1、第四章4- 14-2 互感耦合电路由电磁感应定律可知，只要穿过线圈的磁力线（磁通）发生变化，则在线圈中就会感应出电动势。一个线圈由于其自身电流变化会引起交链线圈的磁通变化，从而在线圈中感应出自感电动势。如果电路中有两个非常靠近的线圈，当一个线圈中通过电流，此电流产生的磁力线不但穿过该线圈本身，同时也会有部分磁力线穿过邻近的另一个线圈。这样，当电流变化时，邻近线圈中的磁力线也随之发生变化，从而在线圈中产生感应电动势。这种由于一个线圈的电流变化，通过磁通耦合在另一线圈中产生感应电动势的现象称为互感现象。互感现象在工程实践中是非常广泛的。由 4-2-1 示出了两个位置靠近的线圈 1 和线圈 2，它们
2、的匝数分别为 N1 和 N2。当线圈 1通以电流 i1 时，在线圈 1 中产生磁通 ，其方向符合右手螺旋定则。线圈 1 的自感为11NLii称为自感磁链。1由 i1 产生的部分磁通 同时也穿越线圈 2，称为线圈 1 对线圈 2 的互感磁通，此时线21圈 2 中的互感磁链为 。类似于自感磁链的情况，互感磁链 与产生它的电流 i1N 1之间存在着对应关系。如果两个线圈附近不存在铁磁介质时，互感磁链与电流之间基本成正比关系。这种对应关系可用一个互感系数来描述，即有（4-2-1）21Mi互感系数 简称为互感，其单位为亨利（H） 。21M由 i1 产生的另一部分磁通只穿过线圈 1 而不穿越线圈 2，此部
3、分磁通称为漏磁通，用来表示，据此定义线圈 1 的漏感系数为11NLi各部分磁通之间有 12同样当线圈 2 通过电流 i2 而线圈 1 无电流时，线圈 2 产生磁通 ，线圈 2 的自感为22NLii此时有部分互感磁通 穿越线圈 1，线圈 2 对线圈 1 的互感为12图 4-2-1第四章4- 2（4-2-2）12NMii线圈 2 中存在部分漏磁通 ，线圈 2 的漏感系数为 。22Li各磁通之间有关系式 212对于两个相对静止的线圈，由电磁场理论可以证明，它们之间的互感系数 和 是12M相等的，即有 21M一般可用耦合系数 K 来衡量两个线圈之间的耦合程度。耦合系数 K 定义为2112L即有 L对于
4、实际的耦合电路，由于总是存在着漏磁通，因此其耦合系数 K 总是小于 1。只有当两个线圈完全紧密地耦合在一起时，耦合系数才接近于 1。下面来考虑由于互感现象而产生的感应电动势的性质。在图 4-2-1 中，选择磁通 的21参考方向与线圈 2 中的电动势 e21、电压 u21 参考方向符合右手螺旋法则，线圈 2 的匝数为N2，则由电磁感应定律可知，线圈 2 中的感应电动势 e21 为12111ddiNMttt线圈 2 中的电压 u21 为 121diuet根据同样分析，如果线圈 2 中通过电流 i2，则由 i2 电流产生的互感磁通也会在线圈 1 中产生感应电动势。如果所取方向使得磁通 ，线圈 1 中
5、感应电动势 e12 及电压 u12 参考方向1符合右手定则，则线圈 1 中由 i2 变化而产生的互感电动势与互感电压分别为 2221ddieNMtttiue对于正弦交流电流，线圈中互感电压与电流之间的关系可用相量表达式表示为（4-2-3）21122MUjIjXI式中， 称为互感电抗。MX下面分析两个线圈的实际绕向与互感电压之间的关系。本书前章已论述，对于线圈自感电压而言，只要规定线圈电流与电压参考方向一致，自感电压降总可以写为 ，与线diuLt圈的实际绕向无关。但对于二个线圈之间的互感而言，绕圈的绕向会影响互感电压的方向。第四章4- 3因为产生于一个线圈的互感电压是由另一个线圈中的电流所产生的
6、磁通变化引起的，要判断一个线圈中的电流变化在另一线圈中产生的感应电动势方向，首先要知道由电流产生的磁通的方向，而这一方向是与线圈绕向和线圈间的相对位置直接相关的。图 4-2-2 示出了绕在环形磁路上的两个线圈的实际绕向。当电流 i1 从线圈 1 端流入时，它在线圈 2 中产生的磁通 的方向如图 4-2-2a 所示。如果规定线圈 2 中互感电压 u21 的参考方向为从线圈212 端指向 端，使得电压 u21 的参考方向与 符合右手螺旋法则，则由电磁感应定律可知， 21此时电压 u21 的表达式为 121diMtt即是说，图 4-2-2 所示的绕向结构，当规定电流 i1 的方向从 1 端流向 端，
