1、2015年考研数学讲座第5962讲（线性方程组四讲）第59讲。解集理论“滚瓜熟”齐次线性方程组Ax = 0解集自身的特点，形成了一定程度的理论知识。即“齐次线性方程组解集构造理论”。这是线性理论的起点。大学数学讲授“齐次线性方程组解集构造理论”，集中于（1）齐次线性方程组Ax = 0解集是n维（列）向量集合。它对于向量线性运算是封闭的。即，任意有限个解向量的线性组合也是该方程组的解。（2）齐次线性方程组Ax = 0解集秩 = n r（A）*（3）齐次线性方程组Ax = 0解集与n r（A）维空间成功一一对应。已知解集的秩，在此控制下，有“向量法”组装通解。另一方面，齐次线性方程组解集构造理论，
2、回过头来也是讨论矩阵秩的工具。它贯穿于大学线性代数教材始终。尤其在特征理论基础部分要反复运用。是考研数学年年必考的考点。很遗憾的是，多数国内本科教材并没有突出这一点。1 齐次线性方程组解集理论， 向量是 一个齐次线性方程组Ax = 0的解。齐次线性方程组Ax = 0的 要 是 “方程组有 解， 是 有 一的 解 ”解的定 ，任意有限个解向量的线性组合 是 方程组的解。即，齐次线性方程组解集，对于向量线性运算具封闭性。（ 解向量的线性组合是 是解，代 齐次线性方程组 算 算。）A是m n 矩阵。m个方程n个 知量的齐次线性方程组Ax = 0 有一个 解向量，对任意数c ，向量c是解。这是curr
3、ency1，齐次线性方程组 有一个 的解向量，它有“多个解向量。fifl 算出解集的秩 ? “ 数矩阵A的秩r ，齐次线性方程组 Ax = 0解集的秩 = r (A ，矩阵A的秩r ，即是A的向量组的秩r 。它”，齐次线性方程组中多有r个方程 。一个方程 解出一个 知量。r个 的方程fi解出r个 知量。方程组有n个 知量，下的r个 知量fi自 。这r个自 知量的 一组， 一出一个解向量。方程组Ax = 0的个 的解向量，必定对应 的组自 知量。r个自 知量 其 成有组，是r维向量。”，齐次线性方程组Ax = 0的解向量集合与“ r维向量”成功一一对应。此(在一一对应意 下) 出，齐次线性方程组
4、 Ax = 0解集的秩 = r (A（ 理解 “集 ， 有 一对一 。）齐次线性方程组解集对于线性运算具封闭性， 它成功“向量空间”。 方程组Ax = 0的解空间。n维向量空间的一个r (A 维 空间。（ 要 “空间” 。 要知，任意一个向量集合，要它对于线性运算具封闭性，它成功向量（ ）空间。 此 已）（ 对 理解， 面的 一 线，是 面的一个 维 空间。）基础解 齐次线性方程组 Ax = 0解集的大组， 齐次线性方程组的基础解。它有r (A个解向量1“ ” 一 数矩阵A的秩r (A ，即A0阵，解集秩0 = ，解空间是个n维向量空间。数矩阵A的秩r (A 大 ，解集的秩 ， r (A =
5、，解集秩n = 0 ，齐次线性方程组有 一的 （ 向量）解向量。是A的列数， currency1过，“齐次线性方程组Ax = 0 有 解的分必要 是，A的列向量组线性。”2 用齐次线性方程组解集理论讨论矩阵的秩数向量c b = 0， 反 ，数c = 0 ， 向量b = 0（向量）。矩阵 AB = 0没这简单了。AB = 0的基本 理 AB = 0（阵） 即 （A b 1，A b 2， ，A b s）=（0，0， ，0） A b j 0 ，B的 一个列向量是方程组Ax = 0的解。 （ B 的列向量组 被方程组Ax = 0的基础解线性示。） r (B 方程组Ax = 0解集的秩 = n r(A
6、r (B + r(A n特殊情形 A与B是 0方阵，AB = 0 ， |A| = 0，|B| = 0矩阵秩的 总结 第一个 超过 ， 自 超过 。 秩r (Amn mi（m ，n）特殊情形 r (Amn m ，必有n m，且给A再添加多少列，r (A也 变。第二个 超过 ， 秩 超过 秩 r (AB mi（r(A ，r(B）特殊情形 A是满秩方阵， r (AB r(B这里有个解释方法， ，A是满秩方阵，有A (AB B，位 换。， A满秩的要 是，A是 干初 阵的连 。第三个 超过 ， 超过 Amn B = 0 ，r (B n r(A r(A) + r (B n（ 要会讨论矩阵 秩 ，熟记 三
