1、1高等数学上册期末复习一.填空题1. xex2sincolm30 232.曲线 的拐点是 y ),(2e3.设 在 处可导且 则 )(xf 0)fxflim)0(f4.曲线 在 处的切线方程为 xy2cos121,(1yx5.曲线 有垂直渐近线 和水平渐近线 1x6.设 可导， ，则 )(uf )(sin2xefydy dxefefx)(2sin#7. dxe40 18.若 ，则 3)(f hxffh )3()(lim00 19.若 收敛，则 的范围是 xp1 1p#10. 1)2(lix e11.设 ，则 cxFdf(dxf)2( cxF)2(#12.设 的一个原函数是 ，则 )(flnf
2、ln4213.设 ，则 0,)(2xf1)(dxf61#14.过点 且切线斜率为 的曲线方程为 31 2xy15.已知函数 ，则当 时，函数 是无穷小；当0,sin)(xaf x)(f时，函数 在 处连续，否则 为函数的第 （一）类间断点。a1)(f 016.已知 ，则 cxFdf)()(dxfx)(arcsin12 cxF)(arsin217.当 时， 与 是等价无穷小，则 0x1)(32axxcosa23#18. 是连续函数，则 0,sin)(303xadtfx 119. 在 上连续，且 ，则 )(xf1 )(,)1(02dxff 10)(dxfx21提示： 0)(dxf 100 )(f，
3、移项便得。121 )()( xxfxf#20. ，则 ， ex02)e)1(e21. ，则 df1)(2(fx21提示： 2)(fxf22.曲线 在点 处的切线平行于直线 ，则 y(, 13xy)2(f3#23.设 ，则 xxfarctn)(,0fxf)(lim00 )1(0x24. 的水平渐近线是 3l2y 3y25.函数 的导数为 x)1(lnx26. de0221#27. xx)sin(128.广义积分 d132129. 的积分曲线中过 的那条曲线的方程 _x)(f),(12x#30.设 为曲线 与 及 轴所围成的面积，则 sxylne,1xs)1(42e31. dxf)2( cf)2(
4、332.曲线 的全部渐近线为 )1ln(xey exy1,0#33.曲线 与 所围图形绕 轴旋转一周所成的旋转体体积 2 10334.点 到平面 的距离为 )1,0( 02zy3535.设向量 ，则当 时， ；当 kjibkjia4,210ba。b/,本题不作要求 36.空间曲线 在 平面上的投影曲线方程为 )(3122yxzo0412zyx37.设 ，则 3),(,5baa ba219238.设向量 ，则 在 上的投影为 5,4,21 239.已知向量 和向量 共线，则 kjimknjimn,155140.设平行四边形二边为向量 ，则其面积为 3,12,31ba 0341.设点 ，向量 的方
5、向余弦为 ，42),04(BABA14cos,14cos，则 点坐标为 1cos )1,20(本题不作要求 42.曲线 绕 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为 23zyx1232yzx43.设 且 ，则 ,baa/bba,6044.设 = 022dx)1(f,x,)(f 54#45. )x(,dt(sin)x(0sinx二.选择题1.设 ，则 的值为（ ） 205)1(limnn , C0,24.A4,1.B2051,4.2051,4.D#2.设 ，在 处( ) 0,cos)(2xxf xA连续，不可导 连续，可导 可导，导数不连续 为间断点. C.3.曲线 在 处的切线与 轴正方向的夹角为（ ）
6、 ysin2 B.A4.B0.1.D4.设 在 上连续， 内可导， ，则至少存在一点 ，)(xf1,0),( 0)1(,(ff )1,0(有 ,FxfRole中)()(.ffA.B)(f.C)()(ff.D)(ff#5.若 ，则 （ ） 032ba 0)(23cbxaxf B无实根 有唯一实根 三个单实根 重根.#6.函数 在 处取得极大值，则（ ） )(xf0或不存在.0A)(.xfB.C0)(xf)(,xf.D0)(xf7.设 的导函数为 ，则 的一个原函数为（ ） )(xfsinsin1.cos1.sin.#8.设 ,则 （ ） ttfcos)(ldtf)(AttAins. cttBos
7、in. cttC)sin(o. ctDsin.9.设 连续， ，则 （ ） )(xf20)()(xdfF)xFC.4.42(.4f)(2.xf10.下列广义积分收敛的是（ ） C5dxAeln. dxBeln1. dxCe2)(ln1. dxDeln1.#11 （ ） 0x发散2.4.D12.下列函数中在区间 上不满足拉格朗日定理条件的是（ ） 3,0 C1.2xA)1cos(.xB)1(.2xC)1ln(.x13.求由曲线 ,直线 所围图形的面积为（ ）yln0l,ln,0abyaCbaA.2.aBbC.D.#14.若 ，则 （ ） cedxf11)( )(xfBx.221.15.点 关于坐
8、标原点的对称点是（ ） )1,3(MA,.A)1,.(B)1,3.(C)1,23.(D16.向量 与向量 的位置关系是（ ） ba C共面 平行 垂直 斜交17.设平面方程为 ，其中 均不为零，则平面（ ） 0DzAxA, B平行于 轴 平行于 轴 经过 轴 经过 轴By.Cx.Dy18.设直线方程为 且 ，则直线（ ）0211zx 0,211BC过原点 平行于 轴 垂直于 轴 平行于 轴.A.Bx.Cy.Dz19.直线 和平面 的位置关系为（ ） 3742zyx32z C斜交 垂直 平行 直线在平面上20.已知 ，则在 处 （B）1)(lim2axfa ax6. 导数存在且 . 取极大值 .
