1、定积分的近似计算,一、问题的背景和目的 二、问题分析 三、例题,一、问题的背景和目的,定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼兹公式，但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。,本讲主要介绍定积分的三种近似计算算法：矩形法、复化梯形法和辛普森公式，及其误差分析。,二、问题的分析,我们知道定积分，不论在实际问题中的意义是什么，在数值上都等于(设f(x)0)，直线与x轴所围成的曲边梯形的面积。因此，只要近似地算出相应的曲边梯形的面积，就得到了所给定积分的近似值
2、。近似计算方法的基本思想还是分割、取点、求和这三个步骤。,定积分的定义定积分的近似,基本思路,分割：为计算方便，一般采取等分法。,把区间a bn等分，即用分点a x0， x1， x2， ，xn1， xnb 把区间a b分成n个长度相等的小区间，每个小区间的长为,取点：点 可以任意选取，通常的取法有： 左端点、右端点，就是左矩形法和右矩形法。,左矩形法,左矩形法,在每个小区间xi1 xi上，取x i= xi1，从而对于任一确定的自然数，有 这种方法称为左矩形法，上述公式称为左矩形公式。,右矩形法,右矩形法,如果取x i= xi，则可得近似公式这种方法称为右矩形法，上述公式称为右矩形公式。,梯形法
3、,梯形法,这种求定积分近似值的方法为复化梯形法，此公式称为复化梯形公式,辛普森公式,辛普森公式,把区间a b2n等分，每个小区间的长为,过三点可以确定一条抛物线,先计算-h,h上，以过 三点的抛物线 为曲线的曲边梯形的面积S ：,辛普森公式,同理可以得到区间 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积：,辛普森公式,特别的，当n=1时,上述公式称为辛普森公式或抛物线公式。,误差估计,当n=1时，左矩形法和右矩形法的余项的绝对值为两个矩形公式均具有一次代数精度。,误差估计,复化梯形法的误差估计为,误差估计,辛普森公式的误差估计为,三、例题,试用复化梯形公式计算积分 将区间0，11000等分，并估计误差。,解：在Matlab中编写程序： function t=ftrapz(a,b,n) h=(b-a)/n;t=h*(f(a)+f(b)/2;for i=1:1:(n-1)t=t+h*f(a+h*i); end I=t 及 function f=f(x) if x=0 f=1;else f=sin(x)/x; end 应用复化梯形法求得 .,要估计误差，要求 而 得复合梯化公式误差,