7、个 超过 。）例67 已知（n维）列向量组a1，a 2， ，a k线性，A是mn 矩阵，且秩n，试 ”，Aa1，A a 2， ，A a k线性分析 有一组数c1，c2， ，c k，使得 c1Aa1+ c2Aa 2+ + c k A a k = 0即 A（ c1a1+ c2a 2+ + c ka k ） = 0 这currency1” c1a1+ c2a 2+ + c k a k 是方程组Ax = 0的解。（ 向量的线性组合， 示一个向量。请对 例40， A是 逆方阵，端左 A的逆。）但是，r (A) = n ，A的列向量组a1，a 2， ，a k线性， 方程组 有0解。故 c1a1+ c2a
8、2+ + c ka k = 0 已知线性性得常数皆0例68（续完例31 ） An 方阵。 r (A 时 ，r (A* 分析 r (A ，A至少有一个 ；A* ，r (A* 又，r (A ， |A| ， “基本恒 ” 有 AA* = 0这” A* 的任意一个列向量，（即A的任意一的代数 ），是方程组Ax =0的解。于是， A* 的列向量组 被方程组Ax = 0的基础解线性示。r (A* 方程组Ax = 0的解集的秩 = n r(A 夹逼得 r (A* 例69 矩阵A与B满足AB = 0 （ 矩阵），必有2（A）A的列向量组线性，B的向量组线性。（B）A的列向量组线性，B的列向量组线性。（C）A的
9、向量组线性，B的向量组线性。（D）A的向量组线性，B的列向量组线性。，分析 A与B是 矩阵，故 r (A ，r (B AB = 0 ”B的 一个列向量是方程组Ax = 0的解。B ，齐次线性方程组有 解。A 的列向量组线性。答案在（A），（B）知B有几列， ，B 有1列。 fi确定currency1B的列向量组线性。 斥法，fi选（A）。换一个思路，转置得 BA = 0 ， 得B的列，即B的向量组线性。例7 试 ”矩阵AB和B的秩 的分必要 是，方程组ABX = 0的解是方程组BX = 0 的解。分析 分性 方程组ABX = 0的解是方程组BX = 0 的解。方程组BX = 0的解自 也是方程
10、组ABX = 0的解。个齐次线性方程组解。故r (AB r (B 即 秩r (AB) = r (B必要性。 秩r (AB) = r (B，应的个齐次线性方程组解集的秩 。又 方程组BX = 0的解是方程组ABX = 0的解，从 方程组BX = 0的基础解也是方程组ABX = 0的基础解。故方程组ABX = 0的解也是方程组BX = 0的解。（ 本例 与 下 理对 个向量组的秩 ，且其中一个向量组的 一个向量 另一组向量线性示，这个向量组 价。 ( 之下， 是 秩 ， 的信息很少很少。）例7 把齐次线性方程组 0,0,03213213221xxxxxxxxx的数矩阵记A， 有三 阵B，使得 0A
11、B ，（A） 02 B且 ； （B） 02 B且 ；（C） 01 B且 ； （D） 01 B且 .分析 已知得 0AB ，B的 一个列向量是齐次线性方程组Ax 的解. 但A与B是 0阵，故 |A| = 0，|B| = 0， 2 ，算得 0A ， 应选答案（C）。( AB = 0的 理熟，才会下意识 算数列 。这是高级思维。例72 已知96342321tQ ，P三 阵，且满足 0PQ ，（A） 6t 时，P的秩必 （B） 6t 时，P的秩必2（C） 6t 时，P的秩必 （D） 6t 时，P的秩必2分析 已知 0PQ , Q的 一个列向量是齐次线性方程组 0Px 的解6t 时Q的秩 ，P x =
