第七章 Green 函数法.doc

1、第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 1 页 数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 2 页 第七章 Green 函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,

2、一般具有无穷级数与无穷积分的形式。本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法Green 函数法。所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green 函数法更能显示出其优越性。从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场” 和产生这种场的“源”之间的关系。如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。这样，当源被分解成许多点源的叠加时

3、，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为 Green 函数法，而点源产生的场就是 Green 函数。本章首先复习 Laplace 方程边值问题的几种类型，然后由 Green 公式建立起Green 函数的概念，并通过 Green 函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论 Green 函数及 Laplace 方程的第一边值问题具体的求解过程。第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 3 页 7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 220uxy

4、z描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面 为空间某一区域 的边界， 是定义在曲面 上已知连续函数，f求一函数 满足 Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域 内有二阶(,)uxyz 连续偏导数，在 上连续，且有uf具有二阶连续偏导数且满足 Laplace 方程的函数称为调和函数。第一边值问题的等价说法：在区域 内求一调和函数 ，使它在 上连续，并且u在边界 上与已知函数相等。2. 第二边值问题 Neumann 问题为 的外法线方向ufnn3.第三边值问题其中 、 不全为零()f三维

5、Laplace 方程的边值问题可统一写为： 0()ufn 三维 Poisson 方程的边值问题可统一写为：第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 4 页 其中 、 均为连续的三元函数()uhugn h内问题：以上所讨论的边值问题都是在边界 上给定某些约束条件，并在的内部求 Laplace 方程或 Poisson 方程的解，这样的问题称为内问题。7.1.2 外问题物理中，在确定物体外部的稳恒温度场时，人们常常将它归结为某一区域的外部求调和函数 ，并满足边界条件 ，这里 表示 的边界，(,)uxyzuf表示物体表面的温度。类似这样的定解问题称为 Laplace 方程的外问题。f1. Dir

6、ichlet 外问题 设 是定义在曲面 上已知的连续函数，求一函数 ，使得它是f(,)uxyz的外部区域 内的调和函数，并在 上连续，而且当 时，,满足ulim(,)0ruxyzf 22()rxyz物理上看，引入上述极限的条件是因为电学上总是规定无穷远点处的电位为零。数学上看，有了这个条件可以保证外问题解的唯一性。如：单位球面外求一调和函数 ，使其满足 ，则 与(,)uxyz1u1(,)xyz都是上述问题的解。21(,)uxyzr2.Neunmann 外问题， lim(,)0ruxyzufn本章我们仅讨论内问题，所用方法也适合外问题。7.1.3 Laplace 方程的球对称解球坐标下 Lapl

7、ace 方程 外下述形式：0u22 221cos1()0insinuuurrr第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 5 页 或 221 1(sin)(sin)()0si sinuuurr若具有球对称性， 不依赖于 和 ，仅与 有关，则方程简化为：r, ,2()0dur2pdrC21()ppduCr 12(0)r 、 为任意常数，取 ， 则得球对称解为 。1C2141(0)4ur7.2 Green 公式 调和函数的基本性质Green 公式是研究 Green 函数的工具，本节先介绍 Green 公式，再对调和函数的基本性质加以说明。7.2.1 Green 公式Green 公式可视为微积分

8、学中 Gauss 公式的两个推论，有了 Green 公式就可推出 Laplace 方程解的积分形式，并讨论解的性质。设 是以足够光滑的（分片光滑）曲面 为边界的有界连通区域，、 、 为 上连续且在 内有连续偏导数的任意函(,)xyz(,)Qxyz(,)Rxyz数，则 Gauss 公式（奥斯特洛格拉法斯基）公式： ()(cosscos)dVQRdxyzydzxy其中 是体积之和（ 内） ， 为 的外法线方向，dV(cos,cs)n是 上的面积微元。s设函数 和 在闭区域 是具有连续的一阶偏导数，(,)uxyz(,)xyz在 内具有连续的所有二阶偏导数，在 Gauss 公式中，令 ， ， vuxv

9、Qy。vRuz第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 6 页 则 ()()()coscscosvvuudVxyzS即 22()()cosscos)vvuvuu dVxyzxyzS()()uvuvvuvdVdVSxyzn ()()dsnxyzGreen 第一公式其中 ：三维 Laplace 算子， 表示 的外法线方向导数。nS也可以写为：（1）()vuvdVuvdV其中 ，表示函数 在点 处的梯度。gra(,)xyz将 和 的位置互易，得uv（2）()udVvSvdVn两式相减有： ()()vuuvddSnGreen 第二公式7.2.2 调和函数的积分形式利用 Green 公式推导调和函