9、 取极小值A)(xf 0)(afB)(xfC)(xf. 导数不存在D三.计算题#1. # 2. )1sincol(im20xx241cos0lnimxtd813. 4. )(li22x 0xx10)(li 21e#5. tan)1lixx6. 求 =1xlim0解：一）原式 ，1limli1ln)(i 0ln000 exxxx二）原式 ,l,li,li ln0l0 exxx。17.设 为连续函数，计算 )(f xaxdtf)(lim2 )(2af8. dxsinl coslnsin(l9. 10. 02co12dxax202416a11.设 ，求 xycs)(iny sincoilsin)(s
10、icox#12.设 ，求 0o20l0xttdeyd213.设 在 上连续，求积分)(f1, xfxf sin)(cos)(co2 2提示：原式 22 )(sinco)(s dfxf 22 cos)()(in)(cos xdffdxf )0(2f714. dx84132 cxx2arctn584ln2315.设 ，其中 可导，且 ，求 )(3tefyf0)(f0tdy3#16. dx23)1(arcsin cxx221lnarcsin17. 04sii提示：原式 1cosincosn002 dxdx18. 发散 19. dx20)1( e2ln0 )41(220. 21. 2xcx1aros
11、xd423cos)( 322. 23. d3ln2ln(3)ex2ln031ln2#24. 25. )1(2xxearctxxed26.设 ，求f )(fln27. dxcos3533sicox28. 1arin22arin1lxc29. xd3322()()#30. )1(010lnlxc#31.已知 的一个原函数为 ，求xf ln)si(dx)(fcoslnsi1x32. dx12l()c#33. )(lln14artnxxc8#34. 35.dxex20cossin2dxax0214本题不作要求 36.已知 为连续函数，令)(试讨论 在 处的连续性与可微性。0x,)1(lndtut)x(
12、f20t2 )(xf0中#37.设 在 上可导，且满足 ，证必存在一点 ，使)(xf1, 210dx)(f)(f )1,0(。中中Role#38.设 在 上连续，单调减且取正值，证：对于满足 的任何 有)(xf1,0 10,。dx)(fd0 00 ()()()()(ffxdfxdfxdfxx中39.设 在 上连续，单调不减且 ，试证：,)(f在 上连续且单调不减。 （ ）0x,dt)(f1)x(F0n,0n40. )el113112 211(nln()ln()xt t x xdededx 中#41.设 ，求 。e)f2xt0f()442. 43.dtx10312tx)(,badxb20x44.
