1、第 4 课时 瞬时变化率导数(1)教学过程一、 数学运用【例 1】 已知 f(x)= ,求曲线 y=f(x)在 x=处的切线斜率. (见学生用书 P47)处理建议 让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线 y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:求差商 f(x0+x)-f(x0);当 x(x 可正,也可负)无限趋近于 0时, 趋近于某个常数 k;曲线 y=f(x)上一点 P(x0,y0)处的切线斜率为 k.规范板书 解 = =- .当 x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 - ,所以曲线在 x=处的切线斜率是- .题后反思 本题应注意分子有理化思想的应用,再用逼近思想处理.变
2、式 已知曲线 y=2x2 上一点 A(1,2),求点 A 处的切线的斜率与切线方程.规范板书 解 设 A(1,2),B(1+x,2(1+x)2),则割线 AB 的斜率为 kAB= =4+2x,当 x 无限趋近于 0 时,k AB 无限趋近于常数 4,从而曲线 y=f(x)在点 A(1,2)处的切线斜率为 4,所求切线方程为 4x-y-2=0.【例 2】 物体自由落体的运动方程为 S=gt2,其中位移 S 的单位为 m,时间 t 的单位为s,g=9.8 m/s2,求该物体在 t=3 时的瞬时速度.(见学生用书 P48)处理建议 瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.规范板书 解 取一小段时间3 ,3
3、+t,位移改变量 S=g(3+t)2-g32=(6+t)t,平均速度 = =g(6+t),当 t0 时,g (6+t)3g=29.4,即瞬时速度 v=29.4 m/s.题后反思 如何求 t=3 时的瞬时加速度呢?变式 设一物体在时间 t(单位 s)内所经过的路程为 S(单位 m),并且 S=4t2+2t-3,试求物体在运动开始及第 5s 末的瞬时速度 .规范板书 解 在 t 到 t+t 的时间内,物体的平均速度为 = = =8t+2+4t,当 t0 时, 8t+2,所以,时刻 ts 的瞬时速度为 8t+2,由题意,物体在第 5s 末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为 2 m/s.【
4、例 3】 如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行,求切点坐标与切线方程.(见学生用书 P48)处理建议 曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.规范板书 解 设切点坐标为(x,x 3+x-10).= =3x2+1+3xx+(x)2,当 x0 时, 3x2+1+3xx+(x)23x2+1.由题意,3 x2+1=4,得x=1 或- 1.所以切点坐标为( 1,-8),此时切线方程为 4x-y-12=0;或切点坐标为(-1, -12),此时切线方程为 4x-y-8=0.变式 已知曲线 y=x2 上过某一点的切线满足下列条件,求此点坐标.(1) 平行于直线 y=4x-
5、5;(2) 垂直于直线 2x-6y+5=0;(3) 与 x 轴成 135倾斜角.处理建议 利用导数的概念及两直线的位置关系.规范板书 解 设 P(x0,y0) 是满足条件的点.= =2x0+x,当 x0 时,2 x0+x2x0.(1) 因为切线与直线 y=4x-5 平行 ,所以 2x0=4,得 x0=2,y0=4,即 P(2,4).(2) 因为切线与直线 2x-6y+5=0 垂直,所以 2x0=-1,得 x0=-,y0=,即 P .(3) 因为切线与 x 轴成 135的倾斜角,所以 k=-1,则 2x0=-1,得 x0=-,y0=,即 P -, .*【例 4】 设函数 f(x)=x3-3ax2
6、+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点( 1,-11),求 a,b 的值.处理建议 利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程求解.规范板书 解 利用导数的定义可得 f(x)=3x2-6ax+3b,由于函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点( 1,-11),所以 f(1)=-11,f(1)=-12,解得 a=1,b=-3.变式 4 已知 f(x)=ax4+bx2+c 的图象过点 (0,1),且在 x=1 处的切线方程是 y=x-2,求 a,b,c.处理建议 利用导数的几何意义:函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率.规范板书 解 由
7、题意, 得 .二、 课堂练习1. 如图,直线 l 是过曲线上 P, Q 两点的直线, 当点 Q 沿曲线向点 P 靠近时, 直线 l 的斜率 变大 .(填 “变大”或“ 变小”) (第 1 题)2. 已知曲线 y=x3 上过点(2,8 )的切线方程为 12x-ay-16=0,则实数 a 的值为 1 . 提示 将点(2,8)代入切线方程可得 a=1.3. 质点沿 x 轴运动,设距离为 x(单位: m),时间为 t(单位: s),运动方程为 x=10+5t2,则当t0tt0+t 时,质点的平均速度为 10t0+5t m/s;当 t=t0 时,质点的瞬时速度为 10t0 m/s;当t0tt0+t 时,质点的平均加速度为 10 m/s2;当 t=t0 时,质点的瞬时加速度为 10 m/s2.提示 当 t0tt0+t 时, = =10t0+5t;当 t=t0 时,质点的瞬时速度为 10t0m/s;当 t0tt0+t 时,质点的平均加速度为 =10 m/s2; 当 t=t0 时,质点的瞬时加速度为 10m/s2.三、 课堂小结1. 求曲线上一点处的切线的方法.2. 运动物体的瞬时速度和瞬时加速度, 学会用运动学的观点理解和解决实际问题.3. 导数的定义及几何意义.