7、电压 u21 的参考方向从 2 端指向 端，由 i1 产生的互感电压 取正号。 dt在实际电路中，互感元件通常并不画出绕向结构，这样就要用一种标记来指出两个线圈之间的绕向结构关系。电工理论中采用一种称为同名端的标记方法，用 号来特定标记每个磁耦合线圈的一个对应端钮。同名端标记的方法为：先在第一个线圈的任一端作一个标记，令电流 i1 流入该端口；然后在另一线圈找出一个端点作标记，使得当 i2 电流流入该端点时， i1 与 i2 两个电流产生的磁通是互相加强的，称这两个标记端为同名端。图 4-2-2 中的耦合线圈的同名端可由上述法则判断，线圈 1 端与线圈 2 端为同名端。当然 与 也为同名端。1
8、标出了两个线圈的同名端后，我们就可以把图 4-2-2a 所示结构的耦合线圈用图 4-2-2b 的互感耦合线圈符号图来表示，而不必画出线圈之间的绕向。图 4-2-3 表示与上面不同绕向的互感耦合线圈，根据上面所述的同名端的标识方法可知，线圈 1 端与 端为同名端。线圈的符号如图 4-2-3 所示。2当两个线圈的同名端确定后，互感电势的方向可由此推出。如果选择 i1 的参考方向为流图 4-2-2图 4-2-3第四章4- 4入同名端，选择 i2 的参考方向也流入同名端，则由同名端规则可知，由电流 i1 产生的磁通的方向与 i2 方向符合右手螺旋法则。若选择线圈 2 中互感电压 u21 的参考方向从同
9、名端指21向非同名端，则可知此时互感电压降为 121diuMt如图 4-2-2b 所示。同样当选择 i2 流入同名端，u 12 互感电压参考方向从同名端指向非同名端，则线圈 1 中的互感电压表达式为 21dit如图 4-2-2c 所示。对于图 4-2-3 的情况，根据上面类似的分析可知，此时两个线圈中互感电压的表达式为 212diuMt1由此可得出：当电流参考方向为流入同名端、互感电压的参考方向为从同名端指向非同名端时，互感电压表达式前取正号，反之则取负号。两个以上的线圈互相之间存在电磁耦合时，各对线圈之间的同名端应用不同的符号加以区别。对于图 4-2-4 所示电路来说，线圈 1 与 2 之间
10、的同名端用 号表示，线圈 2 与 3 之间的同名端用号表示，线圈 1 与 3 之间的同名端用号表示。在工程实践应用中，对于封装在壳子中的磁耦合线圈，它们之间的同名端判别可采用实验的方法加以确定。对于较小的互感线圈，常用的一种方法是使一个线圈通过开关接到一直流电源（如一节干电池） ，如图 4-2-5 所示，把直流电压表接到另一线圈的两端。当开关 K 突然闭合时，电流 i1 从电源流入线圈 1 端，且 i1 随时间增大，即有 。此时在线圈 2 中会1d0it感应出互感电压 ，如果电压表指针向正方向偏转，则表示此时接在电压表正极的端点dMt2 的电压高于端点 。由同名端意义可知，线圈 1 端与线圈
11、2 端为一对同名端。若电压表指2针反转，则 1 端与 2 端不为一对同名端。下面讨论具有互感的支路电压与电流的一般形式。设有两个互感耦合线圈，线圈 1 自感为 L1，电阻为 R1，线圈 2 自感为 L2，电阻为 R2，两线圈互感系数为 M。现将两线圈按图 4-2-6a图 4-2-4 图 4-2-5第四章4- 5所示顺向串接，在端口加正弦交流电压 ，则可写出线圈 1 中电压为U11IRjLIjM线圈 2 中电压为 22jjI总电压为 1112()()URIjLI相量图如图 4-2-6b 所示。电路总等值阻抗为（4-2-4）22)ZjM可见在这种连接方式下等值电感 ，其值大于两线圈自感之和，这是因
12、为两1L线圈产生的磁通互相加强。如果把两个线圈反向串联，如图 4-2-7 所示，则有11URIjLjI22总电压为 12()/()IjLMI 等效阻抗（4-2-5）12ZRj等效电感 小于两自感之和，这是由于两线圈产生的磁通互相抵消所致。相12LM量图如图 4-2-7b 所示。如果将上述具有互感耦合的线圈并联连接，且把同名端连在一起，如图 4-2-8a 所示，当外加电压为正弦电压 时，可写出方程U11212()MIRjLjIZI221联立求解上两个方程，得图 4-2-6图 4-2-7第四章4- 621122,MMZZIUIU总电流 1212MZI U 等效入端阻抗为（4-2-6）21MUIZ同
