1、第 9 章 常微分方程407第 9 章 微分方程初步1. 微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程2. 常微分方程 未知函数为一元函数的微分方程一般形式： ；标准形式：()(,0nFxy () (1),nnyfxy3. 微分方程的阶 未知函数的导数或微分的最高阶数4. 微分方程的解 满足微分方程的函数。 （1）含任意常数的解称为微分方程的通解，阶微分方程的通解含 个独立任意常数；（2）不含任意常数（通解中的任意常数已由n初始条件求出）的解称为微分方程的特解；（3）解的图形为方程的积分曲线。9. 1 一阶微分方程1. 变量可分离的微分方程（1） ()yfxg()dyfx()()dyfxCg（2）
2、 12()()0MN1122MNyd2. 齐次微分方程（1） 令 ， （变量可分离）()yxxyu()xu（2）可化为齐次型 1122(abc11220axbyc0xy0XxYy()YX3.一阶线性微分方程 非齐次方程： ； 齐次方程：()ypxq ()pxy（1）通解公式 ()pdxpdxeC（2）常数变异法：齐次通解 ，非齐次通解()y ()pxdye将 代入原方程可得 y, ()()pxdCxqe4. 伯努利方程 ndy0,1)第 9 章 常微分方程408令 1nzy(1)(1)dznpxznqxx5. 全微分方程 （ ）(,),0MxNyMNy,(,)duxd(,)uxC0000,(,
3、)()()xyxyyNx9. 2 二阶微分方程1. 高阶特型微分方程（1） 连续 次积分可求解()nyfxn（2） 令 ， ，可化为一阶微分方程,)(xuyy（3） 令 ， ，可化为一阶微分方程(,yfdu2. 二阶线性微分方程解的结构二阶线性非齐次方程 ()()ypxqyfx二阶线性齐次方程 0（1）若 ， 是齐次方程的两个解，则 也是齐次方程的解1y2 21yCy（2）若 ， 是齐次方程的两个线性无关解，则 是齐次方程通解21（3）若 是齐次方程的通解， 是非齐次方程的一个特解，则Y*y（非齐次通解 齐次通解 非齐次特解）*y（4）若 ，则*1122()()pxqyfxy特 解特 解特解1
4、2()()yf*12y（5）若 ， 是非齐次方程的两个解，则 是齐次方程的解*12 *1y3. 二阶常系数线性齐次方程通解的求法第 9 章 常微分方程409二阶常系数线性齐次方程 0qyp特征方程为 ，判别式 ，则通解为02qpr4212 1212 ()()0cosin)xrxxCery i 实 根重 根复 根4. 二阶常系数线性非齐次方程特解的求法二阶常系数线性非齐次方程 )(xfqyp待定系数法：（1）若 ，设 ()nfxP*2()0nRxy不 是 特 征 根是 单 特 征 根是 重 特 征 根其中, ， 均为 次多项式()nnR（2）若 ，设()()xnfeP*2()xnxeRy不 是
5、特 征 根是 单 特 征 根是 重 特 征 根（3）若 ，()()cos()sixnmf设 12* n()()ikkxeRxxiyR 不 是 特 征 根是 特 征 根其中， ， 均为 次多项式,1()k2k ,a常数变异法：若齐次方程通解为 ，12()()yCxy设非齐次方程特解为 ，代入方程得1()x，其中120yCf21122()yfdxWCx12y微分算子法：设 ， ，得 ， ，则dDx2dyD2yx)(xfqyp 2()(pqf第 9 章 常微分方程410令 ，称微分算子多项式，则特解为2()FDpq 1()yfxFD的运算性质：1()（1） ；()()1()01()kxkxmkxmk
6、xeFFeDem 有 重 根 )（2） ， ；22sini()()1coaxFD2()0F， ；221sinsin()()1cocoaxaxF 2()0（3） ；1()()(kxkxevvxFD（4） 1 112 12()( )p pp pAAQDAx 其中， 为 除以 按升幂排列所得商式，其最高次幂为 。Q)注意： 表示微分， 表示积分； ， 。Dxx9. 3 典型例题解析1. 变量可分离微分方程解法解题思路（1）分离变量后两边取不定积分求通解；（2）若方程含 ， ， 等形式项时，可利用相应变量代换()fxy)f2()fxy（或直接用凑微分法）化为可分离变量方程求解；（3）若方程为（或可化为
