1、数列极限是整个数学分析最重要的基础,1 数列极限的概念,一、数列的定义,五、再论 “ - N ”说法,四、按定义验证极限,三、收敛数列的定义,备知识.,为今后学习级数理论提供了极为丰富的准,之一, 它不仅与函数极限密切相关，而且,返回,二、一个经典的例子,六、一些例子,为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,或简记为 an. 这里 an,所以我们也将数列写成,称为数列 an 的通项.,一、数列的定义,二、一个经典的例子,样的过程可以无限制地进行下去.,我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：,这样就得到一个数列:,古代哲学家庄周所著的庄子 天下篇引用了,一句话: “一尺之棰,
2、日取其半, 万世不竭”. 它的,意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这,大而无限趋于 0 .,三、收敛数列的定义,下面给出严格的数学定义.,任意的正数 ,总存在正整数 N, 使当 n N 时,能无限地接近某个常数 a , 则称 收敛于 a .,记作,若 不收敛, 则称 为发散数列.,注 定义1 这种陈述方式，俗称为 “ - N ”说法.,四、按定义验证极限,以说明, 希望大家对 “ - N ”说法能有正确的认识.,所以,为了加深对数列收敛定义的了解, 下面结合例题加,例2 用定义验证,这就证明了,证,只要 即可.,例3 用定义验证,分析,证 对于任意的正数 , 取,即得,注意 解这
3、个不等式是在 的条件下进行的.,所以,因此证得,故对于任意正数,五、再论 “ - N ”说法,从定义及上面的例题我们可以看出:,此外，又因 是任意正数, 所以,项与定数 a 的接近程度. 显然正数 愈小,表示 a n,与 a 接近的程度愈高； 是任意的, 这就表示 an,与 a 可以任意接近.要注意， 一旦给出，在接下,来计算 N 的过程中，它暂时看作是确定不变的.,定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立.,均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式,2. N 的相对性:从定义1 中又可看出, 随着 的取值,不同, N 当然也会不同. 但这并不意味着 N 是由,再有, 我们还可以限定 小于
4、某一个正数 ( 比如, 1 ). 事实上, 对 0 1 若能验证 an 满足,则当 n N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有, 惟一确定. 例如, 当 n N 时, 有,求 N 的 “ 最佳性 ” .,也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追,3. 极限的几何意义,示当 n N 时,所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 之内，,而在 之外, an 至多只有有限项( N 项 ).,反过来, 如果对于任意正数 , 落在 之外至,多只有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表, an 的有限多项, 则称数列 an 收敛于a . 这样, an 不以 a 为极限的定义也可陈述为
5、:存在,之外含有 an 中的无限多,不以任何实数 a 为极限.,以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是:,项.,注 an 无极限（即发散）的等价定义为: an ,以下定理显然成立,请读者自证.,4.无穷小数列和无穷大数列,六、一些例子,证 对于任意实数 a, 取,之外有无限多,例6 证明,从而,证 我们用两种方法来证明.,例7 证明,1) 任给正数,有项都能使不等式 成立即可.,注 这里我们将 N 取为正数, 而非正整数. 实际上,N 只是表示某个时刻, 保证从这一时刻以后的所,没有定义.,可知只需取,注 这里假定 0 1 是必要的, 否则 arcsin 便,复习思考题,1. 极限定义中的 “ ” 是否可以写成 “,” ? 为什么?,请依据极限定义证明:,
