1、数学必修四专项练习系列第 1 页共 12 页专项练习1 三角函数的图像和性质（一）三角函数的定义域、值域、最值【1.1】函数 xy sin1 的定义域是A. R B. 0,| xRxx C. ZkkxRxx ,| D. 1,00,1 【1.2】函数 32,6,sin xxy 的值域是_.【1.3】已知函数 4,0,42sin xxy ，当 x _时，函数有最小值 y _.【1.4】（易错题）求函数 xxy sin3cos2 的最大值.【1.5】（易错题）已知 4| x ，求函数 xxy sincos2 的最小值.【1.6】求函数 2cos 1cos3 xxy 的值域奎屯王新敞新疆【1.7】求下
2、列函数的值域（1） 1cos2 cos xxy ； （2） x xxy sin1 cossin2 2【1.8】求下列函数的定义域和值域.（1） xy sinlg ； （2） xy 3cos2【1.9】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合.（1） xy cos21 ； （2） 1coscos2 xxy数学必修四专项练习系列第 2 页共 12 页（二）三角函数的周期、对称轴【1.10】函数 sin(2 )3y x 图像的对称轴方程可能是（ ）A. 6x B. 12x C. 6x D. 12x 【1.11】求下列函数的最小正周期：（1） xy sin ， Rx ；（
3、2） |)32sin(| xy ， Rx ；（3） )321sin(3 xy ， Rx ；（4） )332cos(2 xy ， Rx ；（5） xy 2tan ， Rx ；（6） )321tan(3 xy ， Rx .【1.12】已知函数 )0)(sin(2 xy 在区间 2,0 的图像如右图：那么 （ ）A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3【1.13】（易错题）函数 |31)32sin(| xy 的最小正周期是（三）三角函数的单调性、奇偶性【1.14】函数 ),0)(26sin(2 xxy 为增函数的区间是_.【1.15】函数 )34sin( xy 的单调增区间是_.【1.16】函
4、数 4sin xy 在_区间上是增函数.【1.17】设函数 )0( )2sin()( xxf ， )(xfy 图像的一条对称轴是直线8x. 求：（1）；（2）函数 )(xfy 的单调增区间.【1.18】 判断下列函数的奇偶性：（1） )252cos()( xxf ； （2） )sin(cos)( xxf ； （3） xxxf sin1 sin1)( 数学必修四专项练习系列第 3 页共 12 页（四）三角函数图像变换【1.19】（易错题）为了得到函数 62sin xy 的图象，可以将函数 xy 2cos 的图象( )A. 向右平移 6 B. 向右平移 3 C. 向左平移 6 D. 向左平移 3【
5、1.20】下列三个函数 xy 2tan ， xy 2cos ， xy 4sin ，其中以点 )0,4( 为中心对称的函数是_.【1.21】先将函数 xy 2sin 的图象向右平移 3 个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为（ ）A )32sin( xy B. )32sin( xy C. )322sin( xy D. )322sin( xy（五）三角函数图像和性质综合【1.22】（易错题）函数 xy tan 在它的定义域内是增函数。若 , 是第一象限角，且 tantan, 则 。函数 )sin( xAy 一定是奇函数。函数 )32cos( xy 的最小正周期为
6、 2 。上述四个命题中，正确的命题是_.【1.23】右图为 )sin( xAy )2( 的图象的一段，求其解析式。【1.24】已知函数 )2|,0,0)(sin()( AxAxf 的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 )2,( 0x 和 )2,3( 0 x .(1)试求 )(xf 的解析式；(2)将 )(xfy 图象上所有点的横坐标缩短到原来的31（纵坐标不变），然后再将新的图象向x轴正方向平移 3 个单位，得到函数 )(xgy 的图象.写出函数 )(xgy 的解析式.数学必修四专项练习系列第 4 页共 12 页【1.25】设 )|,0,0)(sin( AxA
7、y 最高点D的坐标为 )2,2( ，由最高点运动到相邻的最低点时，曲线与x轴交点E的坐标为 )0,6( .(1)求A、的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间【1.26】函数 )sin()( xAxf 的图象如下图，试依图指出：(1) )(xf 的最小正周期；(2)使 0)( xf 的x的取值集合；(3)使 0)( xf 的x的取值集合；(4) )(xf 的单调递增区间和递减区间；(5)求使 )(xf 取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心数学必修四专项练习系列第 5 页共 12 页专项练习2 平面向量的运算（一）向量的线性运算【2.1】下列命题中正确的是（ ）A
8、. OA OB AB B. 0AB BA C. 0 0AB D. AB BC CD AD 【2.2】若ABCD是正方形，E是CD的中点，且 aAB ， bAD ，则 BE ( )A. ab 21 B. ab 21 C. ba 21 D. ba 21【2.3】如左下图， ABC 中，AD DB ，AE EC ，CD与BE交于F，设 aAB ，AC b ，AF xa yb ，则( , )x y 为（ ）A. 1 1( , )3 3 B. 2 2( , )3 3C. 1 1( , )2 2 D. 2 1( , )3 2【2.4】如右上图，已知 aAB ， bAC ， DCBD 3 ，用a，b表示AD