13、理可推出当异名端连在一起时，如图 4-2-8b 所示电路，入端阻抗为（4-2-7）21在分析互感耦合电路时，也可把支路间的耦合关系等效地改用受控源形式来表示。因为某一支路的互感耦合可看成是一个电流控制电压源。例如可将图 4-2-8a 与图 4-2-8b 电路分别用图 4-2-9a 和图 4-2-9b 电路来等效替代。空心变压器是电子线路中常见的一种电磁耦合电路，图 4-2-10 是它的原理线路图。它由两个线圈组成，线圈 1 接信号源电压 ，称为变压器的一次侧。线圈 2 接负载 ，sU ZRjX称为变压器的二次侧。两线圈间以空气为磁介质相耦合。按照图示的参考方向，可写出 112()RjLIjMI
14、图 4-2-8图 4-2-9第四章4- 71220()jMIRjLjXI令 ， 则方程转化为22,RXL1121()RjIjMIU2()0X由此可解得 212jIIR112()UMjLjX于是可得空心变压器一次侧的等效入端阻抗为图 4-2-10第四章4- 8（4-2-8）2211 2()()()i MMZRjLRjLRjXjX空心变压器二次侧开路（空载情况）时，一次侧的入端阻抗为 。在二次侧接1L入负载后，从一次侧看相当于在原绕组中串联一额外阻抗 22()()ZRjX表示空心变压器二次侧电路对一次侧电路的影响，称为从二次侧归算到一次侧的归算阻抗。Z例 4-2-1 图 4-2-10 所示的空载变
15、压器，已知一次侧的 ， ，二次10.4HL150R侧的 ， ，两绕组间互感 。一次侧接电压源20.8HL20R0.4M，二次侧的负载 。求一次侧电流 I1，电压源输入5s1sinVut(18)Zj到变压器的功率，变压器输出到负载的功率及变压器传输效率。解：设电流电压参考方向如图 4-2-10 所示，二次侧电路的总电阻和总电抗分别为220120R86XL归算到一次侧的阻抗 22()()(9.30.7)MZjXjR空心变压器一次侧的入端阻抗为 156ijLZ已知 ，则一次电流为s10VU s10A.2393956iUIZ二次电流 2120.86jMIIRX电源输入变压器的功率为 1s1co.53c
16、os9W.07PUI变压器输出到负载的功率为 220.86.4R变压器传输功率 21.7.%9P对于具有互感耦合的复杂网络，其计算方法与分析无耦合电路时基本相同，只是对存在耦合情况的元件在考虑元件电压时要包含互感电压。互感电压的方向要依据耦合元件的电压电流参考方向与同名端关系加以确定。在分析具有互感的电路时，一般采用回路电流法。在第四章4- 9列写回路电压方程时，注意把元件的互感电压考虑在内。下面通过具体例子来说明具有互感电路的分析过程。例 4-2-2 电路如图 4-2-11 所示，已知 ， ，12310R120L, ，试求各支路电流。10Ms0VU解：选择网孔回路并取 和 为回路电流变量。列
17、写网孔回路电压方程1I2123s1()RjLjMIRU233()0IjI 式中， 与 分别代表了由耦合产生的电压值。代入数据得jM1j 12(20)()1jIjI20解得 1()A45jIj21230Ij31455.168.4AI 例 4-2-3 试列出图 4-2-12 所示电路的回路电流方程式。解：选用网孔回路列电压方程，取 与 为回路电流变量，逐一写出各个元件的电压表1I2达式 1112331213s()()RIjLIjMjIjLIjMIU 21220Ijj经整理可得： 13132s1()()jLIjI222RL如果具有互感耦合的两个线圈有一端相连接，则这种具有互感的电路可用一个无互感耦图
18、 4-2-11图 4-2-12第四章4- 10合的等效电路来替代。图 4-2-13a 为同名端相连接的互感电路，可写出方程式为 1312UIjLIjM2考虑到 ，则上式可改写为312I313113()()IjLIjIjjIj222L由上面二式可得到没有耦合的等效电路如图 4-2-13b 所示。这种方法称为互感消去法。对于图 4-2-13c 所示的电路，线圈异名端连接在一起，则由同样方法可求出其去耦后的等效电路如图 4-2-13d 所示。采用等效去耦方法在计算含有互感的网络入端阻抗时比较方便。例 4-2-4 电路如图 4-2-14a 所示，求 ab 端的入端阻抗。解：图 4-2-14a 所示电路