7、） 或 型齐次方程，令 或 求解；()fxfyyux第 9 章 常微分方程411例 1 求下列微分方程的通解（2） ；221sin()xyy（2）解 原方程变形为22sin()yxy22()sin()xxy令 ，得 ，积分得2ux2iud1s4xC221si4yxC（3） ；co()dyx（3）解 令 ，则 ，即u1cosdyux1cosdux1cos2ttin2yC（4） ；2tan2yx（4）解 原方程变形为 22tanyx22()tanyx令 ， ，代入方程得 ，分离变量积分得2yux()utulnsilnxCsix2sinyCx（5） ；(1)()0xyed（5）解 方程变形为 ，令
8、， ，则1xyeudxuy1uduyeuln()lnueyC()uyeCxyC（6） 15dyx第 9 章 常微分方程412（6）解 由 ，得 ，令 ，则原方程化为105yx23xy23XxYy，令 ， ，即1YdXudu21duX2ud2ln(1)arctnXC2 3ln()(3)rtyxyx2. 一阶线性微分方程解法解题思路（1）将方程化为 的形式，利用通解公式求解；()ypxq（2）利用常数变异法求解；（3）贝努利型方程可通过变量代换化为一阶线性方程求解。例 2 求下列微分方程的通解（1） ；1()()sinxynx（1）解法 1 公式法求解：方程变形为 (1)sinyxx1()sinn
9、dxdyeeCl) l(1)x(sinxxd1)co)C解法 2 常数变异法求解：齐次方程为 ，分离变量积分得01nyxlnl()lyx()n设原方程通解 ，代入方程整理得 ，则()1Cx)siCcos(co(1)nyx（3） ；(sin)ta0xydx（3）解 原方程变形为 xydsincoxydxsini第 9 章 常微分方程413令 ，原方程化为 yusinxud1dxu1 21()(sin)duxeCyC 2(sin)iyC（4） 2yx（4）解 既不是一阶线性方程，也不是贝努利方程，原方程改写为21y1()()yx令 ，方程化为 ，这是贝努利方程，uyx()u2du令 ，方程化为 ，
10、通解为1z1dz12xdxxCe12xCy习题（2） 2ydxx（2）解 1yy211dxyy这是贝努利方程，令 ，原方程化为ux21dyy23Cuxy例 3 设 是方程 的一个解，求满足条件 的特解xe()p (ln)1f解 将 代入方程 ，得 ，则yxxe()xpe(1)y()xeyC由 得 ，故特解为(ln2)1fC()xex例 4 设 为连续函数，(fx（1）求解初值问题 ， ；()(0)yafx0（2）若 ， 为常数，求证当 时，()fxk()1)axkyxe解（1）由通解公式有第 9 章 常微分方程414，()()axaxaxyefdCeF ()axxfed由 得 ，故(0)0CF
11、0atye（2）利用定积分的性质有 000()()()(1)xxxaataatat axkyefdefdkde*3. 全微分方程的解法解题思路 将方程化为 的形式，验证 ；用凑(,)(,)MxyNxyMNyx微分法或公式法求解。通解形式为 。,uC例 5 利用全微分求下列方程的通解（1） 223(36)(4)0xydxyd解 因为 ，所以原方程是全微分方程，方程改写为1MN22233243(6)4()0xdyxdydxy通解为 4C（2） 3()()0yxxy解法 1 ， ，全微分方程，取点 ，则46()MNyx(1,0)123210(,)()()()yxyudxdC通解为 （ ）2()xyC
12、1解法 2 ,0du1(,)uxyC333244(,)()()()()yydxxdy2 21()()yyxx第 9 章 常微分方程415， ，uNy33()()yxyxC()0Cy2()C（ ）21(,)xy2()x124. 一阶微分方程综合题解题思路（1）由导数的定义或已知条件列方程求函数解析式；（2）由积分限函数的导数改写积分方程求函数解析式；（3）利用偏导数和全导数关系列方程求函数解析式；（4）利用定积分的性质求函数解析式例 6 已知 在 处的增量 ，且 ，求 ，其()yx2()1yxo(0)y(1)y中 时 是 的高阶无穷小0xo解 由导数的定义及题设条件有，即22()limli11x