10、数的积分形式定理：设曲面 是 的边界，若函数 在 内具有二阶连续偏导数，(,)uxyz在闭区域 上有一阶连续偏导数，则 在 内任一点 处函数 0M第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 7 页 值可表示为 01()1()44uuruMdSdVrnr其中 为 的外法线矢量， 是 到定点 的距离n0 0()M22200()()()rxyz:u证 由于函数 在 内有奇异点 ，故不能直接利用 Green 公式，需1要将奇异点挖掉：作一以 为球心，充分小的正数 为半径的球面 ，并在0M内挖去 所围的球形区域 。这时 在区域 及边界 上任意处1r可微，且可验证 在 内处处满足 Laplace 方程

11、1r()0令 在区域 上，利用 GreenVr1第二公式： 1 1()()()uurrud dSrnn在 内 ()0上式左端 11()udVudVrr 11()()urSdSrnrn先计算沿球面 内法线方向的方向导数：（ 与半径 方向相反）2()()1rrnnr所以M10n第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 8 页 21()rudSun得 121()1uurdSdSudVnrnr由积分中值定理： 211221()()4()uMdSuuM 同理： 22144MMdSrnnn ， 是球面 某两点，让 ，则 ， 。同时1M2 01020在 的邻域内是有界的，所以当 时 。un0 24Mu

12、n01() 14()urdSdVnr 0()1()44ruMuurnr若 是 内的调和函数，则(,)uxyz01()1()4urudSrn调和函数的积分表达式（调和函数性质之一）表明：对于在闭区域 上一阶偏导数连续的调和函数 ，它在 内u任一点 处的值可用该函数在 的边界 上的值及其在 上法向导数值来表示。0M注：推导过程中，点 始终在区域 内。若 在 外，式00(,)xyz0M第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 9 页 在 的边界曲面 上，同样也可得到类似式子。0M001()2()4MudSurnr 在 外在 上在 内 7.2.3 调和函数的性质1. Neumann 问题有解的必

13、要条件设函数 是以曲面 为边界的区域 的调和函数，在(,)uxyz上有一阶连续偏导数，则 。0udSn证 第二 Green 公式中 为调和函数， 可得证。1V说明：调和函数的法向导数沿区域边界的积分等于零。对稳定的温度场来说，表示经过物体界面流入和流出该物体的热量相等，否则就不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。也有此式得 Neumann 问题有解的必要条件为： 。0fdS可以证明这一条件也是 Neumann 问题有解的充分条件。2. 球面平均值公式平均值定理定理：设函数 在某区域 内调和， 是 内任一点。若 是以 为u0Ma0M中心， 为半径且完全给在 内的球面，则：a021()4audS

14、证 ，并在球面 上应用调和函数的积分表21()aranra达式和性质 1 即可得证。 处的值就等于在球面 上的平均值。0()uM表明：只要 所围球形区域不超出 的调和区域，则该调和函数在球心a u。0M3.最值定理定理：若 是区域 内的调和函数，在闭区域 上连续且不恒为常u第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 10 页 数，则该函数的最大值和最小值只能在边界上取得。分析：对稳定的温度场来说，热量的流动处于动态平衡，当内部无热源时（即方程是齐次的 ）温度分布不可能在内部有最高点和最低点。否则，0u热量将由温度高的地方流向温度低的地方，这就与没有热源且是稳定的温度场的假设相违背。4.La

15、lace 方程边值问题的唯一性第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 11 页 7.3 Green 函数7.3.1 Green 函数的引入由上节知，设曲面 是区域 的边界。若函数 在 内具有(,)uxyz二阶连续偏导数，在 上有一阶连续偏导数，则 在 内任一点 处的函数值可表示为：0M12()()uMc01()4411()uudSdVrnrru当 时，若 是区域 内的某一调和函数，由第二 Green0Mr()V公式有： ()VuvdSun将上面两式相减，有 0111()()()()444uuMvvdSvudVrnrr 记 0(,)GMvr则有 0()uudSGuVn函数 在 内除点 （

