1、第三节 微分,3.1、微分的概念 3.2、微分的计算 3.3、微分的应用,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,二、微分的定义,定义,(微分的实质),三、可微与可导的关系,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,四、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),导数与微分的区别:,五、微分的计算,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例2,解,例3,解,六、微分形式的不变
2、性,结论：,微分形式的不变性,例4,解,求dy,简便隐函数求微分。,七、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,思考题,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,3.3微分的应用,或者是,函数值的近似计算,切线方程为：,例1,解,要求：1）2）点比较特殊，方便计算。,令：,则：,因此：,常用近似公式,证明,例2,解,2、误差估计,绝对误差：,相对误差：,如果：,那么由此产生的绝对误差为：,相对误差：,例3,解,