13、xdyyoxy21yx通解为 ，由 得 ，故特解为 ，arctnCe(0)Carctne4()e例 7 设 在可微，且满足 ， ，求()fx()(1fxyfyf01f)fx解 20)()1(ff2()f， （ ，否则 ，与题设矛(0)f2f00()1)limlixxff 盾） 0 0()(1()()li li ()x xffff fxf 2220()1()lim()()1()xfffff即 ，通解为 ，由 得 ，故2()1()fxfarctn()fxC0fCta例 8 设 有连续导数，且 ， ，其中()fx 2()()()bfbeffa0fe为任意常数，求,ab第 9 章 常微分方程416解法
14、 1 由 有连续导数，则()fx 200()()()limlimabbbfafeffaf20()1li ()()a abefff即 ，令 得1()2()afefx1()fe12()xxfeC又令 ， 得 ，故特解为0ab()fC2解法 2 令 得 ，两边对 求导(0)fa，2()()babeff 令 得 0,abx21()xffe21()xxfeC又 得 ，故特解为()fCe21()xfe例 11 设函数 在 上连续，且 ，()fx0,111()()()yxyftdftftd对任何 成立，又 ，求 ，0,xy13f(fx0解法 1 关系式对 求导得 1()()yyffftd取 ，且 ，则xy(
15、)3f 1111()()()0xxyxytdftftft13() xf dd即11()()03xxxftdft1()()3xfftd第 9 章 常微分方程417再对 求导得 ，即 ， ，故x()()3fxff3()fx(1)fln解法 2 关系式对 求导得 ，令 ，由 得y1()()()xfyftdfy(1)3f1()3xftd1xtd再对 求导得 ，即 ， ，故x()f3()f()f()lnfx例 12 设 具有连续偏导数，且满足条件 ，求,fuv uvvu,所满足的一阶微分方程，并求其通解.),()(2xfexy解 由题知 ，对 求导(,)uvfx),()(2xfey22,x xuvyee
16、f (,)()(,)xf f2xye即 ，通解为xey2 xdxd eCe232)1()( 习题例 9 已知 ，求连续函数10()()sinftxf ()f解 令 ，则 ，即tu01()sinxdfudx20()()sixff()2cosfxncosixxC例 10 设函数 与其反函数 都可微，且 ，求()ux()v32()1(8)uxvtdx()ux解 对关系式两边求导得 ，因 。2xu于是 ，通解为 ，当 时，1()2ux()C()x， ，得 ， ，故3218041u1u5. 高阶特型微分方程的解法解题思路 若方程不含 ，令 ；若方程不含 ，令 ；若方程不y()x x()yu第 9 章 常
17、微分方程418含 ，令 ， 。,xyuy例 13 求解下列高阶特型微分方程（1）求微分方程 的通解2x解 不显含 型，令 ， ，代入方程得yuy xu11121()3dxdxCe2112)ln39Cyx（2）求 的满足初始条件 ， 的特解。02 0ff解 不显含 型，令 ， ，代入方程得xuydy yu1111()yyeC 由 得 ， ，由 得10f2C22lnx10f，通解为 2C)(xey（3）求 的通解2解 不显含 型，令 ， ，代入方程得,xyuy21u1arctnxC1tan()uxC故原方程通解为 1 2t()los()yxd习题（4）求 的通解l解 不显含 型，令 ， ，代入方程
18、得 ，这是齐次方程，yuylnux令 ， ，则uzxzx(ln1)z1Cxze1Cxye故原方程通解为 1221Cxy6. 二阶常系数线性微分方程的解法第 9 章 常微分方程419解题思路（1）写出对应齐次方程的特征方程，由特征根的不同形式写出相应的通解；（2）用待定系数法、微分算子法或常数变异法求非齐次方程的特解；（3）非齐次方程的通解 齐次方程的通解 非齐次方程的特解；（4）用变量代换法将变系数方程化为常系数方程求解。例 14 求解下列微分方程（1） axey4解 特征方程为 ，特征根 （重根）02r2r齐次方程通解为 ，非齐次项 xeCY21axef)(待定系数法求特解：当 时，设特解为