16、 是奇点）外,满足 Laplace 方程，若开始时选取：G0即 14Vr0G第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 12 页 这样定义的函数 称为 Laplace 方程第一边值问题的 Green 函数。G注：1. Green 函数定义式中的函数 实际上就是区域 内的边值问题v的解014Vr2. 满足G实际上 。00()GMGreen 函数为该定解问题的解。00()M 3. Green 函数 在物理中常用来表示一定的边界条件下，位于0(,)G的点源在点 处产生的场。在这个意义下，将 Green 函数称为 Laplace 方程0M第一边值问题的源函数， 称为源点， 称为场点。0M位于处的源

17、在 处的响应，由 可知函x0()uGudSuVn数 一经求出，则 Laplace 方程第一边值问题 的解（若存在）也可用V 0fGreen 函数表示： 0()GuMfdSnPoisson 方程第一边值问题 的解（若存在）也可用 Green 函数表示：uFf0()GuMfdSFVn由此可见，对任意函数 求 Laplace 方程或 Poisson 方程第一边值问题的解f就转化为求相应的 Green 函数。而由 Green 函数的定义，求某区域内的 Green函数就是去求一调和函数 ，满足 ，而求 的解。V014r 014Vr 第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 13 页 最终，将 La

18、place 方程第一边值问题的求解归结为另一 Laplace 方程第一边值问题的求解。似乎没有在本质上得以解决问题，有点“换汤不换药”之感，但， 有着重要的意义。0()GuMfdSn0()GuMfdSFVn（1）Green 函数仅与区域有关，而与原 Laplace 方程第一边值问题的边界条件无关。只要求出某区域上的 Green 函数，就可以一劳永逸的给出所有Laplace 方程第一边值问题的统一形式解。（2）对于某些特殊的区域，如球形区域或半空间，Green 函数可以通过比较直观的物理方法求得。物理意义：Green 函数在物理，化学及工程学等多门学科中都有着举足轻重的作用和地位。如在静电学中，

19、假设在闭曲面 内一点 处放置一单位正电0M荷，即以它在 的内侧就感应有一定分布密度的负电荷，而在 的外侧则分布有相同数量的正电荷。若曲面 是导体，并接地，则分布在 外侧的正电荷消失，电位（势）变为 0，这时 内任意一点 处的电势就由两种电荷产生：位于 处的单位正电荷，产生的电势为 （假设介质的介电常数为0M14r1） 。 的内侧所感应的负电荷，产生的电势 ， 是 Laplace 方程第一边值问V题 的解。014Vr 所以，Green 函数 表示位于 处的单位正电荷在导电曲面 内0(,)GM0 任一点 处产生的电势。7.3.2 Green 函数1.基本解定义：设 是线形微分算子，称方程 的解 为

20、方程L0()LuM0(,)u或 的基本解或称算子 的基本解，有时也称自由空间的 Green()LufM0u第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 14 页 函数，其中 为区域 内一点， 为 内任一固定点。 在M0M0(,)uM时满足 。而 点为该函数（或某阶导数）的奇点。如：三维00LuPoisson 方程和 Laplace 方程 的基本解为 的解，其()0uf 0()u中 000()(,)Mxyz课本 P292-301为利用 Fourier 变换法求各种方程的基本解。几种常见方程的基本解：基本解：04xyzuu 1,4uVrrxy ln2物理意义：点 处放置一单位点热源在 处产生的影

21、响，即物体0(,)(,)xy的稳恒温度场就是基本解。或在点 处放置一单位电荷，在点 处所产0(,)xy(,)xy生的电势分布。热导方程 Cauchy 问题 的基本解为：2(,0)(txua 2()412xatVe三维波动方程 Cauchy 问题： 2)(,)(,0txyztuz 基本解为： 1(,)()4Wrtra一维波动方程 Cauchy 问题： 的基本解为：2(,0)(txtu1(,)20xatWxt均有物理意义。2Green 函数 .第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 15 页 定义：满足， 的函数 称为 Laplace 方0()GM 内上 0(,)GM程 Dirichlet

22、 问题的 Green 函数。其中 为 的边界。类似的满足 0()Gn内 的函数 称为 Laplace 方程 Neumann 问题的 Green 函数。 为 的外法0(,)GMn线方向实际上不存在（物理，数学上）要引入广义 Green 函数：满足 0() GMn内（ +）的函数 称为 Laplace 方程 Robin 问题的 Green 函数。 （ ， 不同时为0(,)GM零）Neumann 问题的 Green 函数不存在的情况解释： 为稳定温度场， 表示G物体内部有热源，即在 上 表示物体在边界上无热交换，因而热源散发0Gn出的热量不能通过边界散发出去，物体内的温度不断升高，此温度场不稳定。从

