1、1 11.5 函数的连续性客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性.本节将以极限为基础，介绍函数连续性的概念、连续函数的运算及一些性质.一、函数连续性的概念设变量 从初值 变到终值 , 终值与初值的差 叫做变量 的增量(或该变量),记x12x21xx作 ，即21增量 可以是正的,也可以是负的x一般地，设函数 在点 的某一个邻域内是有定义的当自变量 x在()yfx0这邻域内从 变到 时, 函数值 y相应地从 变到 , 因此, 函数0x0()fx0()f的
2、对应增量为y00()(yfxfx如图 1.15 所示.图 1.152 2在图 1.15 所表示的函数中,当自变量 在点 处的改变量 时, 函数值的相应x00x改变量 的绝对值无限变小, 也就是说, y.0()yx我们说, 这个函数在点 处是连续的. 一般有:0x【定义 1】设函数 在点 的某邻域内有定义，如果自变量 x在 处的增量()yf0 0趋向于零时，对应的函数值的增量 也趋向于零，即x00()(yfxf，则称函数 在点 0处连续0limxy()yfx令 , 则当 时, , 而当 时, 有0x0x00()(yfxfx, 因此 当且仅当 . 故有如下等价定义:()fxf0limxy0li()
3、xf【定义 2】设函数 在点 的某一邻域内有定义，如果函数 当 时()f ()fx0的极限存在，且 ，则称函数 在点 处连续00lixx()yfx0若函数 在开区间 内的每一点处都连续, 则称它在开区间 内连续.()yf()ab(,)ab若函数 在 处有 , 则称它在 处右连续, 相应地, 若有fx000()fxf0x, 则称函数在 处左连续.00()(fx若函数 在闭区间 内的每一点处都连续, 在左端点 处右连续, 在右端点)yfxaba处左连续, 则称函数 在闭区间 内连续.b()f,【例 1】证明函数 在 内是连续的sinyx,)【证】设 是区间 内任意一点，其增量为 ，则对应的函数增量
4、为x(,)xsin()siyx3 3，2sinco()2x因为 ，而 是 时的无穷小, 由无穷小的性质, |cos()|12xsi0是 时的无穷小, 即 . 故函数在点 处连续, 2in0(0)yxx由 的任意性, 函数 在 内连续.xsinyx()同理可证函数 在 内是连续的(证明留给读者)co,二、函数的间断点由函数连续的定义可知, 函数 在点 处连续, 必须同时满足以下三个条件:()fx0（1） 函数 在点 的某个邻域内有定义;()fx0（2） 存在;0limx（3） 00li()xfx如果上述三个条件有一个不满足, 那么函数 就在点 处不连续, 也称函数()fx0就在点 处间断. 我们
5、可以得到函数间断点的定义:()fx0【定义 3】设函数 在点 的某去心邻域内有定义（在点 处可以无定义） ，如果()fx0 0x函数 有下列三种情形之一：()fx（1）在点 无定义；0（2）在 处有定义，但 不存在；x0lim()xf（3）在 处有定义且 存在，但 00 00li()xfx则函数 在点 处不连续，点 称为函数 的一个间断点（或不连续点） ()fx0f设 为函数 的一个间断点，若左极限 和右极限 都存在，则称 为0f 0()fx0()fx0x的第一类间断点其余的间断点成为第二类间断点.()fx4 4在第一类间断点中，若 ，即 存在，但函数 在点00()fxf0lim()xf()f
6、x0无定义，或虽然在 有定义但 ，则称点 为可去间断点;若0x0li()x，即 不存在，则称点 为跳跃间断点0()fxf0lim()xf0【例 2】函数 在点 处无定义, 故不连续, 但有21fx.211lilim()2xx故函数在点 处的左右极限都存在, 因此 是函数 的可去间断点.如1x21()xf图 1.16.图 1.16【例 3】符号函数 , 由于在 点左、右极限虽然存在但不相等，所以sgnyx0为其跳跃间断点.0x【例 4】函数 , 由于 不在其定义域内, 故为间断点. 又因为当 时, 1x 0x, 故 是它的第二类间断点.1x三、初等函数的连续性由函数连续性的定义及极限的运算法则,