19、 ，代入方程得 ，2aaxAy* 2)(1aAaxey2*)(1当 时， 为重特征根，设特解 ，代入方程得 ，xey2* x2*算子法求特解： 当 时， ；2a*2221114()()axaxaxy eD当 时， ；*22()xxDxe故原方程通解为 221)(21 aexCyxx（2） xasin2解 特征方程为 ，特征根 （复根）02rair齐次方程通解为 ，非齐次项xCaYsinco21xfsin)(待定系数法求特解：当 时，设特解 ，代入方程得1aBAyi*xaxasinco1sn122 比较系数得 , 2A0yi2*当 时， 为特征根, 设特解 ，代入方程得1ai )coss(xBA
20、x第 9 章 常微分方程420xBxAsin2cos比较系数得 , 0A21By1*算子法求特解： 当 时， ；1a*2221sinsinsiyxxxDaa当 时， ；11co故原方程通解为 1cs2sincoin21 axaCxy（3） xs解 特征根 （复根） ，齐次方程通解为 ir xCYsinco21待定系数法求特解：对方程 ， 不是特征根，设 ，则xy0BAxy*1， 1AB对方程 ， 是特征根, 设 ，则xycosi )sinco(*2xxy， 0i1*算子法求特解： *221(cos)cossin2yxxxDD故原方程通解为 Ci1in1（4）设 二阶可导，以 为周期，且满足 ，
21、求()fx()sifxfx()fx解 由周期函数的性质有 ， ，则(2)(fxfx2)(ffx()2sinfxfsin求导得 代入题设方程有(cox4)(si2cosffxx特征根为 ，齐次方程通解为12r221xCe第 9 章 常微分方程421待定系数法求特解：设非齐次方程特解为 代入该方程有*cosinyAxB5is2cosx比较系数得 ， ，非齐次方程特解为1A2B*1i5yx*算子法求特解： ，2()41FD22()()0Fa2 21 12sincossincosincos4()5yxxx非齐次方程通解为 221()i5xxfCe由 有()2fx222211xxxxCee2 221()
22、()0x xxeCe得 ，故0()sincos5f*例 15 用算子法求下列微分方程的特解（1） ； （2）23xye45sin2yx（3） ； （4） ；co（1）解 ， ，故特解为2()(3)1FDD()0Fk22215xxxyee（3）解 ， ，故特解为()45()()a2211sinsin2sin244yxxxDD221i(ii)66)(8cosin5x（3）解 2 2 21113()3()x xyeeDDD2()()xxx xeee 第 9 章 常微分方程422其中， 为 的商（ ） ，即 1D1p21D（4）解 222 2111cosReRe()ixixyx xDDDi2 24e(
23、4339ix ixii 211R()cosin9ixi其中， 为复数实部； 为 的商（ ） ，即e43iD23i1p1492341iiD例 16 用常数变易法求 的通解2xye解 特征重根 ，齐次方程通解为 1r12()xyCe设 （ ） ，代入方程得12()()xxyCe12()0xe)xxe比较系数得 12()()01xxxee212()xCe积分得 ， 取2212()4(1xCxeC 212()4(1xxe原方程特解为 2)()444xxxyxe 原方程通解为 12(1xe第 9 章 常微分方程423例 17 用指定变量代换求下列微分方程通解（1） ，cos2in3cosxyxyecos
24、uy解 ， ，uinu2sincosxyx原方程化为 ，齐次通解为 4xe 1suC非齐次特解为 *22145xeD原方程通解为 ，即1cosinuCx1212icossin5s5cosx xexeyC（2） ， ，令240dyxxxte解 欧拉方程令 ， 可化为常系数线性齐次微分方程teln代入原方程得 ，通解为 0232ydtty 2121ttCyex记 ，则原方程化为dDt2(1)430DyDy一般地，令 ， ，记 ，则txelnxdt； tytdty222211()dytdyxtxxt； ；xDt22()()Dt； (1)()ndyxny代入原方程，则原方程可化为 关于 的 阶常系数线
