1、2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,1,10.2 平面间谐波方程,第十章 波动和声 Waves and Sound,10.2.1 平面简谐波方程 10.2.2 平面简谐波方程的多种形式,力学(Mechanics),2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,2,for a particle,10.2.1 平面间谐波方程,以横波为例建立 y = f (x,t),简谐波简谐振动在媒质中的传播.,数学描述 y = f (x,t),1. 简谐波的运动学方程,仅讨论:无损耗、无限大媒介、无反射波介入.,设简谐波沿正 x 方向传播 ,行波相位逐点传波的波
2、.,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,3,for a particle,10.2.1 平面间谐波方程,设 t 时刻O点振动表达式：,求同一时刻任意点x的振动.,角频率（圆频率）.,其中 y 是质点在y方向上的位移，A振幅,O点振动传到 x 点需用时,相位落后,x点的运动方程,(10.2.1),2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,4,for a particle,10.2.1 平面间谐波方程,若波向负x方向传播,P点运动传到 O 点需用时：,P点的相位超前于O点相位：,平面谐波一般表达式,负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波.,
3、2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,5,for a particle,10.2.1 平面间谐波方程,2. 讨论,位移 y 既是 t 的函数，又是 x 的函数,(1)当 x 一定时，令 x = x0,表达式变成 y - t 关系，是 x0 点的振动方程.,x0相位比 x=0 点落后,所以式(10.2.1)反映了介质中各点的运动规律.,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,6,for a particle,10.2.1 平面间谐波方程,(2) t一定（统观波线上所有质点）,这时, y 仅为 x 的周期函数.当 t = t0 时,表达式变成
4、y x 关系，表达了 t = t0 时刻空间各点的位移分布波形图.,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,7,for a particle,10.2.1 平面间谐波方程,(3) x、t 均变,具有波动意义,即: 各质点各自振动 ;, 波形向前传播.,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,8,for a particle,10.2.1 平面间谐波方程,如图：,因振动频率不变，所以这两点相位相同.即,整理得 ：,v 就是波形向前传播的速度，也是相位的传播速度，所以也称v为相速.,令 波数,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2
5、平面间谐波,9,for a particle,10.2.1 平面间谐波方程,波长 波速与频率之间的关系为,波在空间的周期性,波在时间上的周期性,通过波速v 联系起来,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,10,10.2 平面间谐波方程,第十章 波动和声 Waves and Sound,10.2.1 平面简谐波方程 10.2.2 平面简谐波方程的多种形式,力学(Mechanics),2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,11,for a particle,10.2.2 平面简谐波方程的多种形式,利用,因此下述几式等价：,10.2.2平面简谐
6、波方程的多种形式,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,12,for a particle,10.2.2 平面简谐波方程的多种形式,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,13,for a particle,10.2.2 平面简谐波方程的多种形式,例题1 平面简谐波方程为,如何将此方程化成为最简形式.,选择计时起点瞬时相位为零的一个体元为新的坐标原点.对新原点平衡位置为x 的某体元在t时刻的相位为,解 移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初始 相位为零.,（1）移动坐标原点,此体元对旧坐标原点其平衡位置坐标为x，在t 时刻的相位为,2006
7、年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,14,for a particle,10.2.2 平面简谐波方程的多种形式,表明坐标原点应沿x轴正向移动,由此得,所以,（2）改变计时起点,由此可得,表明计时起点应向前移六分之一周期.,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,15,for a particle,10.2.2 平面简谐波方程的多种形式,例题2 有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它在t = 0时刻的波形如图所示,其波速为u =600 m/s.试写出波动方程.,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,16,for a particle,10.2.2 平面简谐波方程的多种形式,原点处质点的振动方程为,波动方程为,解,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,17,for a particle,10.2.2 平面简谐波方程的多种形式,2006年10月12日 8:00-9:50,10.2 平面间谐波,18,for a particle,10.2.2 平面简谐波方程的多种形式,