9、，则AD_.【2.5】D是ABC的边AB上的中点，若 BCyBAxCD ，则 yx _.【2.6】设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12 AB，BE23 BC.若ACABDE 11 (1，2为实数)，则12的值为_【2.7】若菱形ABCD的边长为2，则 | CDCBAB _.【2.8】请化简下列各式：(1) FABCCDDFAB _；(2) OMBCBOMBAB _.【2.9】已知a与b是两个不共线向量，且向量 ba 与 )3( ab 共线，则_.【2.10】已知向量a和向量b不共线，实数x，y满足 byxabayx )2(54)2( ，则 yx _.【2.11】设两非零
10、向量a、b不共线，如果 baAB ， )(3 baCD ， baBC 82 .求证：A、B、D三点共线第2.3题图 第2.4题图数学必修四专项练习系列第 6 页共 12 页【2.12】如图所示，在平行四边形ABCD中，点M 是AB边中点,点N在BD上且BDBN 31 ,求证: M 、N、C三点共线.（二）向量的坐标运算【2.13】已知点 (6,2)A ， (1,14)B ，则与AB共线的单位向量为（ ）A 5 12( , )13 13 B )1312,135( C )1312,135( 或 )1312,135( D )135,1312( 或 )135,1312(【2.14】已知点A(1,3)，
11、B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为（ ）A )54,53( B )54,53( C )54,53( 或 )54,53( D )53,54( 或 )53,54(【2.15】设点 )6,3( P ， )2,5(Q ，R的纵坐标为 9 ，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（ ）A. 9 B. 6 C. 9 D. 6【2.16】已知平面向量 )2,1(a ， ),2( mb ，且a b ，则2 3a b （ ）A. ( 5 10) ， B. ( 2 4) ， C. ( 3 6) ， D. ( 4 8) ，【2.17】已知向量 )4,3(a ， )cos,(sin b ，且ab，则 tan
12、 等于（ ）A. 43 B. 34 C. 34 D. 34【2.18】若向量 )3,2(a ， )6,( xb ，且ab，则实数x_.【2.19】已知向量 )3,2(a ， )2,1(b ，若 )( bnam )2( ba ，则 nm等于_.【2.20】在平面直角坐标系中，已知向量 )1,2(AB ， )5,3(AC ，则BC的坐标为_【2.21】平面内给定三个向量 )2,3(a ， )2,1(b ， )1,4(c .(1)求满足 cnbma 的实数m，n；(2)若 )( cka )2( ab ，求实数k.数学必修四专项练习系列第 7 页共 12 页（三）向量的数量积运算【2.22】已知 )3
13、,2(a ， )7,4(b ，则 a在b上的投影为（ ）A. 13 B. 513 C. 565 D. 65【2.23】已知向量 )2,1( a ， )2,(xb ，若 ba ，则 b （ ）A. 5 B. 52 C. 5 D. 20【2.24】a，b为平面向量，已知 )5,2(2),3,4( baa ，则 ba （ ）A. 2 B. 2 C. 1 D. 1【2.25】若平面向量 )2,1( a 与b的夹角是 0180 ，且 53b ，则b等于（ ）A. )6,3( B. )6,3( C. )215,15( D. )215,15( 【2.26】已知向量a，b满足 1a ， 4b ，且 2ba ，
14、则a与b的夹角为（ ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 2【2.27】已知向量a与b的夹角为 060 ，且 1a ， 2b ，那么 2ba 的值为_.【2.28】若向量a、b满足 1a ， 2b ，且a与b夹角为 32 ，则 | ba _.【2.29】已知 4a ， 8b ，a与b的夹角为 0120 ，则 |2| ba _.【2.30】已知向量a(3,2)，b(1,0)，且ab与a2b垂直，则实数的值为_.【2.31】设向量a与b的夹角为，且 )3,3(a ， )1,1(2 ab ，求 cos 的值.【2.32】已知 ABACAB ,4|,3| 与AC的夹角为 060 ，求AB与 ACAB
15、的夹角余弦.数学必修四专项练习系列第 8 页共 12 页（四）平面向量与三角函数、解析几何等问题的综合【2.33】已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、(c,0)（1）若c=5，求sinA的值；（2）若A为钝角，求c的取值范围.【2.34】设函数 baxf )( ，其中向量 Rxxbxma ),1,2sin1(),2cos,( ，且函数)(xfy 的图象经过点 2,4 .（1）求实数m的值；（2）求函数 )(xf 的最小值及此时x的值的集合.（提示：本题需用到两角和正弦公式）数学必修四专项练习系列第 9 页共 12 页专项练习3 三角恒等变换三角恒等变换这部分内容比较
16、具有挑战性，不仅涉及的公式多，而且变换的技巧性也很高，往往需要很强的数学分析能力和较灵活的思维，因此要学好这部分内容，除了需要勤做练习外，平时还要注意总结相关知识和归纳相关规律。这里只给出部分知识点及相关练习题，旨在引导同学们思考，激发思维，进一步强化数学分析能力，望能抛砖引玉。（一）给角求值【3.1】请计算：（1） 165cos15sin （2） 13sin43cos13cos43sin （3）sin15 sin30 sin75 （4） 345cos（二）利用三角函数求值【3.2】已知 ( ,0)2x ， 4cos 5x ，则 x2tan （ ）A. 247 B. 247 C. 724 D.