23、数学的角度也可以严格证明。7.3.3 Green 函数的性质性质 1. 设 是区域 上的 Green 函数，曲面 为 的边界，则 0(,)GM1dSn证 由 Gauss 公式及 ，0()MG 0()1dV有 0(,)1dSVdn第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 16 页 性质 2. 对称性 互易原理 关于源点和场点是对称的。Green 函数 关于点 具有对称性。即对区域 内的任意两0(,)GM0(,)个互异点 ， ，有 。121221,GM物理意义：位于点 的点源，在 Dirichlet 边界条件下在 点产生的场，2等于位于 点同样强度的点源，在相同边界条件下在 点产生的场，物理

24、上2 1称为互易性或倒易性。7.4 Green 函数法7.4.1 Green 函数法假设 Green 函数已求出，就可研究 Laplace 方程和 Poisson 方程各类边界问题解的积分表示，前节已讨论定解问题 0uf内 0()uGMdSuVn而三维 Poisson 方程边值问题为：， 为连续三元函数()uhfn内 上 hg000 0(,)()(,)(,)GMuuMdSGMudVn 中用 代替 并让 与 互换有0,G0,0 00000(,)()(,)(,)uuhdVdSnn其中 表示在 求导， ， 分别表示在 取面积元，体积元素0n0M0S0M 基本积分公式第 7 章 Green 函数法共

25、28 页 第 17 页 1. 第一类边界条件 ， 即 ， 位置 ，时0,fu10(,)GM间 处。由 处影响，将所有影响加起来（积分） t0M0000(,)1()(,)()uGhMdVfdSn（源与初始条件所有影响加起来的结果。 ）2.第二类边界条件 ，0,1()ufn0000()(,)(,)(uMGhdVGMfdS3.第三类边界条件 ,00001()(,)(,)(uhdfdS若是定解问题 uf内上则 00(,)()GMufdSn（ ）这种先求 Green 函数，再求原问题解的方法称为 Green 函数法。7.4.2 用 Green 函数法解题的步骤1. 从 Green 函数公式出发，推导方程

26、解的积分表达式。2. 求各边值问题相应的 Green 函数3. 将所的 Green 函数代入解的积分形式，整理化简得原边值问题的解。Green 函数法不仅可以求稳态边值问题，也可以非稳态边值问题或混合问题。不仅适用于 PDE，也适用于 ODE，对有界问题适用，对无界问题也适用，是求解数理方法的常用方法之一。第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 18 页 7.5 几种特殊区域的 Green 函数电像法及 Laplace 方程第一边值问题的解引言通过前几节的学习，我们知道只要求出了区域 在各边界条件下的 Green函数，则 Laplace 方程或 Poisson 方程相应边值问题的解，都

27、可以通过积分形式表示出来。大多数情况下 Green 函数的求解十分麻烦或困难，但对于某些特殊区域的空间或平面区域，往往可以通过比较巧妙的方法求出其上的 Green 函数。本节介绍一种经典的求 Green 函数的方法电像法（静电源像法或镜像法） 。所谓电像法，就是在区域 外找出其内任意一点 关于边界 的像点（或对称0M点） 。然后在 处放置适量的负电荷，使得由它产生的负电势等量于 的1M1 0M单位正电荷产生的正电势在 上正好相互抵消。由于 在 内，则 必在01外，从而故在 处的负电荷所形成的电场在 内的电势为一调和函数 ，且1 V满足 。故由位于 与 两点处的点电荷所形成的电场在 内04MVr

28、01M任一点 处的电势就是我们寻找的 Green 函数。由于这种方法是通过静电学中的镜像原理来求 Green 函数，因此常称为电像法。另外，求 Green 函数还可用本征函数展开法（固有函数法） 。该法应用比较普遍，但要求区域规则（详见 P260车 181）这里不再详述。第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 19 页 介绍镜像法前先谈 Green 函数的一般求法无界区域的 Green 函数。7.5.1 Green 函数的一般求法1.无界区域的 Green 函数无界区域的 Green 函数，又称自由空间的 Green 函数，即为相应方程的基本解。如：三维 Poisson 方程基本解，即