12、0 解集的秩 3R(P R(Q , R(P2又已知矩阵P ，即R(P ,法再进一步夹逼。故（A）、（B）皆 fi 必 。是答案。6t 时 ，Q的秩2 ， 0Px 的解集秩 = 2)(3 PR ， 1)( PR已知 1)( PR ， 有 1)( PR ，应选答案（C）。3第60讲。组装通解“向量法”在解集理论指导下，解齐次线性方程组Ax = 0 ，需求出 “基础解”，即r (A个解向量组成的大组，它具任意数的线性组合是通解。那r (A个数是r (A个 常数。这个过程叫“向量法求通解”。向量法解齐次线性方程组的计算程 （1）（用初 变换）求数矩阵的秩r (A，算出解集的秩 = r (A（2）挑出应
13、的r个 的方程。确定r个自 知量。( 当 是 的r (A 在的r应的r个方程。)（3） ，逐次r 个自 知量r 维的单位向量组，代回那r个方程，算得r个 知量的。再返回将r 维的单位向量组“延长”（n维）解向量组。“线性，延长”。 “延长” 得解向量组是基础解。（4）写出通解。高 数学解“常数齐次线微分方程”，也是这样“组装通解”。例75 n 方阵A的秩1 ，且已知代数 A11 ， 齐次线性方程组Ax =0的通解（ ）分析 解集的秩 = r (A ,一个 解即基础解。A 满秩，有 |A| ，A A* = ，A* 的列向量是 Ax = 0 的解A11 ， 解向量 （A11，A12， ，A1n）组
14、成基础解。通解x = C 例76 解齐次线性方程组 0AX（1） 13345622103112311111A （2）n 方阵 abbbbabbbbabbbbaA分析（ ） 对A作初 变换0000000000622101111162210622106221011111A2)( AR ，解集的秩 325 ，选解方程组 543254321622 xxxxxxxxx分别自 知量组 ),( 543 xxx 3 维的单位坐标向量组)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1( ，代 方程算得应其它 知量。4线，延长，求得基础解 )0,0,1,2,1(1 ， )1,0,0,6,5(,)0,1,0,2,1(
15、32 齐次线性方程组的通解 332211 cccX 分析（2） 方阵A 元素的和定 abn )1( ， 这个特点易算得1)()1( nbabnaA根据G法，当 ba ，且 bna )1( 时 ， 0A ，齐次线性方程组 有 解。当 ba 时， ， 1)( AR ，解集秩 1 n ，真正 的方程有1个 ，即021 nxxx （端消 了b）自 知量 ),( 2 nxx 1nR 中的单位向量组，算得基础解),1,0,0,1(),0,1,0,1(),0,0,1,1( 121 n112211 nncccX 通解 bna )1( ，对数矩阵A 作初 变换（ 提出 数b）nnnnnnnnnnnnnnA111
16、110000000000001111111111111111111111111左角的 1n 。 1)( nAR ，解集的秩 1 ，前 1n 个方程 。自 知量 1nx ，有基解 )1,1,1( ，齐次线性方程组的通解 cX 例72 有方程组（） 004321xxxx， 又已知另一个齐次线性方程组（ ）有通解)1,2,2,1()0,1,1,0( 21 kkX（ ）求方程组（）的通解；（2）个方程组有没有 的解 有求出部解。没有，要currency1”理 。分析 （ ）是 的。对 （2） 将方程组（ ）的通解 向量 ),2,2,( 221212 kkkkkk 代方程组（）， 解的定 得恒 021
17、kk于是， 21 kk 时 ，个线性方程组有的 解5)1,1,1,1( cX用矩阵方 来 本例中的讨论过程，有 下的 把组（ ）的通解 2211 kkX 代 齐次线性方程组 0AX 得0)(021212211 kkAAAkAk 即这从理论把 了部解。即 ),( 21 kk 知向量，解 的齐次线性方程组。 有 解，方程组没有 解。有 解，把 求得的通解向量代 2211 kkX ， 得部解。（ 方程组 方程组 。）方 方 一 方案。即本例的方程组（）的数矩阵中数，讨论解的 在性。例73 向量 , 21 s 是齐次线性方程组 0AX 的一个基础解。作向量组1213221222111 , tttttt