19、包含有互感耦合支路，同名端连接在一起。去耦后电路转化为图 4-2-14b，此时可直接写出其入端阻抗 2211()()()RjMLjZRjL利用变压器互感耦合的作用可完成从一条电路向另一条电路传送电能或信号的工作，而这二条电路之间可以没有电的直接联系。变压器能变换交流电压和电流的大小。图 4-2-15a图 4-2-13图 4-2-14第四章4- 11为一般变压器的符号，一般把接电源一侧的绕组称为一次侧，接负载一侧的绕组称为二次侧。前面讨论的空心变压器是把二组绕组绕在非导磁材料上。若变压器绕组是绕在高导磁率材料上，在作出一些假定条件后，可把这类变压器视作理想变压器。对于图 4-2-15a 所示的变
20、压器，一次侧匝数为 N1，二次侧匝数为 N2，若假设：忽略一次侧和二次侧的电阻，变压器磁路中无涡流与磁滞损耗，即变压器本身不消耗能量；采用高导磁率材料后，无漏磁通存在，绕组耦合系数 ；磁路材料的导磁率 趋于无穷大，1K因此 L1、L 2 和 M 均趋向无穷大。在这些假定条件下的变压器称为理想变压器。在上面假设条件下，来讨论理想变压器一次和二次侧的电压与电流之间的关系。由于二个绕组之间完全耦合，穿过一个绕组的磁通必定穿过另一线圈，漏磁通为零。根据前面的讨论（见图 4-2-1）可知： 和 。如果两绕组产生的磁通是相互加强的，则两1212线圈交链的总磁通 和 分别为（4-2-9）02211可见两个绕
21、组的磁通是相等的， 为两绕组的公共磁通。0设变压器一次侧和二次侧匝数分别为 N1 与 N2，由图 4-2-15 所示的参考方向，可写出一次侧和二次侧电压分别为（4-2-10）012dut对于正弦交流电路，磁通 是角频率为 的正弦函数。此时上式可表示为相量形式，有0（4-2-11 ）102UNj一次侧与二次侧电压之比为（4-2-12）10122jn两绕组电压之比等于绕组的匝数比，且 和 同相。式中 n 称为理想变压器的变比。U下面来推导两个绕组中电流之间的关系。由图 4-2-15 所示参考方向，绕组 1 中电压可表示为图 4-2-15第四章4- 1212diiuLMtt上式两边用 L1 相除，得
22、 121diitt由于理想变压器中 L1、L 2 和 M 均趋于无穷大，因此上式成为（4-2-13）12iitLt又因为绕组 1 自感磁链为 ，绕组 2 互感磁链为 ，由于绕组间漏磁为Ni21NMi零，因此有 ，即有2（4-2-14）12M把上式代入到式（4-2-13）可得 12diNitt对于正弦交流电路则有 21jIjI即有 （4-2-15）21NI上式表明，理想变压器一次侧和二次侧中电流的有效值之比与两绕组匝数成反比，电流相位差为 180（在图 4-2-15 所示参考方向下） 。在电路分析中理想变压器可看成是一个对外具有两个连接端口的元件，理想变压器本身不消耗能量，它只起着变换电压和变换
23、电流的作用，变换比值只由一次侧和二次侧的匝数比决定，与负载无关。下面讨论理想变压器的阻抗转换作用。设理想变压器二次侧输出端接有负载 ZL，如图 4-2-16 所示，根据图示的参考方向，可得 2LUIZ由式（4-2-11）可得 1212,NII代入上式得 1L2UZI从而求得从理想变压器一次侧看入的等效阻抗为（4-2-16）1L2NZnI第四章4- 13可见当变压器二次侧加负载 ZL 时，其一次侧入端阻抗与绕组匝数比的平方成正比。电子线路中常用变压器来变换阻抗，以实现负载的匹配。例 4-2-5 设信号源的开路电压为 3V，内阻 ，负载电阻为 ，欲使负载获01R90得最大功率，可在信号源输出与负载之间接入一变压器。求此变压器一次侧与二次侧的匝数比 以及负载上的电压和电流值。12Nn解：由于理想变压器不消耗能量，因此供给变压器一次侧的功率等于负载吸收的功率，当理想变压器入端电阻 ，变压器吸收最大功率。根据阻抗变换式（4-2-13 ）有01R2L109Rn即理想变压器匝数比 时，负载可获得最大功率。此时，变压器一次侧的电流为123Nns13A0.152UIR通过负载的电流为 213In负载端电压 2L0.59V4.UIR图 4-2-16