29、 Green 函数： 01(,)4GMr二维 Poisson 方程基本解，即 Green 函数 ln2注： 也可以用 Fourier 变换法求无界区域的 Green 函数。2. 用本征函数展开法求边值问题的 Green 函数。7.5.2 Laplace 方程的 Dirichlet 问题镜像法本部分对几个特殊区域求 Green 函数，并给出在此区域上 Laplace 方程Dirichlet 问题完整的求解过程。对 Laplace 方程求出 Green 函数 ，可以将 看作是非齐次方程的一解 与Gu齐次方程一个解 的和，而 ，其中 满足vuv0(,)M内而 满足：v Vu而 正好为 Laplace

30、 方程的基本解，于是求 Green 函数 G 的关键是求问题：u的解。0uV 内 上镜像法的再描述：镜像法又称静电源像法，可以从 Green 函数在静电学中的物理意义来构造 Green 函数。 ， 是区域 内 点处放置的单位Gv0M点电荷在自由空间的电势，G 在 的边界 上等于零，这表明边界面接地，电势为 0，而 恰好是 处，单位点电荷在边界上感应电荷所产生的电势，为求v0M，只要在 外某点虚设一个点电荷，使其产生的电势在边界限上恰好为源点v电荷产生的电势抵消，则这个虚设的点电荷的电势就等于感应电荷所产生的电第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 20 页 势，问题是这个虚设的点电荷的

31、位置在何处，一个直观的想法是这个虚设的点电荷放置在与源点 关于边界 对称的点 上。0M1M像源1. 半空间的 Green 函数例 1. 求上半空间 由 Laplace 方程 Dirichlet 问题,):0xyz的解。其中 为 的边界，即 坐0(,),xyzuf xoy标面。解：先求 Green 函数在上半空间 内任一点处放置一单位正电荷，00(,)Mxyz则关于 的对称点为 ， 10(,)Mxyz并于 放置一单位负电荷，从而它1在与 处的单位正电荷所产生的0电场的电势在 上互相抵消，即 0114MMrr又 为上半空间 内的调和函数，且在 上具有一阶连续偏导数，1故由 处的单位正电荷以及 处的

32、单位负电荷在 内一点 处产生的电势和0 1 M为上半空间上半空间 处放置的单位正电荷，则 点产生的场的势函数为：0M，其中104ur0222000()()()Mrxyz而与 对称的 处虚设的单位负电荷在 点产生的场的势函数为：01， 其中 214ur1Mrz 10(,)xyz00(,)Mxyzxy(,)xz第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 21 页 又 0()GM内 则 102()u 取 ，显然 ，在 上014Gr120(,)GMz的 Green 函数。即01(,)(,)rM014r由 Laplace 方程 Dirichlet 问题解的积分形式或 0()GufdSn 00()()

33、GuMfdSn的外法线方向为 的负方向故0zn z0 222000222000 03 322222200000011(4)()()(1( )4)()()()()(2(zz zzGxyzxyzxyz 32200)() 03220322001, (,)()()(,)2()()zuxyz fxydxyfz或 00322(,)(,)2()fxyzuxy dxyz第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 22 页 类似地，上半平面内二维 Laplace 方程 Dirichlet 问题解的积分表达式为：00()xyuf 0201, ()()fxdxyGreen 函数为： 01222200001(,)

34、lnl1l ln2()()()()GMrxyxy例 2. 求 平面区域 ： 内的 Green 函数，并由此求解下列14D,xDirichlet 问题其中 为已知的连续函数。0,0(,)(xyuxyf ()fy解 在区域 内任选一点 ，找其关于边界 的对称点 ，然后找D0M0y1M， 关于边界 的对称点 ， 。0M1x23注：点对于每一边界的像（映射）电荷反号。点电荷， ， ，0123在区域 内某一点DM处的电势分别为：， ， ，001ln2MVr11ln2MVr221lnMVr331lnMVr则可得区域 内的 Green 函数：D x30,xyyO ,xy20,xy0,y第 7 章 Green

35、 函数法共 28 页 第 23 页 01230123222000022220000(,)11lnllnl2()()()()l1ln4()()()()MMGVrrxyxyxyxy又 (,)u故原定解问题的解为： 0 0002220000()()()()11 ()()xxGGuMfdSfydfydnnxfy总结 Green 函数的求法：（1）在给定的区域 内任取一点 ，在点 处放置适当的正电荷()D0M0（2）以区域 划分空间为若干部分（有限个或无穷多） ，在这样的每一个部分内求出 点关于围成区域 的所在边界的某种对称点或对称点关0M()于边界的对称点 ， ，在这些对称点上同样放置相应的电荷。12

