1、2013 年大学生数学建模题目： DVD 在线租赁的优化设计 学院 班级 组号 姓名 姓名 姓名 姓名 姓名 DVD 在线租赁的优化设计摘要本文在满足会员 DVD 租赁需求的约束条件下，以 DVD 购买量最小和会员满意度最大为目标，求得最优的 DVD 购买与分配方案。通过查找资料确定每张 DVD 从网站租出到返回网站的服务周期为 15 天，从而得到每张 DVD 在一个月内最多可租赁 2 次。根据问卷调查结果，运用大数定律，得到 10 万个会员中想观看每种 DVD 的人数。会员决定观看 DVD 的时间服从正态分布，由此确定一个月中每天愿意观看此 DVD 的人数，根据需要满足的会员数量得到网站的最
2、小购买量。会员的满意度由会员收到 DVD 的等待时间以及对该 DVD 的偏爱程度共同决定。为了使满意度与偏爱程度数值上成正比关系，将偏爱程度反序定义。DVD 现有数量已知时，以满意度最大为目标，DVD 数量有限等为约束建立0-1 整数规划模型。DVD 现有数量全部为 0 时，从网站管理人员的角度，以最小购买量为目标，以 95%的会员得到想看的 DVD 为约束条件求得最小购买量时的购买方案，在此方案的基础上以总的满意度最大为目标进行 DVD 的优化分配。通过计算，在服务周期为 15 天，网站有 10 万个会员的情况下，为保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能看到该 DVD，应购
3、买的 DVD1-5 的数量分别为 5000,2500,1250,625,250 张；为保证在三个月内至少 95%的会员能看到该 DVD，应准备的数量分别为 3167，1584,792,396,158 张。运用 lingo 软件求解，得到 DVD 现有数量已知时会员满意度最大的分配，总满意度为 24746（理想最大满意度为 27000）.当 DVD 的数量全部为 0 时，得到最优购买和分配方案，使一个月 95%的会员得到想看的 DVD，求得最小购买量为1425 张，在最小购买量的基础上实现满意度最大，总满意度为 19396.从网站经营管理员的角度考虑会员的需求及分配，网站根据会员的分布情况，建立
4、一定数量的配送中心可以减少开支，增加收入。关键字 DVD 最优方案 lingo1一、问题的提出本题提供了一种 DVD 在线租赁业务的经营方式。考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务。会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担）
5、，就可以继续下次租赁。需考虑以下问题：1.1 网站正准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观看这些 DVD 的人数（附表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据） 。此外，历史数据显示，60% 的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10万个会员，对附表 1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD 呢？1.2 附表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000
6、位会员的在线订单，如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前 30 位会员（即 C0001C0030）分别获得哪些 DVD。1.3 继续考虑附表 2，并假设附表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？1.4 如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。二、问题的分析本问题是在既定经营方式的条件下，以网站购买量最小和
7、会员满意度最大为目标对 DVD 购买方案和分配方案进行优化设计。由于会员看完 DVD 后就将其寄回网站，因此一个月内同一张 DVD 可以多次寄出，供多个会员观看。我们将每张 DVD 从网站寄出到返回网站所经历的时间称为一个服务周期。每张 DVD 可以服务的会员数量是由每张 DVD 的服务周期所2决定的。整个周期是由寄往会员的时间长度，会员观看的时间长度，寄回网站的时间长度三部分相加而得。通过查找资料和实际情况分析，确定一个服务周期为15 天。假设每个月都为 30 天，则一个月内一张 DVD 可供 2 个会员观看。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务，当会员对某种DVD 有兴趣
