1、雪花曲线中的科克数学问题（ ）将正三角形（1）的每边三等分，并以中间的那一条线段为以底边向形外作等边三角i形，然后去掉底边，得到图（2） ；（ ）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3） ；i（ ）再按上述方法无限多次继续作下去，所得的曲线称为科克雪花曲线（koch snowflake）（1） （2） （3） （4） （5）设图（1）中的等边三角形的边长为 1，并分别将图（1） 、 （2） 、 （3）中的图形依次记作 、 、 、。M23（1） 求 中的边长 ；nnN（2） 求 中每条边的长度 ；T（3） 求 的周长 ；nnL（4） 求 所围成的面积 ；MS（5） 求周长和面积的
2、极限。解：从科克雪花曲线的生成过程不难发现：（1） 因为每个圆形中的一条线段在后一个圆形中变成四条线段，所以 的递推公式nN为 ， ，1143nnN2其通项公式为 1nn（2） 因为圆形中的每条线段长度在后一个圆形中变为原长的 ，所以 的递推公式13nT为 。113,(2)nnT其通项公式为 。13nnT（3） 因为 ，所以 的通项公式为nnLNnL。143nn（4） 为了便于表述，将图形（1）中的正三角形的面积记作 则 。1A34当由 生成 时，在 的每一条边上多了一个面积为 的小等1nMn1nM 21nT边三角形，这些小等边三角形的面积之和为 ，其中 的面积为 。21nNTA134于是得到
3、科克雪花曲线面积的递推公式：211nnANTA2221nTA.2211231nTN把 代入上式，经简化得113,4,nnN21499nnAA 21134143n 1953nA1234509n容易验证： 等。12,43A（5） 由周长 和面积 的表达式可知nLn。143nnL当 n 无限增大时，也随之无限增大。因为 ，所以14lim09nn1 123423423lili lim5095095n nn nA 注释: 科克雪花曲线图形与高中二年级的数列知识联系起来，不仅运用了数学数列的递推公式，还涉及到一定的递推思想，找到一定的规律并解出问题。此外，科克雪花曲线图形与新兴的分形几何有一定的联系，分形
4、几何中最典型的例子就是“英吉利亚海岸线有多长？”的提出，随之，分形几何这个名词诞生。根据分形几何的原理，用有足够精度的尺子去度量海岸线的长度，那么只要尺子的精度足够小，海岸线的周长就可以无限的长。也就是说，海岸线的面积有上限，而它的周长却可以无限的长。这里，科克雪花曲线图形就是这样，将其边长无限的分割下去，那么它的面积有限，而周长却是无限的。但可以根据数列极限求出其和函数。当我们对它无限分割的时候，这时整个图形的边缘看起来就好像是雪花的形状，这也就是它为什么叫做雪花曲线图形的原因。这个数学问题有趣之处在于它不仅代表了一门学科的发展，而且，还从数学图形中得到了优美的雪花图形，这在数学问题中是很少见的。