7、 可得以下性质.【性质 1】(连续函数的四则运算法则)如果函数 、 均在点 连续，则()fxg0x, , 都在点 处连续.()fxg()fx0()fxg05 5【性质 2】(连续函数的复合运算法则) 设函数 在点 连续，且()ux0，而函数 在点 连续，那么复合函数 在点 也0(xu()yfu0 yfx是连续以上性质证明留给读者.我们还可以证明:【定理 1】基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.由上述定理 1 及性质 1,2 可得:【定理 2】一切初等函数在其定义区间内都是连续的.这里的定义区间是指包含在定义域内的区间. 因此, 初等函数的连续区间就是定义区间. 定理 2 给我们提供了求函数
8、极限的一种方法-代入法: 如果 是初等函数, 是()fx0x其定义区间内的一个点, 则函数 在 处连续, 因此:()fx0.00lim()xfx【例 5】求下列极限:(1) ; (2) .20lim1x2lin(s)x【解】(1)函数 的定义区间为 , 是定义区间内的点, 因此y10x.220lim|x(2)考虑函数 及区间 , 由于在该区间内有 , 故函数在此区间ln(si)y()sinx上有定义, 是该区间内的点, 所以2x.22lin(s)l(si)|0xx 四、闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有一些很重要的性质, 它们的几何意义都很明显, 但证明比较困难, 下面我们不加证明地以
9、定理的形式给出这些性质.【定理 3】（有界性与最值定理）若函数 在闭区间 上连续，则 在()fx,ab()fx上有界且一定能取得它的最大值和最小值,ab6 6例如, 函数 在区间 上满足 , 故它在该区间上有界. 且能取到最大值1yx,21|x1, 最小值 .2注 1 开区间上的连续函数未必有界或能取到最值, 如函数 在区间 上无界, 1yx(0)无最大值.注 2 闭区间上有间断点的函数未必有界或能取到最值, 如函数 在区间 上yx1,无界, 且不能取到最值.2010 年广州亚运会期间, 一位游客在位于天河区的天河体育中心观看完比赛之后, 前往位于海珠区的广州塔观光. 他可以选择乘坐地铁, 自
10、驾车, 坐船渡过珠江等方式到达广州塔, 但无论他选择哪种路线及方式, 都有一个共同点-他必须穿过珠江(除非绕道离开广州), 这是因为,他的出发点和目的地位于珠江的两岸. 我们把这个简单的生活常识抽象开来, 便得到如下的零点定理.【定理 4】(零点定理) 设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号()fx,ab()fafb（即 ） ，那么在开区间 内至少存在一点 ，使得 .(0fab,ab0定理的几何意义如图 1.17 所示. xyo()fab图 1.17零点定理的用途很多, 下面举例介绍它在证明方程根的存在性方面的应用.【例 6】证明方程 在区间 内至少有一个实根.32410x(,1)【证】设 ,
11、 则 为初等函数, 故在 上连续. 且()f fx0,1,()()2f由零点定理, 在区间 上至少有一个零点, 即方程 在区间 内至()fx01()fx(0,1)7 7少有一个实根, 亦即方程 在区间 内至少有一个实根.32410x(,1)由零点定理可得如下更一般的介值定理.【定理 5】(介值定理)设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同()f,ab的函数值及 （ ） ，()faA()fBA那么，对于 与 之间的任意一个数 ，在开区间 内至少存在一点 ，使得ABC(,)ab()f习题 1.51. 求函数 的连续区间.3241xy2. 求下列极限:(1) ; (2) ;21limxe1l
12、imsn53xx(3) ; (4) .li()xxli(arct)x3. 讨论函数 在点 处的连续性.|y04. 求下列函数的间断点, 并判断其类型:(1) ; (2) ; (3) .1sinyx21xy|xy5. 若函数 在定义域内连续, 求 的值.2i3,0()xfxaa6. 证明方程 至少有一个小于 1 的正实根.1x复习题一8 8一、填空题1函数 的定义域为 . 23ln(1)yxx2. 函数 的间断点是 , 是第 类间断点.sin3. .3sin0lim(1)xx4. .2i4lx5. 函数 的连续区间是 .21()3fx6. 若 , 则 .20limxf0()lixf7. 若函数 在定义域内连续, 则 .tan,()sifxa二、选择题1下列函数中奇函数为（ ）. A. . B. . C. . D. .arcosyxln(1)yx2xey2xey2. 下列极限等于 的是（ ）.eA. . B. . C. . D. .1lim()xx1li()xx1limxx01lixx