8、时，就提交订单，然后网站进行分配。当会员提交了一次订单后，网站即根据统一安排在适当的时间向该会员寄去一次 DVD，其中含三张 DVD；若会员再提交订单，网站再重复以上过程。但由于每个会员租赁的次数不能超过两次且 DVD 数量有限，因此，一个月中，有部分的会员租赁了两次，一部分会员只租赁了一次。根据对 1000 个会员的问卷调查得到的愿意观看各 DVD 的人数，由于各种DVD 是相互独立的，根据大数定律，可将各 DVD 观看人数在总人数中所占比例视为每位会员愿意观看此 DVD 的概率，从而得到了愿意观看各 DVD 的人数。将在一个月中会员决定观看 DVD 的时间视为正态分布，于是可确定每个时间段
9、愿意观看此 DVD 的人数。根据网站需要满足的会员总数以及不同时段愿意观看各张 DVD 的人数即可确定每张 DVD 的需求量。 对于会员所提交的订单，网站需以会员总满意度最大为目标来进行优化分配。会员总满意度是所有会员的满意度之和，而每一个会员的满意度由收到 DVD 的等待时间和所收 DVD 的偏爱程度二者共同决定。因此，在设计分配方案时，应考虑将 DVD 按会员偏爱程度由高到低依次分配，但同时也要考虑使每位会员得到 DVD 的时间尽可能短。此处需考虑两个约束条件，即每个会员的租赁次数不得超过两次以及 DVD 数量有限。由此，我们可以建立一个以满意度最大为目标，以租赁次数和 DVD 数量为约束
10、的优化模型。假如 DVD 的现有数量全部为 0，考虑网站购买各种 DVD 数量，并要使 95%的会员得到想看的 DVD。由于每个会员每月最多可获得六张 DVD，但订单上的数量远多于此，且有可能多个会员愿意观看同样的 DVD，因此网站不可能将所有会员的愿望全部满足。因此，将“得到他想看的 DVD”等价为“ 得到的 DVD 在他想看的若干张 DVD 范围之内”。因此，只要网站满足了会员需求中的任一需求，就可视为“使会员得到了他想看的 DVD”。从网站经营管理人员的角度，为实现利益最大化，应尽可能降低成本，所以应以 DVD 购买量最小为目标，以 95%的会员得到想看的 DVD 为约束条件，来设计出最
11、优的购买方案。然后在此最小购买量3方案的基础上，以满意度最大为目标进行 DVD 的优化分配。对于 DVD 的分配，由于一个月内每张 DVD 可以被租赁 2 次，即为 2 位会员提供服务。因此一个月中该网站共需进行 2 次分配，在每次 DVD 回收后即进行下一次分配。因此，现在需要制定出一个月的完整分配方案，即包括 2 次分配。从网站经营管理人员的角度，在 DVD 的需求预测、购买和分配过程中，分析相应资料，可以知道 DVD 的邮递既要考虑自己出的邮费，又要提供给会员快的服务。知道了相应需求情况和地区的分布情况后，可以在不同地点设立配送中心，提高网站整体服务水平。分配的服务方式可以考虑是否改成
12、2 次 4 张或 3 次6 张等情况。在现有的条件下，减少服务周期，以提高会员满意度最大和快递费用最小为目标，来设计优化的库存方案和服务方式。三、模型假设与符号假设3.1 会员看完 DVD 后即将其寄回，不会无故拖延；3.2 所有会员向网站提交一次订单后，网站仅向该会员邮寄一次；若会员再有需求，则需再提交一次订单，网站第二次邮寄给该会员。3.3 每个会员每月最多可租赁两次；3.4 每月均为 30 天。.2,1;0,21;0,21kji参数及符号 含义 单位jil反序定义后的偏爱程度T 同一张 DVD 相邻两次向外租赁的间隔 天m 同一张 DVD 每月向外租赁的最大次数 次ijG第 i 个会员对
13、收到的第 j 个 DVD 的满意度iM分配过程中给第 i 个会员邮寄次数 次js第 j 种 DVD 总量为 js张ikY DVik个 会 员 邮 寄次 分 配 网 站 是 否 给 第表 征 第0 或 1ijX j种个 会 员 邮 寄 第次 分 配 网 站 是 否 给 第表 征 第0 或 14四、模型的建立4.1 建模准备4.1.1 确定每张 DVD 在一个月中的可提供服务的次数一张 DVD 从网站寄出到最终回到网站的服务周期为 。T 由网站给会员邮寄DVD 用的时间 ，会员观看 DVD 的用的时间 ，会员邮寄 DVD 回网站用的时1t 2t间 相加而得。3t=15321ttT假设每个月天数是相
14、等的，为 30 天，那么一张 DVD 每个月可以租赁的次数为.次230Tm4.1.2 满意度的处理为了使会员的满意度与偏爱程度在数量上成正比关系，将原题中的偏爱程度反序定义，即偏爱程度原来为 1 现在定义为 10（原来为 0 的定以后也为 0） 。假设 为原体中第 i 个会员对第 j 个 DVD 的偏爱程度， 为反序定义后的偏移系jil jil数，那么 0,1jijijill会员对收到的 DVD 的满意度与他对该 DVD 的偏爱程度有关，还与他收到该DVD 的时刻有关。比如，对于偏爱程度为 1 的 DVD,如果会员在月初就收到了该DVD,那么他的满意度就明显要比他在月末就收到了该 DVD 时的