18、 ss 其中， 1t 和 2t 是数。试 21,tt 满足时， s , 21 也是方程组0AX 的一个基础解。分析 齐次线性方程组 0AX 的解向量的线性组合 是解。且 给向量组 也 有s个解向量，故本 的 在于 ”，向量组 s ,1 线性。试 变 方 12212212121000000000),(),(tttttttss 要 端的 ss 矩阵满秩，向量组 s ,1 的秩也是 s， 第1 矩阵的列 ， 算得列 sss tt 211 )1( 要列 0 ，需 sss tt 21 )1( ， s 数， 21 tt ； s 数， 21 tt *例7 nmA 是 矩阵，试 ” 秩 )()( ARAAR
19、秩分析 讨论齐次线性方程组 0AXA 和方程组 0AX 的解性。 方程组解，必有数矩阵秩 。 在于， 样 ”方程组 0AXA 的解是方程组 0AX 的解。，有 6向量的 长才是 X 是方程组 0AXA 的解， 应用内 来计算向量AX 的 长 )(0,0)()(2 向量即 AXAXAXAXAXAX（ 特殊情形 “ nA是 对 阵，必有秩 )()( 2 ARAR ”）第61讲。正 来 内 ， 向量与正 。在三维空间，正 是 。在一的n维空间，正 是 的 。1 用正 齐次线性方程组Ax = 0的解用正 ， 给齐次线性方程组Ax = 0的解向量一个 的意 向量是齐次线性方程组Ax = 0的解向量的分必
20、要 是，与currency1的 个向量正 。一个几 例 a1，a2是个线性的3维列向量，（即 。）在三维空间内思考齐次线性方程组 (a1，a2) x = 的解集，是一个很有的几 “ 。个 的数向量a1，a2必定 于一 面。 于a1，又 于a2的向量 是解，但它也必 于此 面。反之， 面的任一法向量必定 于a1，又于a2，是这个方程组的解。解集的秩 。向量内 满足 换。 已知齐次线性方程组Ax = 0的k个解， ， ，fi ，作 的齐次线性方程组（ ， ，fi）x = 0 ， 方程组的 个数向量转置列向量，是这个 方程组的解。例77 已知A 是 nn 2 矩阵，且 n2 维列向量组 nyy ,1
21、 是齐次线性方程组 0AX 的基础解。作线性方程组（ ） 0BX ，其中B是 nyy ,1 fl次向量 成的矩阵。试给出组（ ）的基础解，并currency1”理 。分析 已知得 AnArnArn ,)(,)(2 即 的向量组线性。把已知基础解 示矩阵 0),( 1 nyyA 端时转置，正 得 0AB ，秩r（ ） 这样一来，A 的 n个列向量即A 的n个向量，是方程组 0BX 的解。再对组（ ）运用基本定理, 解集的秩 nBRn )(2这是currency1，矩阵A 的 n个列向量即A的 n 个向量， 是齐次线性方程组（ ）的基础解。例78 维向量组 a1，a 2， ，a k 线性，fi ，
22、 它 数作有k个方程的齐次线性方程组。 向量是这个方程组的 解。试 向量组a 1，a 2， ，a k，线性。分析 有一组数c1， ，c k，s ，使得 c1 a 1+ + c k a k+ s= 0是齐次线性方程组的 解，它必与数向量正 。端分别和作内 ，得 s = s= 0 ，有 s = 0 代回 得 c1a1+ + c k a k = 0 ， 已知线性得，数072 标正 组与正 阵在高级 中，把向量空间的大组 空间的坐标基。简 基（ 基）。齐次线性方程组的基础解是其解向量空间的基。论在理论 应用中，需要选正 ， 长皆1的基向量组。 “标正 组”。 “标正 基”。*空间解析几 ” 角坐标，