25、性方程t（3） ， ，令20(1)()1()l()xytytx 01txe解 两边求导并化简得 ，此方程是欧拉方程1x令 ， ，记 ，则原方程化为txeln()xdDt第 9 章 常微分方程4242(1) tDyDye即 ，其通解为 ，故原方程通解为2tye12()4ttCe121ln()yxx7. 二阶微分方程的反问题解题思路（1）已知通解求方程：对通解直接求二阶导数即可还原所求方程；或由通解的结构由特征根求出特征方程还原齐次方程；（2）已知非齐次方程的两个或三个特解求方程：用解的结构定理求解；（3）已知非齐次方程和其特解求方程所含常数：将特解代入方程比较系数求解。（4）已知齐次方程和其一个
26、解 求方程通解：可设另一个线性无关解为 ，1y 1()uxy代入方程求出 ，从而求出通解；()ux例 18 求满足下列条件的微分方程（1） ；21Cy（1）解 对通解求导 ， ，得xy21 2Cy，21)(xyy0)4(2dyxyd（2） ；112Cxe（2）解 通解改写为 ，求导得112yCx2()xeyx 3()ey32xye（3） 12(cosinx（3）解 齐次方程通解 ，特征复根 ，则12(cosin)yeCx1ri2()r20r20y设非齐次方程 ，将 代入得 ，故所求方程为()yfx*ye()fxe2例 19 求满足下列条件的微分方程及其通解（1）未知方程为二阶常系数线性方程，且
27、有三个特解 ， ，1xye2xye第 9 章 常微分方程425；3xye解 由题设及线性微分方程解的结构知：非齐次特解 齐次特解123xxye3122xxyeye可知齐次方程有两个线性无关的特解 ， ，特征根为 ，则特征方程为xer，齐次方程为 。210r0y设非齐次方程为 ，将 代入得 ，故所求方程为()fxxye()fxy12xC（2）未知方程为二阶常系数非齐次线性方程，有两个特解 ， 1coss2yx；1sincosyx解 由题设知 ， 为对应齐次方程的两个线性无关的解，特征方程有两个xin共轭复根， ，且 为非齐次方程的一个解。i2设原方程形式为 ，将 代入得()yfx*1cos2yx
28、1()cos()inf x故所求方程为 sinyx12sicsyCx（3）设 有特解e xe解法 1 将 代入方程，得xxy12 xx eee 12342比较系数得 ，解得 ， ，013故原方程为 ，特征根 ， ，原方程通解为xey21r2xCey1xe2 xxeC21， （ ， ）xA212A第 9 章 常微分方程426解法 2 由特解 知 ， 为齐次方程两个线性无关解，2xxyee2x为非齐次方程的特解（自由项 ，则 不是非齐次方程特解） ，所对应齐次xye方程为，320y32非齐次方程为 ，将 代入得xexye(2)(1)x x1故 3xye21xyCee（4）未知方程为四阶常系数齐次线
29、性方程，有两个特解 ，1y2sinx解 由 ，得 ；由 ，得 ，则1xye12r2sinyx3,4ri特征方程为 432()580r所求方程为 (4)yy通解为 1234cos2inxCeCx例 20 求满足下列条件的微分方程通解或特解（1）已知 是方程 的一个解，求其通解xye()()0yy解 设另一个线性无关的特解为 ，则xue，()(xyu ()2()xyue代入方程得 ，设 ， ，则320xp()p(3)ddx 231xpuCe212967xCuxe取 ，得 ，故原方程通解为127,0C()ye221(x xe（2）设方程 的三个解， ， ， ，()ypqyf1y2xe23xy求此方程
30、满足初始条件 ， 的解0(3第 9 章 常微分方程427解 由题设知 ， 为对应齐次方程的两个解，且 常数（线性xe2x 2xe无关） ，则齐次通解为 ；非齐次通解为 21()()xxyCe；21()xyee21(1)xxyCe由 ， 得， ， ，所求特解为(0)3122x xyee8. 二阶微分方程综合题解题思路 （1）利用偏导数关系及全微分条件列方程求函数解析式；（2）利用反函数关系进行反函数代换化简方程求解；（3）利用已知关系建立方程或已知微分方程求幂级数的和函数。例 21 求解下列各题（1）设 满足微分方程 ，且 具有2()zfxy2140zzxy()fu二阶连续偏导数，求 所满足的微
