1、第十章 微分方程习题课（一）,一阶微分方程,一、基本概念,1 一阶微分方程的定义,或,2一阶微分方程的解、通解,一阶微分方程的通解：含有一个任意常数的解,3一阶微分方程的特解,4一阶微分方程的类型,（1）可分离变量方程：,（2）齐次方程：,（3）一阶线性微分方程：,初始条件： .,特解：初值问题 的解。,（4）伯努利方程：,二、解题方法流程图,求一阶微分方程通解的关键是先判定方程的类型，而判定方程类型的一般方法和思路是：,（1）先用观察法判定是否为可分离变量方程，若是分 离变量，两边积分即可得到其通解，否则转入下一步。,（5）全微分方程： , 满足,(齐次方程),(一阶线性方程),(贝努利方程
2、),若 , 继续判别。,（2）判定是否为全微分方程。若 , 则为全微分方程，其通解为：,（3）解出 的解析式：判别是否为下面类型的方程：,对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如 果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下：,A.熟悉常用的微分公式；,B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程；,一阶微分方程的解题方法流程图如下。,C变换自变量和因变量（即有时把 看成自变量，而 考虑 的方程类型）。,求 通解,一阶线性方程,通解为,贝努利方程,其它一般 方程,令,一阶线性方程,变量代换,齐次方程,令,可分离变量,全微分 方程,可分离变量方程,在G内取
3、,通解,隐式通解,解题方法流程图,三、典型例题,解：分离变量为,积分得,分析：用观察法，可见它是可分离变量方程。,【例1】 求解微分方程 。,因此，所求通解为 .,分析：将方程变形，得,此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。,【例2】求微分方程 的通解。,解：令 ,于是 ,上式可化为,分离变量,积分得,所以,故原方程的通解为,即 , 为可分离变量的方程,分析：此题为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。,【例3】求微分方程 的特解。,解法1：对应齐次方程为,分离变量解得,代入原方程得,由常数变易法，令 ，则,解得,所以原方程通解为,特解为,将 代入得,特解为,将 代入得,解法2：因为
4、， ，利用求解公式得,【例4】求微分方程 的通解.,分析：按框图所叙述的方法和思路，由于所给方程不是常见的已知类型的方程，即按通常的想法将 当作自变量，则方程为非线性方程 。,但若将 当作因变量，即将方程改写为,此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。,解：因为,由公式得原方程的通解为,所以 为一阶线性微分方程,分析： 首先可以看出，它不是可分离变量方程；又,故按框图中的方法求解。,【例5】求解微分方程 。,显然 ，它也不是全微分方程。于是继续判别，,解出 ，得 。这是贝努利方程，,为一阶线性方程。,由公式得,所以，原方程的通解为,解：令 , 代入方程可化为,分析：可将方程变形为
5、 ，此方程为齐次方程；,所以按框图中的方法分别求解。,也可将方程变形为 ，此方程又为贝努利方程，,令 ，代入原方程得,解得 ，即,解法1：将原方程整理成 ,即标准的齐次方程，,【例6】求方程 满足 的特解。,代入 有 ，原方程特解是,数的一阶线性方程，解之得,即,解法2：整理原方程得 ，为贝努利方程。,令 代入原方程得 ，是以 为未知,代入 有 ，原方程特解是,故此方程为全微分方程，用框图中的方法求解。,【例7】求微分方程 的通解。,分析：原方程可化为 ，这里,由于,解：因为 ，故此方程为全微分方程。,取 ，则,所以原方程的通解为 。,分析：此题首先可以分离变量，是可分离变量的方程；,【例8】
6、求方程 的通解。,两边积分,得通解,解法1：原方程可分离变量，即,解法2：由 知原方程是全微分方程，,取 ，则,则原方程的通解为,最后得通解为,然后直接凑微分得,解法3： 将原方程整理成 的形式，,，用框图中的最后一种方法求解。,分析：此方程为一阶微分方程，依次判别这个方程不是,可分离变量的、齐次的、一阶线性的、伯努利的和全微,分方程，只能能用变量代换，将其化为已知类型。根据,【例9】求 的通解。,题目的特点，右侧函数为 的函数，所以令,解：令 ，则,代入原方程中，得 ，,为可分离变量得方程。,分离变量得,积分得,即,将 代回，得通解,分析：原方程为非标准型方程，把它可化为,【例10】求微分方程 的通解。,积分得,此方程为可分离变量的方程。,分离变量,令 ，则方程变为,解：因为,用凑微分法，可变形为,故原方程的通解为 。,分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分上 限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。,即,解：等式两边对 求导得,为一阶线性非齐次微分方程,且 ，解得,将 代入，得,解：因为曲线积分 与路径无关，所以，根据,曲线积分与路径无关的条件 ，得,即,亦即,可解得此一阶常系数非齐次线性微分方程的通解为,再由 ，可得特解,