23、三个坐标方向的单位向量i，fi基向量组，给出了向量的坐标。i，fi是三维向量空间的一组标正 基。定 （正 阵） 列（ ）向量组是标正 组的n 方阵 正 阵。例80 A是n 方阵， ”，A是正 阵的分必要 是，A = A分析 A的列向量组是标正 组， 算得 AA = E于是 A A A A ， | A|2 ， | A| ， | A| （ 有 正 阵。）A* | A|A ，即有 A* A = A ， a i A i j对 列 定理，且再次意| A| ，即知A的列（ ）向量组是标正组。（ A的列向量组是标正 组 ，向量组也是。）3 特正 方法需要， 用特正 方法，把已知的大组 造标正 组。（ 教材的
24、这个方法被 “有数 定性，已被 进。）特正 方法要点 造三维向量空间里的线性组， 例。（1）将单位 。 记 （2）选 +，用 与 正 的 方程确定c，单位 ，记 2（ 这是在， 确定的二维 空间里挑选“ ”。）（3）选 + 2 + ，用 与 ，又与2正 的 确定s t，单位 ，记 3例 求方程组 04321 xxxx 的一个标正 的基础解。分析 1)( AR ， 解集秩 314 ， 有基础解,)0,0,1,1(1 ,)0,1,0,1(2 )1,0,0,1(3 用特正 把这组基解换标正 的基解。选 )0,0,22,22(1 ，即 1 的单位 ，2112 c ， 2 是一个解向量，运用正 性求出
25、1c ，即 2111121 ,0 c 算得 22, 211 c 0,36,66,66,0,1,21,212222212 单位 得把8 322113 cc ， 3 也是一个解向量，再要求 3 分别与 1 ， 2 正 ， 算得 66,22, 322311 cc 23,63,63,63,1,31,31,31662233213 向量内 ，贯穿线性代数 。向量 ，线代 。基本工具，法回 。有 考研， 第62讲。有解解论在 有了的基础理论，解线性方程组Ax = b的工作将完程 。1 线性方程组Ax = b有解的分必要 解线性方程组Ax = b的 要 是，“这个方程组有解 是解 ”（1）“线性方程组 A x
26、 = b有解的分必要 是，向量b 被A的列向量组线性示。”要把数矩阵写列分 形 ，这个结论会一 了 。， A x = b ，即 baxaxaxbxxxaaa nnnn 22112121 ),( 即把列向量b添加A的列，得 A的 矩阵（A b） 。 添加的列 被 来的列线性示， 个矩阵的秩 。从 又有（2）“线性方程组 A x = b有解的分必要 是，A与自 的 矩阵秩。”*（3）一个有的 （分 ）是 ，“ A的向量组线性，线性方程组 A x = b一定有解。 ， mn 矩阵A的向量组线性，A至少有一个m 。A的 矩阵是 A多了一列， fi高 的 。故A的 矩阵的秩与A 。线性方程组Ax = b
27、有解。另一方面， A的向量组线性，其中至少有一 被别的线性示。这时，对于齐次线性方程组Ax = 0来currency1，应的那个方程是用的， 。 对于 齐次线性方程组Ax = b ， b的分量之间没有应的线性，会形成。方程组一定解。在计算中，对 矩阵（A b）作初 变换。情形“，A的 一已 向量， 那个b的分量 0，。方程组Ax = b一定解。92 线性方程组Ax = b与其导出组Ax = 0线性方程组Ax = b有解，第二个 是，“方程组有 一解 是“多个解 ”在Ax = b有解时， 算 得 下列结论（1）Ax = b 的一个解加 Ax = 0的一个解，和向量是 Ax = b 的解。“在Ax
28、 = b有解时，有 一解的分必要 是，A的列向量组线性。”“ Ax = b有解，且Ax = 0有 解，Ax = b必定有“多个解。”（2）Ax = b的个解 ，向量是Ax = 0的解。“ Ax = b有解， 通解 x = （Ax = 0的通解）+ 自 的一个特解x* ”， 线性方程组Ax = b的任意一解 x ， 已知它的一个特解x*，xx* 是导出组Ax = 0的解，自 导出组Ax = 0的基础解线性示。另一方面，特解x* 加Ax = 0的任意一个解，和向量总是Ax = b的解。（3） 数之和1，Ax = b的有限个解的线性组合 再是Ax = b的解。这一点”，算线性方程组Ax = b有“多
