1、第 11 课时 抛物线的几何性质(2)教学过程一、 数学运用【例 1】 若点 A 的坐标为(3,2 ),F 为抛物线 y2=2x 的焦点, P 是抛物线上一动点,求当PA+PF 取得最小值时点 P 的坐标 .1 (见学生用书 P35)处理建议 显然,无法直接求 PA+PF 的最小值,问题需要转化.引导学生先画图、分析、讨论,再借助于抛物线的定义将 PF 转化为 PQ,最终由“点到直线的最短距离是垂线段 ”解决问题.规范板书 解 如图,过点 P 向准线作垂线, 垂足为 Q,则由抛物线的定义可知 PF=PQ,(例 1)所以 PA+PF=PA+PQ.于是,问题转化为求当 PA+PQ 取得最小值时点
2、P 的坐标,即在抛物线上求一点 P,使其到点 A 和准线的距离之和最小.由点到直线距离的最小性可知,其最小值是过点 A 向准线 x=-作垂线( 垂足为 B)时垂线段AB 的长度.所以当 PA+PF 最小时,点 P 的纵坐标为 2,从而得点 P 的坐标是(2,2 ).题后反思 借助于抛物线的定义将 PF 等量转化为 PQ 是求解本题的关键,这样的转化在抛物线问题中随处可见,需掌握.变式 已知 P 是抛物线 y2=4x 上一个动点,F 是其焦点.若点 B 的坐标为(3,2 ),求 PB+PF 的最小值.规范板书 解 如图,过点 P 作 PC 垂直于准线, 垂足为 C,则由抛物线的定义可知PC=PF
3、,所以 PB+PF=PB+PC.(变式)过 B 作 BQ 垂直于准线 ,垂足为 Q,则由点到直线的最短距离是垂线段知,PB+PC BQ=4.故其最小值为 4.(例 2)【例 2】 求抛物线 y2=4x 上一动点 P 到点 A(-1,1)的距离与它到直线 x=-1 的距离之和的最小值. (见学生用书 P36)处理建议 先利用抛物线的定义将抛物线上点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,再根据图形求解.规范板书 解 设动点 P 到直线 x=-1 的距离为 d,抛物线的焦点为 F,则由抛物线的定义知 PF=d,F(1,0).于是有 PA+d=PA+PFAF= = ,当且仅当 P,A,F 三点共线时“
4、=”成立,因此距离之和的最小值为 .题后反思 先利用定义将距离进行转化,再利用不等式 PA+PFAF 解决最值问题.【例 3】 在抛物线 y2=2x 上求一点 P,使其到直线 l:x+y+4=0 的距离最小,并求最小距离.2 (见学生用书 P36)处理建议 先引导学生画图、分析,再对比讨论各种解法.规范板书 设 P(x,y)为抛物线 y2=2x 上任意一点,点 P 到 l 的距离为 d,则 d= .解法一 令 t=x+y,设直线 x+y=t 与抛物线 y2=2x 有公共点.由 得 y2+2y-2t=0.令 0,可得 t-,所以 x+y+4,故 d = ,即 dmin= .当且仅当 x+y=-时
5、,d 取最小值.由 解得即当点 P 的坐标为 时,d 有最小值 .解法二 由平面区域知识可得 x+y+40,故 d= .又 x= ,故 d= = = .当 y=-1 时,x= .即当点 P 的坐标为 时,d 有最小值 .解法三 设直线 l:x+y+m=0 与抛物线相切 ,则平行线 l与 l 间的距离即为抛物线上的点到直线 l 的最小距离.由 得 y2+2y+2m=0,所以 =4-8m=0,得 m=.此时直线 l的方程为 x+y+=0,l 与 l的距离为 d= = .由 得即当点 P 的坐标为 时,d 有最小值 .题后反思 解法一,通过对 x,y 的二元一次代数式的换元 ,将其转化为直线,进而将
6、条件转化为“保证直线与抛物线有公共点”,降低了思维难度;解法二,充分利用抛物线方程的结构特点,对点到直线的距离公式进行消元,将其转化为一元函数问题;解法三,利用几何图形的直观性,借助于切线解决问题.上述三种方法在处理圆锥曲线上动点到定直线距离的最小值问题时,应用广泛,需认真体会、熟练掌握.*【例 4】 定长为 3 的线段 AB 的端点 A,B 在抛物线 y2=x 上移动,求线段 AB 的中点 M 横坐标的最小值,并求出此时点 M 的坐标. 3处理建议 本题可引导学生回归抛物线定义,借助定义转化问题.规范板书 解 如图,设 F 是抛物线 y2=x 的焦点,连结 AF,BF,过点 A,B,M 分别
7、作AC,BD,MN 垂直于准线 ,垂足分别为 C,D,N,则 MN=(AC+BD).(例 4)根据抛物线定义得 AC=AF,BD=BF,所以 MN=(AF+BF).设点 M 的横坐标为 x,则 MN=x+,所以 x=MN-=.等号成立的条件是弦 AB 过点 F,由于|AB|2 p=1,所以 AB 过焦点是可能的.此时点 M 到 y 轴的最短距离是, 即 AB 的中点 M 的横坐标为.当 F 在 AB 上时,设 A,B 的纵坐标分别为 y1,y2,则 y1y2=-p2=-,从而(y 1+y2)2= + +2y1y2=2-=2,即 y1+y2= ,所以此时 AB 的中点 M 的纵坐标为 .所以点
8、M 的坐标为 时 ,点 M 到 y 轴的距离最小, 最小值为.题后反思 (1) 在直角坐标系中,常将点的坐标与相应线段的长(或距离)相互转化.如本题,将点 M 的横坐标转化为点 M 到 y 轴的距离是解本题的关键.(2)本题利用抛物线定义构造直角梯形,将该梯形的上、下底转化为抛物线上的点 A,B到焦点 F 的距离 ,从而利用几何不等式(三角形中两边之和大于第三边)研究其最小值.二、 课堂练习1.已知抛物线 y2=6x,定点 A(2,3),F 为焦点,P 为抛物线上一动点, 则 PF+PA 的最小值为 . 提示 准线方程为 x=-,最小值为.2.已知 O 是坐标原点 ,F 是抛物线 y2=2px
9、(p0)的焦点, A 是抛物线上一点, 与 x 轴正方向的夹角为 60,则| |= p .提示 如图,设 FA=m,则 m=2(m-p),即 m=2p,所以 CF= p,故 OA= = =p.(第 2 题)3.已知 A(0,-4),B(-3,2),抛物线 y2=8x 上的点到直线 AB 的最短距离为 . 提示 直线 AB:2x+y+4=0,设 2x+y+t=0 与抛物线 y2=8x 相切 ,消去 x 得 y2+4y+4t=0,故 =0,得t=1,所以 d= = .4.已知点 P(4,2)在抛物线 y2=4x 的内部, F 是抛物线的焦点,在抛物线上求一点 M,使 MP+MF 最小,并求此最小值.解 如图,过 M 作准线 l 的垂线 MA,垂足为 A,则由抛物线的定义有 MF=MA,所以MP+MF=MP+MA.(第 4 题)显然当 P,M,A 三点共线时,MP+MF 最小.此时,点 M 的坐标为(1,2 ),最小值为 5.三、 课堂小结从代数或几何角度来研究抛物线的相关最值问题.
