1、1圆锥曲线的一个优美性质南京市金陵中学 宋辉 圆锥曲线性质的大花园中,繁花似锦,景色怡人.笔者近日在大花园中发现了一朵美丽的小花,下面让我们来共同欣赏.定理 1 设 A、B 是过抛物线 y22p x 焦点的弦的两个端点，A、B 与顶点 O 的连线分别交抛物线的准线于 M、N 两点，则 为定值.OM ON证明：设 A（2p t , 2p t1） ，B（2p t , 2p t2）. 21 22则 AO、BO 的方程分别为 y x， y x .1t1 1t2直线 AO、BO 与准线 x 的交点分别为 M（ ， ） 、N（ ， ）.p2 p2 p2t1 p2 p2t2 （ ）（ ）（ ）（ ） .OM
2、ONp2 p2 p2t1 p2t2 p24 p24 t1t2A、 B、F 三点共线， 即 ，化简得：t 1t2 ，14 p2，即 是定值.OM ON34 OM ON定理 2 设 A、B 是过椭圆 1（ab0）x2a2 y2b2右焦点的弦的两个端点，P 是椭圆的左顶点，PA、PB分别交椭圆的右准线于 M、N 两点，则 为定值.PM PN证明：设 A（acos , bsin ） ，B（acos , bsin ） ，P（a,0） ，则 PA、PB 的方程分别为：y （ xa） ， y （xa）. bsin acos a bsin acos a则直线 PA、PB 与椭圆的右准线的交点坐标分别为 M（
3、，y 1） ，N （ ，y 2）.a2c a2cy1 （ a） ， y2 （ a）.bsin acos a a2c bsin acos a a2cy1 y2 b2sin sin a2(cos 1) (cos 1)a2(a c)2c2 a2(a c)2c2 tan tan .b2a2 2 2 a2(a c)2c2AB 的连线过焦点， ，b sin a cos c b sin a cos c即 a sin（） c（sin sin ） ，xyOABNMF图1xyOP FBA MN图 22得 a cos c cos ， 2 2即 tan tan .2 2 c aa c （ a） 2 y1 y2PM P
4、Na2c a2c（ a） 2 tan tan a2c b2a2 2 2 a2(a c)2c2 （ a） 2 a2c b2a2 c aa c a2(a c)2c2 . 即 是定值.（ a c） 2（ 2 a c）c PM PN定理 3 设 A、B 是过双曲线 1 右焦点x2a2 y2b2且与双曲线右支相交的弦的两个端点，P 是双曲线的左顶点， PA、PB 分别交双曲线的右准线于 M、N两点，则 为定值.PM PN证明：设 A（asec ，btan ） ，B（asec ，btan ） ，P（a，0） ，则 PA、PB 的方程分别为：y （x a） ， y （xa）. btan asec a bta
5、n asec a则直线 PA、PB 与双曲线右准线的交点坐标分别为 M（ ，y 1） ，N （ ，y 2）.a2c a2cy1 （ a）, y2 （ a）.btan asec a a2c btan asec a a2cy1 y2 b2tan tan a2(sec 1)(sec 1)a2(a c)2c2 a2(a c)2c2 a2(a c)2c2 tan tan .b2a2 2 2 a2(a c)2c2AB 的连线过焦点， ，b tan a sec a c b tan a sec ca（sin sin ）c sin（） ，得 ac sin( )sin sin .xyO FABPMN图 33tan tan .2 2 a ca c （ a） 2 y1 y2PM PNa2c a2c（ a） 2 tan tan a2c b2a2 2 2 a2(a c)2c2 （ a） 2 a2c b2a2 a ca c a2(a c)2c2 . 即 是定值.（ a c） 2（ 2 a c）c PM PN通讯地址 南京市金陵中学Email 邮 编 210005电 话 13705196086