29、个解，它的解集也与齐次线性方程组的解集有根本的 。它的解集对于线性运算 封闭。 fi给出线性方程组Ax = b的通解形 。但对解集没有理论讨论。例 A是n 方阵，是n维列向量， 0 AB ， )()( ARBR ，（A）线性方程组 AX 必有无穷多解； （B）线性方程组 AX 必有 一解；（C）线性方程组 0yXB 有 解； （D）线性方程组 0yXB 必有 解。分析 方阵 B的 数 A 高一 ， )()( ARBR ， B 是满秩方阵，应的齐次线性方程组必有 解。应选答案（D）。另一方面，对方程组 AX 来currency1， ),( AA ， )()( ARBR 得 )()( ARAR ，
30、从 )()( ARAR ，方程组有解。但是 fi 定矩阵A是 满秩， （A），（B）有 fi。（A）和（B） 是答案。例 矩阵211,111111向量aaaA ，已知线性方程组 AX 有解，但一，求数a的。分析 方程组 AX 有解，但 一，相应的齐次线性方程组必有 解。进 0A 解得 21 aa ；另一方面，对A 作初 变换 aaaaaaaaa201)2)(1(0011011211111111 1a ， 1)( AR ， 2)( AR ，方程组解。 合 意。 2a ， AXARAR 方程组,2)()( 有解但 一。合于 求。10例 6 四元 齐次线性方程组 bAX 的数矩阵的秩3，又已知 32
31、1 , 它的三个解向量，且 )4,3,2,1(,)5,4,3,2( 321 ；求这个方程组的通解。分析 Ax = b的通解 x = （Ax = 0的通解）+ 自 的一个特解x*已知有特解 1 ，完成本 的 是 求出应齐次线性方程组的基础解。 134)( ARn ， ，应齐次线性方程组的基础解 一个 解向量组成。又 )(21,2)( 3232 故bA是方程组 bAX 的一个解向量。这应齐次线性方程组的一个 解向量)3,25,2,23()2,23,1,21()5,4,3,2()(21 321 求通解 )6,5,4,3()325223( 11 cX，cX 例 7 已知方阵 ),( 4321 aaaa
32、A ，其中 432 , aaa 线性，,2 321 aaa 4321 aaaa ，求线性方程组 AX 的通解。分析 4321 aaaa currency1”，方程组 AX 有解 )1,1,1,1(* x已知 currency1”A的秩 3)( AR ，故应齐次线性方程组 0AX 的解集的秩134 ，需要一个 解构成基础解。321 2 aaa 即 02321 aaa ，”应齐次组 0AX 有解)0,1,2,1( 求通解 )1,1,1,1()0,1,2,1( cX例 确定常数 a ，使得向量组)1,1,(,)1,1(,),1,1( 321 aaa 向量组),2(,)4,2(,),1,1( 321
33、aaaa 线性示，但是向量组321 , fi 向量组 321 , 线性示。分析 是三个三维向量的向量组 ， 秩3 ，必定是 价组 。 知向量组 321 , fi满秩， fi是 3R 的大组，它 成的列 0， 此 解得 1a 2必计算另一向量组的秩， 是 个 a 合 意。111a 时，秩 1),( 321 R ，秩 3),( 321 R ，合 意。2a 时， 算知个向量组的秩是2 ， 321 , 被321 , 线性示，个向量组 价，和已知。故 2a 合 意。3 解线性方程组Ax = b解线性方程组Ax = b的程 （1）对 矩阵（A b）作初 变换。把A 三角阵， 是 有解。（2） Ax = b
34、有解，计算 （Ax = 0的解集的秩） = n r(A（3）把n r (A个自 知量逐次n r (A维向量的标正 组。代回齐次线性方程组Ax = 0，解出另 r(A个 知量，添 单位正 组，得 基础解。（4）把n r (A个自 知量 ，代 Ax = b，算得特解x*（5）“组装”线性方程组Ax = b的通解。例 已知线性方程组243214312143214321121053153363132kxxxxxxkxxxxxxxxxx，试 ， 21, kk 时，方程组解 有 一解 有“多解 在方程组有“多个解时，求出它的一解。解 530004220011210132111210513151331631