13、设 在 上连续，且对 ，求)(f),)()(, yfyfdx129()fx中#45. deIx421sin222222 224isinsi(1)sin(),()1snii(i1i xxx xx eefffed 中中46. 31sinlim602xtxe47.设向量 ，向量 满足 ，且2,1,cba rbra,14Prjc求向量 。 14,048.1）求过 轴和点 的平面方程， z)23( 03yx2）求过三点 的平面方程。 ),6(,RQP 126z49.求过点 且垂直于平面 的平面方程。)1(,( 6532zyx0639zyx50.求过点 且通过直线 的平面方程。)2,(A1254:zL59
14、8zyx51.求与平面 平行且与三坐标所构成的四面体体积为 的平面方程。0 1322zyx52.求过点 且与直线 平行的直线方程。)0,4(M0231:zyxL132zyx53.求点 在平面 上的投影。 )0,(A1zyx )32,5(1054.求过直线 且与平面 成 角的平面方程。045:zxyL 01284zyx41270yx本题不作要求 55.若动点到坐标原点的距离等于它到平面 的距离，该动点轨迹表示何z种曲面？ 旋转曲面1682zyx四.列表讨论函数 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。xe#五.设 ，求 在 内的表达式。orxxf0,sin21)( xdtf0)()(),
15、xdtfx,1)(cs2,)()(0六.设 在 内连续，证明 。)(f), )()(0 afxdtftdx 七设 20,2:;,22:1 yDyxayD1.试求 绕 轴旋转得旋转体体积 ； 绕 轴旋转得旋转体体积 ；x1VV2.问当 为何值时 得最大值？并求该最值。a12， ， ，)3(5451V4a1(529)max2八.已知 ，求 。xxf 22tncossin f提示： ，uuff 12)(si1i)(i 222cxf1ln)2九.设 与 相交于第一象限（如图） 。cy21.求使得两个阴影区域面积相等的常数 ；c2.在 1 的情况下，求区域 绕 轴旋转的旋转体体Ix积。提示： ，IIIs
16、sIY X0C II IIII (b,c)11，又 ，2020 31)(bcdxcdxbb 2bc, ，43, ,221xxy。201V#十.设 ，证： 。0cos)()(xdfxf 2)(0dxf提示：设 ，Af0 2十一.设直线 与直线 及 所围成的梯形面积为 ，求 ，使这baxy1,xyAba,块面积绕 轴旋转所得体积最小。 )0(ba提示： ，bdxaAdxbaV 2)(,3)( 1022102时，体积最小Aba,#十二.求抛物线 在 内的一条切线，使它与两坐标轴和抛物线12xy),0(所围图形的面积最小。12xy提示：切线 ，)1,0(),21(),(2)( 22 xBxAXxY，3
17、)()1()12022 sdxs所求切线为 34y十三.求通过直线 与平面 的交点，且与平面12zx15zyx垂直相交的直线方程。 05432zyx 47324zyx十四.证明 在区间 内有唯一的实根。102xd),0(提示：令 ，再证唯一性。1)( FFx12本题不作要求 十五.设 可导，且 ，证：)(xf dtxftxFf nn)()(,0)(01021)(lim0nxF010 011()()()()n nnxtux xnxtftdfdufdu 中十六.设 满足 求 。,)x(02,2f2x(1)0x,中十七.证： 连续， ，并求 。)(,df1d)(fx2a02a03ad)(sin220
18、322322000()()()1xtaaaffft中十八.求 的最大、小值。dtex20 2,e中十九.已知 求 。,5)(f,3)(,1f10dx)2(f二十.已知 求 。,2dxsin0xsin0221中中二十一.设 ,求 。dte)x(f210d)(f4中二十二. 求 。tlnx21(ln)x二十三.1)设 在 上连续，在 内可导，且 ，证：)(xf,),( 1)(f0,f。dd)(f103102()1fx中2)设 ，证： 。,)(baCxfdxfabba )(22提示：2()(),0xxFftdftb中#3)设 ，且 ，证：,)(baxf 0)(xf 2)()1)(adxfxfbaba
19、 21()()()()xxaaFftdtFf中134) 设 ,且严格单调增加，证： 。)(baCxfbabadxfdxf)(2)(2()xxaaFtfdftdF中5) 设 在 上可导，且 ，证： 。)(xf, 0)(,(Mf 2)()(bMxfba ,()()bbaa xffdfxd 中二十四. 设 在 上连续，在 ),0(内可导，且,0，证明： 一个 ，使得 。sin)(cos)(00 xfxf ),0(0)(f证：在 ,内 ，由 可知， 在 内不能恒正或负，isi)(0dxf xf由于 的连续性可知 在 ,内必有零点。若能证明零点有两个以上，则可由罗)(xfxf尔定理可得证。反证：若 是 的唯一零点，则当 ,),0(f 0x就恒正或负，于是 ，sin(xf )(sin(0df而 xxxdico(i)( 000，矛盾，)(snsico0fxfx所以 在 ),(内至少有两个零点，由罗尔定理便得证。f