36、（3）求这些点电荷 ， ， 在区域 内任一点 处产生的电012()DM势 ，其中 的正负取决于 ， ， 所带电荷的正负。012,V12,V0M12注：对每一边界的像（映射） ，电荷反号。（4） 区域 内 Green 函数就是这些电势之和，即 。()D0(,)iGV2.球形区域内的 Green 函数例 5.3 求球心在坐标原点 ，半径为 的.球形区域 内的 Laplace 方程第oR一边值问题的解。第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 24 页 其中 为已知三元连续函数。0(,)xyzuf内在 上 (,)fxyz解（1）计算球形区域 上的 Green 函数在 内任取一点 ，连接 并延长

37、至0M01M使得： 21rR其中 分别是线段 ， 的长度。0,0O1在 处放置一单位正电荷，在 处放置一单位负电荷，需确定 的值使1 q得这两个点电荷所产生的电场的电位在边界 上相互抵消，设 为 上的任意一点，则： 014pMpr即 10pMrq001,rROP 01: 故01PrR0rq从而处 的电荷所产生的电场在 内任一点处 的电势为：1 M，则 是球形区域内的调和函数，在 上具有1014MgRrqVV一阶连续偏导数，且在 上满足：0104MMRrr即 0114Mr故球形区域上的 Laplace 方程第一边值问题的 Green 函数为：O1M0P第 7 章 Green 函数法共 28 页

38、第 25 页 0101(,)4MRGr或 0011(,)4MVr（2）解的积分形式由 ，先计算 ，设 是 与 的夹角（也是0()GUMfdSnn0O与 的夹角） 为 的长度。由余弦定理：1OrO02 200011222000101242200001(,) 4coscos1 4coscosRrrrrrRrr 故 20003 32 42 20 20003 32 432 202032cos(cos)1 4()() (cos)cos14()rR rRGnRrrrRrr 所以 200 321() (,)4(cos)RrGUMfdSfxyzdSn写成球坐标形式： 2200 30 2(,) (,)sin4(

39、cos)rRrdfdR第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 26 页 其中 为点 的球坐标， 为 与球面 的交点 的坐标，这0,()r0M(,)ROMP时矢径 和 方向余弦分别为：O000(sinco,sin,cos)(incos,in,cos) 0000()i)上式也可写为： 32220 00(,) (,)sin4cos()RRrurdfRd- 均称为球的 Poisson 积分公式。例 5.4 设有一球心在坐标原点，半径为 R 的均匀球，上半球面温度保持在，下半球面温度保持在 求0C 1C(1)球的温度的稳定分布；(2)球的 z 轴上温度的变化；(3)球心的温度。解：该问题归结为如

40、下定解问题： 022rRUrR (1)由球的 Poisson 积分公式，球由任一点 的温度为：0,()r220 30 2022 30 20(,) (,sin4(cos)i()RRurdfRdr(2)当点位于球的 z 轴上时，有两种情况： （上半轴） ， （下00半轴）若 ，0cos第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 27 页 2002001(,)()Rrur Rr若 ，则0cos2200 30 220 122020200(,) sin(co)(s)1rurddRrrrR （3）由于温度是连续变化的，则 0,0(,)lim()1ruu即 均 匀 球 球 心 的 温 度 为 1C3.圆

41、形区域上的 Green 函数例 5.5.求圆心在坐标原点 O，半径为 R 的圆形区域 D 内的 Laplace 方程第一边值问题： 的解。0(,)xyuDfS 内上解 (1)求 Green 函数在圆域 D 内任取一点 ，在 放置一单位正电荷，在 的延长线上0M0 OM点放置电量为 的负电荷，记 ， ，1Mq0oMr1oror使 201rR二维 Laplace 方程的基本解为： 0ln2MVr取 1g在 内 D0 ()gVMO 10M第 7 章 Green 函数法共 28 页 第 28 页 在 上，S0100 11lnln22(ll)lVgrrMrM设 为 上任一点， ， S01O01rR 0()ln2rVgS不能取 为 Green 函数，而Vg01lrR故 Green 函数为： 0 01 1010001(,)lnllnl22MMMrRrrrRG（2）解的积分形式 0()()Gufdsn而 0120112 20 0242011coscos coslnlnl lnMrRrRrrGRrrr 求导，利用极坐标系，导出解的积分形式为：nrR 22002000()()cos()RruMf d其中 分别是点 及 的极坐。P 1970(,),r小结