31、分方程，并由此求出fu()fu解 ； ， （ ）()zxf()zyf2uxy；2223()()fufx 223()()zxffuy2 2214()4()0zzfxfyy()0fuf221uufCe（2）已知 为全微分方程，其中()0xyxydxyd具有二阶连续导数， ， ，求 及全微分方程的通解()fx()ff()f解 由全微分方程的充要条件 得MNyx2()2xyfx2()fxf通解为 ，由 ， 得 ，12()cosinfC01C第 9 章 常微分方程42821C故特解为 ，代入原方程得2()2cosinfxx2)(sinco)0yydxxyd21(2)dxcsiyxyC（3）设方程 为某单
32、值函数的全222()()()xfgdgxfd微分，其中 有连续导数，且 ， ，试求,fy0f1(),fyg解 ， ，由题设知()Mxy22()()Nxyxfy2()fgyf比较 的系数得 x2()()fgyf 2()fyf12()cosinfyC21cosingCyy由 ， 得 ， ，故02()g102Csify()csyy例 22 设 在 内有二阶导数，且 ， 是 的反函()x,)0()x()x数。 （1）试将 所满足的方程 变换为 所满足y23(sin)(dxdyy的微分方程；（2）求变换后方程满足条件 ， 的解02解（1） ，1dxy2 2311()()xdyxy 代入原方程得 33(s
33、in)0)(ysinx齐次方程通解为 12xxCe（2）特征根 ， 不是特征根，设 ，代入方程得ricosinyaxb第 9 章 常微分方程429，非齐次通解为 10,2ab12sinxxyCe例 23 设函数 满足 ， ，且 ，(),fxg()fg()()xef(0)f，求(0)g201()fdx解 ，即()fxg()()xfgef()2xfxfe特征根 齐次方程通解为 ri12cosinyC因 不是特征根，设其特解为 ，代入方程可得 ，原方程通解为 1xae1a，由 ， ，得 ， ，则2cosinxyCxe(0)f()g2Ccosinxe200 0()1()()()1 1fxffdfxd
34、00ffgxdx故 20()()11gxffedx例 24 利用微分方程求下列幂级数的和函数（1）已知 满足 （为正整数）且 ，求函数项()nfx1()nxnffe(1)nef级数 之和1nf解 1()()nxnxxnfedCe由 ，得 ， ，则(1)nf0()nxnf1000111()() ln(1)nxxxx n xnnfededede 当 时， 收敛；当 时， 发散；故1)n 1n第 9 章 常微分方程430，1()ln(1)xnfe1,x（2）设 ， ，且 ，求0(),nSxa031a2()0nna(1)()x解 ， ，0nSax 11()nnSax 22()(1)nnSax220()
35、()nnnx22 22(1) (1)0nn nnaxxax即 ，通解为 ，由 ，()0Sx12(xxSCe03S得 ， ，故10a1C2)（3）设 ，满足 ，求 及0()nfxa(xR10()nxnnae()fna解 ， ，代入方程得110()()nnf ax (,)()xfxfe1)2xfCe由 ，得 ，故(0)f12C2x，000()1()!nnnfxx1()2!nna（4）验证 满足方程 ，并由微分方程求出30()!nf xye的和函数30()!nx(fx解 ， ，3301()!()!nnxf31()!nxf321()!nxf第 9 章 常微分方程431323131( )!()!(nnn
36、xxy10!nnxxe其中， 是 的一种加括号级数，收敛级数的任32331()!()!(nnn 1!n意加括号级数收敛于同一和。特征方程 ，特征根20r32ri齐次通解为 ， 不是齐次方程特征根，设其12 23(cossin)xyeCxx1特解为 ，代入方程可得 ，原方程通解为xaa12 2331(cossin)x xyexCe由 ， ，300()!nxf3100()!xnf 1230C故所求和函数为 1230(cos)!xxnfee9. 微分方程的几何应用例 25 试求在过点 的直线束 中使得 为最小的(1,)()yfx220()Jxfdx直线方程解 过点 的直线束 代入积分得 ，(,)(1