15、满意度高。我们引入系数 来表征会员收到 DVD 的时刻对满意度的影响。定义于是可得到第 i 个会员对收到的第 j 个 DVD 的满意度：.30,21,30t jijilG4.2 根据愿意观看各 DVD 人数和网站需满足的人数确定最小购买量5大数定律 表一中给出了问卷调查的 1000 人中各 DVD 的愿意观看的人数，由于各DVD 是相互独立的，根据大数定律，可以将每种 DVD 的愿意观看人数在总人数中的比例视为每个会员本月中观看该 DVD 的概率。设 为每个会员愿意观看第 种 DVD 的概率 ，则有iPi )5,4321(i01.25.0.10254321PP在现实中，一部新电影对人的吸引力与
16、外界的宣传力度有关，人们在一定程度上了解了新电影的价值之后才会决定是否去观看。通常一部热卖的电影在上映10 天左右达到票房收入的高潮，在上映一个月之后将淡出人们的视眼。我们可以将网站购买的 DVD 看成热卖电影，人们决定观看一部新电影的时间 t 可以认为服从正态分布 。在这里可以认为 .由正态分布的 原则，即正态),;(t 103分布的随机变量落在 概率接近 1，可以取 .3,7会员在 内决定观看 DVD 的概率为：),21t问卷调查得到的愿意观看各 DVD 的观看人数愿意观看各DVD 的总人数会员决定观看 DVD 的时间成正态分布各时间段愿意观看各DVD 的人数需满足的会员数每张 DVD 的
17、需要购买量6)710()(21tttP4.2.1 对于使希望看到该 DVD 的会员中至少有 50%在一个月内能够看到该 DVD的情况以 DVD1 为例，由大数定律得到共有 20000 人想看 DVD1.我们可以得到在 之前决定看 DVD1 的人数为 02tP15310t类似的求得之后每天决定看 DVD1 的人数分别为454，546，642，741，837，927，1005，1069，1113，1136，1136，1113，1069，1005，927，837，741，642，546，454，370，296，232，178，134，99，71，50，35，24.网站每天分配一次 DVD，那么第一次
18、分配的 DVD 在 第 15 天收回后可以再次分配;第二次分配的 DVD 在 第 16 天收回后可以再次分配。依次类推可得当DVD1 的数量为 5000 时可以满足希望看到 DVD1 的会员中至少有 50%在一个月内能够看到该 DVD。用类似的方法求的 DVD2-5 的数量至少为 2500，1250 ，625，250.4.2.2 对于保证三个月内至少 95%的会员看到想看的 DVD 的情况3 个月一张 DVD 共可以发放 6 次，于是对于 DVD1 有以下关系式成立：%9520n因此 DVD1 至少需要 3167 张。用同样方法可以得到此时 DVD2、DVD3、 DVD4、 DVD5、的购买量
19、为1584、792、396、158.4.3 建立最优分配模型（模型一）现有当前需处理的 1000 位会员的在线订单以及网站手上的 100 种 DVD 的现有张数，需考虑在现有每种 DVD 数量的约束条件下，网站进行一次 DVD 分配，使会员满意度最大，并得到分配方案。订单各 DVD 偏好程度满意度最大收到 DVD 的时间最有分配方案7首先，定义变量 DV.,01个 会 员 邮 寄网 站 没 有 给 第 ；个 会 员 邮 寄网 站 给 第 iYi ., jiXij 种个 会 员 邮 寄 第网 站 没 有 给 第 ；种个 会 员 邮 寄 第网 站 给 第如果给第 i 个会员邮寄 DVD，那么该会员
20、得到的 DVD 数量为 3，如果不给第 i 个会员邮寄 DVD，那么该会员得到的 DVD 数量为 0，于是有：ijijYX310由于网站的每种 DVD 有一定的数量限制，因此，向所有会员所寄出的第 j种 DVD 总量 需满足此约束条件，即：js jiijsX10模型中所定义的满意度是由偏爱程度和收到的时间二者相乘而得，但由于此处仅考虑某一次的分配，并且在制定了分配方案后，网站同时将 DVD 寄往所有会员，因此各会员收到 DVD 的时间相等，满意度就仅由对 DVD 偏爱程度的差异所决定。因此，每个会员的满意度可表示为 由此可得会员总满意度表达式：ijlX10ijjilG于是可得到最优分配模型：
21、maxjiijijijsXYts103.4.3.1 以购买量最小与满意度最大为目标设计最优购买与分配方案现假设附表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0，网站需首先购入这些 DVD，再各 DVD 现有数量8将其根据会员的订单进行合理分配。因此，应以实现购买量最小为目标，以一个月内有 95%的会员得到想看的 DVD 为约束条件来建立模型，得出购买量最小时的购买方案。然后在此最小购买量方案的基础上，以满意度最大为目标进行 DVD 的优化分配。对于 DVD 的分配，由于一个月内每张 DVD 可以被租赁 2 次，即为 2 位会员提供服务。因此一个月中该网站共需进行 2 次分配，在每次 DVD 回收后即
