分线，HACHCA60 ，AHC120.EHD AHC120.EBD EHD180.B，D ，H，E 四点共圆(2)连接 BH，则 BH 为ABC 的平分线，EBH HBD30.由(1)知 B，D，H，E 四点共圆，CEDHBD30，HDE EBH30.HED HDE 30.AEAF，AD 平分BAC，EFAD.又EHA HDECED60，CEF30.CE 平分DEF.关于圆的综合应用【典例】 如图所示，已知O 1 和O 2 相交于 A，B 两点，过 A 点作O 1 的切线交O 2 于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交O 1，O 2 于点 D，E ，DE与 AC 相交于点 P.(1
14、)求证：ADEC；(2)若 AD 是O 2 的切线，且 PA6，PC2，BD 9，求 AD 的长审题视点 (1)连接 AB，在O 1 中使用弦切角定理，在O 2 中使用圆周角定理，即可证明DE；(2)根据切割线定理，只要求出 BE 的长度即可，在O 2 中根据相交弦定理可得 BPPE，根据(1)中ADPCEP，又可得BP，PE 的一个方程，解方程组求出 BP，PE 的长度即可(1)证明 连接 AB，如图所示AC 是O 1 的切线，BACD.又BACE.DE.AD EC .(2)解 设 BPx，PEy，PA6，PC2，xy12.根据(1)，可得 ADP CEP， ，即 ，DPEP APCP 9
15、xy 62由，可得Error!或Error!(负值舍去)DE 9xy 16.AD 是 O 2 的切线，AD 2DB DE916.AD 12.反思感悟 在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似，本题中使用三角形的相似把O 2 中两条待求的线段联系起来，发挥了相似三角形的桥梁作用在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦，如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理，在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向【自主体验】如图，梯形 ABCD 内接于O，ADBC，过 B 引O 的切线分别交 DA、CA的延长线于 E、F.(1)求证：AB 2AEBC；(2)已知 BC 8，CD 5，AF6，求 EF 的长(1)证明 BE 切O 于 B，ABE ACB.