37、)k220(1)k令 220 4()()()3dJxdxk得唯一驻点 ， ，故使 最小的直线方程为243J21yx例 26 设曲线 上任意点 处的切线在 轴上的截距等于该点的法线()yx(,)Mxy在 轴上的截距，求x解 处的切线为 ， 轴上的截距为 ； 处(,)My()YyXxyyx(,)My的法线为 ， 轴上的截距为 ，由题意有1()YXx 第 9 章 常微分方程432yxyyx令 ， ， ，原方程化为yzxzz12lnarctnlzzxC故原方程为 ，其极坐标方程为 ( )2lnarctyCxeace例 27 设 在 上连续，且 在 上的平均值等于 与()0fx,()fx0, (0f的几
38、何平均值，求()fx解 由题意 ，即01()()xftdfx0()()xftdfx当 时， ；(0)f当 ，即 时，求导得()fx(0)()02fxff322()()0ffxx伯努利方程，令 ，则上式化为 ，其通解为 12()zfx1()zf111(0)(0)dx dxeCeCf f，2(1()ffx例 28 设函数 二阶可导， ， ，过曲线 上任()yx00y()1()yx意点 作切线及 轴的垂线，两直线与 轴所围三角形面积为 ，曲线(,)PxxS与 轴所围曲边梯形面积为 ，且 ，求02S12()yx解 点 的切线为 ，与 轴的交点为 ，且由(,)xy()YyXx,0)y， 知 ，则()0y
39、x10； 21()2ySx20()xSytd第 9 章 常微分方程433，120()1xyStd2y(0)1令 ， ，方程化为 yudy 2uduy1C由 得 ， ，由 得 ，故(0)yy2xyCe(0)1y2Cxye10. 微分方程在经济分析中的应用例 29 已知某商品的（订货与库存）成本 是订货量 的函数，假设 关于 的变x化率等于订货量的平方与成本的平方之和除以订货量与成本之积的二倍，且 时，1x，求订货与库存的成本函数3y()yx解 由题意知 ，令 ， ，则221dxxyuxxu2()ux12u通解为 , 由 得 ，故21uyC()3f8C8yx例 30 一容器内原有 盐水，含盐 ，现
40、以 的速度注入净水，又0L10kg3/minL以 的速度抽出混合均匀的盐水，问 后容器内剩多少盐/minL6in解 设 时刻容器内含盐质量为 ，则盐的质量浓度为t ()xt()()103210xttt则在 时间内，盐的减少量 盐的抽出量，即,td2xdt10xtt2(10)Cxt由 得 ，故 ，(0)1x50C52()t(6)3.9kg例 31 某湖泊蓄水量 ，湖中含污量为 ，现以 净水量注入湖中，冲淡Va0.1/V天后又以 的速度排出，问 天后湖中含污量比治理前减少多少百分数？0.8/天 10第 9 章 常微分方程434解 设含污量 ，则 ()Xt 0.8.0.212dXXVttt通解为 ，
41、由 得 ，特解为4(10.2)Ct()aC4(.)at， 4.8(.)aX(10).480.52Xa故含污量比治理前减少 052%例 32 设某商品的需求量为 ，供给量为 ，各自为价格 的函数，并知DSP分别对价格 的弹性为 和 ，且当 时，该商品的社会需求量为 ，(),DPSP321P0D供给量为 .0（1）求供求平衡下的平衡价格 ；（2）已知价格相对时间 的函数 的变化率与超额需求量 成正比，t()Pt ()DPS与价格 成反比，且初始价格 ，求 ；P0t（3）当 时， 的变化趋势t()t解 （1）需求价格弹性 ，通解为 ，由 得3dDP13CP0()D，故需求价格函数为10CD03供给价
42、格弹性 ，通解为 ，由 得 ，故供给2dSP2SC0(1)S20S价格函数为 20令 ，即 ，供求平衡下的平衡价格DS203SP150()DPS（2）由题意设比例系数为 ，则k504()dPkkt 分离变量得 ，积分得通解 ，由 ，得450PdtDS0150SktDCe0()P，则 50C0015550()(1)SktSktteP第 9 章 常微分方程435（3） 100515550 0lim()li(1)()SktSktttDDPePP例 33 设方程组 ； ，其中， 表示国民债务，dYtdYt()t表示国民收入， 均为已知常数，()Yt 0,（1）若 ， ，求 和 ；（2）求极限0()D0()()Dt ()limtDY解 （1）由 得通解 ，由 得 ，故dYttCe0Y0C0()te代入方程组得 ，通解为 0tett由 得 ，故 0()D0YC00()tDtYeDY（2）00()limlitttteYY