22、进行下一次分配。因此，现在需要制定出一个月的完整分配方案，即包括 2 次分配。总体框架如下：约束4.3.1.1 建立最小购买量模型（模型二）首先，定义变量（以下 ）2,1k .,01 DViYik 个 会 员 邮 寄次 分 配 网 站 没 有 给 第第 ；个 会 员 邮 寄次 分 配 网 站 给 第第 ., jiXijk 种个 会 员 邮 寄 第次 分 配 网 站 没 有 给 第第 ；种个 会 员 邮 寄 第次 分 配 网 站 给 第第整个分配过程中给第 i 个会员邮寄次数 ， ，则有关系式：iM1,0iikiY21订单偏好程度各 DVD 现有数量均为 0满意度最大收到 DVD的时间购买数量最
23、小最优分配方案95%的会员得到他想看的 DVD9每次分配如果给第 i 个会员邮寄，那么该会员得到的 DVD 数量为 3，于是有关系式 ikjijYX310每次分配第 j 种 DVD 需满足该 DVD 的总量约束，由于每次第 j 种 DVD 总量为 ，因此有：js jiijksX10会员满意度是由会员偏爱程度和收到 DVD 时刻共同决定的，由此可得会员总满意度表达式： 21030)1(5kijjijkklXG整个分配过程中给第 i 个会员邮寄次数 ， ，则一个月内网站所iM,i邮寄的总次数为 ，此处需考虑约束条件：使一个月内 95%的会员得到想iiM10看的 DVD。首先，将“得到想看的 ”等价
24、为 “得到的 DVD 在想看的范围之内”。引入变量 ijl 范 围 之 内个 会 员 想 看 的不 在 第种第 范 围 之 内个 会 员 想 看 的在 第种第 DViDVijlij,01寄给会员的 DVD 应是在会员想看的 DVD 范围之内，即满足： ijkijijkXl其次，网站所服务的总人数不能小于 1000 95%. 由于假设 3.2，对于一张订单，网站只考虑向各会员寄一次 DVD；若会员第二次再提出订单，才考虑是否寄第二次。因此，对于附表 2 这一张订单，只需考虑向每个会员要么寄一次，要么不寄。因此，网站邮寄的总次数 就等于网站服务的总人数，可得到约束条10iiM件为：10%95101
25、0iiM由此可建立最小购买量的模型： 10minjs%95103.10102iijiijkijkijijiijkiikMsXlYMts.4.3.1.2 建立最小购买量下的最大满意度模型（模型三）求得最小购买量时的购买方案后，以购买的各种 DVD 的数量作为各种 DVD的现有数量，以会员满意度最大为目标，使 95%的会员得到想看的 DVD 为约束条件，建立最小购买量下的最大满意度模型，确定最优分配方案。 Gmin%95103.10102iijiijkikjijikiMsXYMts五、模型的简化与求解5.1 最优分配模型（模型一）的求解由程序 1 得到反序定义的偏爱程度，使满意度和偏爱程度在数量上
26、成正比关系。该问题的模型是 0-1 整数规划模型，通过 lingo 软件求解（程序 2） ，得到最11优的分配方案如表 1（仅列出前 30 位会员的情况） ，此时会员的满意度为24746(理想的最大满意度为 27000).表 1 前 30 位会员 DVD 分配方案会员 获得的 DVDC0001 D008,D041,D098C0002 D006,D044,D062C0003 D032,D050,D080C0004 D007,D018,D041C0005 D011,D066,D068C0006 D019,D053,D066C0007 D026,D066,D081C0008 D031,D035,D0
27、37C0009 D053,D078,D100C0010 D041,D055,D085C0011 D059,D063,D066C0012 D002,D031,D041C0013 D021,D078,D096C0014 D023,D052,D089C0015 D013,D052,D085C0016 D010,D084,D097C0017 D047,D057,D061C0018 D041,D060,D078C0019 D066,D084,D086C0020 D045,D061,D089C0021 D045,D050,D053C0022 D038,D055,D057C0023 D029,D081,D0
28、95C0024 D037,D041,D076C0025 D009,D069,D08112C0026 D022,D068,D095C0027 D050,D058,D078C0028 D008,D034,D082C0029 D026,D030,D055C0030 D037,D062,D0985.2 最小购买量与最大满意度分配问题的求解5.2.1 最小购买量模型（模型二）的求解网站分两次向会员邮寄 DVD,采用 lingo 编程求解(程序 3)，得到最小购买总量为 1425,各种 DVD 的最小购买数量为表 2 各种 DVD 的最小购买数量D001 7 D021 5 D041 13 D061 11