35、132112121kkkkA（ ）当 21 k 且 12 k 时， 3)( AR )(4 AR ，方程组解。（2）当 21 k 时， 4)()( ARAR ，方程组有 一解。（3）当 21 k 且 12 k 时， 3)()( ARAR ，方程组有“多个解。对（3）， 的三 的位置，选用解方程组0020322121324431432144314321xxxxxxxxxxxxxxxx导出组选 03 x ，解得 方程组的一个特解 )2,0,3,8(* x应齐次方程组解集的秩 1,1)(4 3 xAR 选 ，得基解向量)0,1,2,0( 12方程组的通解 *1 xcX 例 已知下列 齐次线性方程组（）
36、，（ ）（）3314623214321421xxxxxxxxxx（ ）121125434324321txxxxnxxxmxx（ ）求解方程组（），用其导出组的基础解示通解。（2）当方程组（ ）中的 数 tnm , 时，方程组（）与（ ）解。解（ ） 方程组（）的数矩阵 1A ， 矩阵 1A ，对 1A 作初 变换，得 5422100101010013160113111420111A3)()( ARAR ，导出组解向量集秩 134 ，基础解中有一个解向量自 知量 14 x 得导出组基解 )1,2,1,1( 在 方程中 04 x ，算得组（）的一个特解 t，)05,4,2( ，故有通解tt kX
37、)1,2,1,1()0,5,4,2( （k任意常数）（2）把组（）的通解 次代 组（ ）的方程，fl次解得 数 6,4,2 tnm 时组（）的解是组（ ）的解。算，组（ ）的数矩阵的秩 3)( AR ，向量 )1,2,1,1( 也是（ ）的导出组的解， 组（ ）的通解和组（）完。即方程组解。例 线性方程组 bAX 和 BX 解，（A）矩阵A和B必定是满秩矩阵 （B）向量 b 和 线性（C）A的列向量组与B的列向量组 价 （D）A的向量组与B的向量组价分析 选答案（D）。，应的个齐次线性方程组当 也解。 ， 0x 是其中一个导出组的解， *x 是一个解， 0* xx 是解。把一个导出组的 个方程
38、添 另一个导出组中 ， 得 方程组与 方程组解。从 、数矩阵的秩 ，添加的那一必定 数矩阵的向量组线性示。例 2 向量 满足 0, bbA ， rn ,1 是齐次线性方程组0AX 的一个基础解，试 13（ ）向量组 rn , 1 线性； （2）向量组 rn , 1 线性。” （2） 有 1 rn 个数 rnccc , 10 使得0)()( 110 rnrnccc 即 0)( 1011 rnrnrn ccccc端左A ，得 0)( 10 bccc rn ， b ，有数010 rnccc 代 前 ， 基础解的线性性 得 021 rnccc ，再返代回 010 rnccc ，算得 00 c ，即知（
39、2）中的向量组线性。对线性方程组Ax = b解集的 了解 例 （2）告诉 ，线性方程组Ax = b解集中，fi 1 rn 个线性的解向量。这使人忍 会 ，它 是 是解集的大组 ， 有AX= b的通解，即Ax = b的任一解 示X + C + C22 + + C - r- r当 猜 X C+ C （+ ）+ C2（+2）+ + C - r（+- r）即知，需 C = 1-（C + C2 + + C - r）这currency1”，线性方程组Ax = b有“多解时，解集的秩 r +1再有个一习 配合，会清晰。习 3 线性方程组Ax = b有“多解时，其有限个解的线性组合 是解的分必要 是，线性组合 中数总和1（ Ax = b解集对于线性运算 封闭， 再有进一步的理论。）14