29、D081 16D002 4 D022 10 D042 17 D062 21 D082 16D003 4 D023 7 D043 6 D063 24 D083 19D004 6 D024 13 D044 10 D064 9 D084 12D005 7 D025 10 D045 6 D065 22 D085 22D006 5 D026 8 D046 8 D066 20 D086 20D007 6 D027 9 D047 14 D067 19 D087 26D008 17 D028 9 D048 10 D068 15 D088 15D009 11 D029 6 D049 6 D069 22 D089
30、 17D010 5 D030 9 D050 15 D070 22 D090 30D011 8 D031 14 D051 15 D071 15 D091 15D012 7 D032 11 D052 16 D072 15 D092 18D013 4 D033 8 D053 21 D073 14 D093 27D014 16 D034 9 D054 8 D074 21 D094 24D015 7 D035 14 D055 12 D075 22 D095 27D016 7 D036 2 D056 10 D076 20 D096 23D017 16 D037 5 D057 9 D077 21 D097
31、30D018 6 D038 15 D058 16 D078 23 D098 3413D019 13 D039 13 D059 14 D079 18 D099 31D020 3 D040 5 D060 19 D080 20 D100 415.2.2 最小购买量下的最大满意度模型（模型三）的求解在求得各种 DVD 的最小购买数量后，编写 lingo 程序，得到最大满意度时的分配方案，最大满意度为 19396.通过统计每个地区的租赁需求量，得到需求的分布，根据需求量和地区的距离进行归类，得到建立分配中心的多少，大小和服务的区域。设第 j 个地区的需求量(以会员的数量为准)为 Dj(j=1,2,n);
32、Rij 是第 i 个地区与第 j 个地区之间的距离。打算分成 m 个区域 Sk(k=1,2,m)，每个区域建立一个配送中心。 njjkS11(i.j=1,2,m)ji各个区域中的地区尽量相临。区域 m 的数量与网站决定的建设的配送中心个数有关，这将根据实际会员总量决定。六结果分析与检验6.1 问题一中的结果与 DVD 一个月可以周转的次数有关，网站如果采取措施减少服务周期可以大大减少 DVD 购买量。6.2 最优分配模型（模型一）采用了 lingo 软件求解的求解方法，可以求得最优解。但是当会员数和 DVD 种类变多的时候，模型中变量数递增的速度是很快的。14开始剩余会员取偏爱程度最大的3 个
33、 DVD,会员按这三个DVD 偏爱程度之和排序假如前 n 个会员的偏爱程度之和相同，产生一个 0到 n 的随机数 I，那么第I 个会员先发n=n-1n=0将剩余会员中想看 k 种DVD 的会员的第 k 种DVD 偏爱系数置 0所有会员发完或剩余 DVD 种类少于3有 DVD 缺否否否是是是156.3 问题 3 中考虑双目标模型，采用主要目标法求解。以 DVD 最小购买量为主要目标，而满意度考虑在（17000，25000）内，建立以下模型。 10minjs25017%93.10102GMsXlYMtsiijiijkijkijijiijkiik应用 lingo 软件求解可以得到一个可行解，购买量为
34、 1696.在此购买量分布情况下求得满意度为 20143.这与原模型的结果是很接近的。采用原模型求解是可行的。七、模型的优缺点与改进方向7.1 模型评价7.1.1 最优分配模型（模型一）解决了对于既定订单的 DVD 在线租赁与分配问题，对于现实问题有一定应用价值。7.1.2 在解决最优购买与分配问题时，建立了最小购买量和最大满意度两个模型。首先，从网站管理者角度出发，通过最小购买量模型，以购买量最小为目标求得最小购买量方案，从而实现成本最小。然后使用最小满意度下的最大满意度模型（模型三）在此最小购买量方案上再进行优化分配，使会员满意度最大，从而能最大限度的留住老会员，并不断吸引新会员的加入，因此成功实现了网站的利益最大化，符合现实情况中的经营目标。7.2 模型改进结束16实际中还碟和订购的时间并不是固定的，而且会员看完 DVD 所需要的时间和偏爱程度有关，即偏爱程度越高，观看时间越短。考虑这个因素能够更好的反映现实情况。八、参考文献1 钱颂迪等， 运筹学 ，北京：清华大学出版社，1990 年 1 月第 2 版2 姜启源， 数学模型（第二版） ，北京：高等教育出版社，1993 年 8 月第 2 版