17、 724【3.3】设 31)4sin( ，则 2sin ( )A. 97 B. 91 C. 91 D. 97数学必修四专项练习系列第 10 页共 12 页（三）通过角的重新组合求三角函数值【3.4】若 20 ，且 31cos ， 97)sin( ，则 sin 的值是( )A. 271 B. 275 C. 31 D. 2723【3.5】已知已知 3)tan( ， 5)tan( ，则 2tan （ ）A. 47 B. 47 C. 74 D. 74【3.6】已知 52)tan( ， 41)5tan( ，求 )5tan( 的值（四）根据正弦、余弦函数前面的系数特点利用辅助角求值【3.7】已知 41)6
18、sin( ，则 sin3cos 的值为（ ）A. 41 B. 21 C. 2 D. 1【3.8】 2 cos 6 sinx x 等于（ ）A. 2 2 cos( )6 x B. 2 2 cos( )3 x C. 2 2 cos( )6 x D. 2 2 cos( )3x 【3.9】若 3sin cos 4 ,x x m 则实数m的取值范围是（ ）A. 2,6 B. 6,6 C. 2,6 D. 2, 4【3.10】若 3sin 3cos 2 3sin( ), ,x x x y y ，求y的值.数学必修四专项练习系列第 11 页共 12 页【3.11】化简下列各式：（1） 12cos312sin
19、； （2）sin cos ；（3） 2 6sin( ) cos( )6 3 6 3 ； （4） xxx cossin322cos （五）运用两角和与差公式【3.12】已知 )2,23(,53cos ，求 )3cos( .【3.13】已知 54coscos,53sinsin ，求 )cos( （六）利用二倍角公式进行降幂或升幂【3.14】函数 xxxy cossincos2 的最大值是( )A. 212 B. 212 C. 32 D1【3.15】已知 31)6sin( ，则 )232cos( 的值是( )A. 79 B. 13 C. 13 D. 79数学必修四专项练习系列第 12 页共 12 页
20、（七）三角恒等变换在解三角形及向量中的应用【3.16】在 ABC 中， 53sin A ， 135cos B ，则 Ccos （ ）A. 1665 B. 5665 C. 1665或5665 D. 无解【3.17】在 ABC 中， BABA tantan33tantan ，则C等于( )A. 3 B. 32 C. 6 D. 4【3.18】在 ABCRt 中， 090C ，求 BAsinsin 的最大值.【3.19】 若 ABC 的内角A满足 322sin A ，求 AA cossin 的值.【3.20】已知向量 2sin ,cos , 3cos ,2cosa x x b x x ，定义函数 (
21、) 1f x a b 求函数 )(xf 的最小正周期.数学必修四专项练习系列- 1 -数学必修四专项练习系列 参考答案及解析专项练习1 三角函数的图像和性质1.1.C 1.2. 1,211.3. 40 或x 22y1.4.解析：ycos2x3sinxsin2x3sinx1(sinx23)2 4131sinx1，当sinx1时，ymax3说明：解此题易忽视sinx1，1这一范围，认为sinx23时，y有最大值 413，造成误解奎屯王新敞新疆1.5.解：ysin2xsinx1(sinx21)245 4 x 4 22 sinx 22当sinx 22 时ymin( 22 21)245 2 21说明：解
22、此题注意了条件x 4 ，使本题正确求解，否则认为sinx1时y有最小值，产生误解 奎屯王新敞新疆1.6.解：由已知：cosx yy3 12 yy3 12 cosx1( yy3 12 )213y22y802y34 ymax34，ymin21.7.(1) yyx 21cos 121 2 yy数学必修四专项练习系列- 2 -即 0)13)(1( yy 131 yy 或(2) 21)21(sin2sin1 cossin2 22 xx xx 1sin1 x ，所以 214 y1.8.(1)要使lgsinx有意义，必须且只须sinx0，解得2kx(2k+1)，kZ又0sinx1， -lgsinx0定义域为
23、(2k，(2k+1)(kZ)，值域为(-，0（2）答案： 2,0y1.9.（1） 1cos1 x当 1cos x 时， 21max y这时x的集合为 Zkkxx ,2| 当且仅当 1cos x 时， 21min y这时x的集合为 Zkkxx ,2| （2） 4321cos1coscos 22 xxx 1cos1 x 所以当 4321cos min yx 时，这时x的集合为 Zkkxx ,322| 当 31cos max yx 时，这时x的集合为 Zkkxx ,2| 1.10.D 1.11.（1） 2T （2） 2T （3） 4T （4） 3T （5） 2T （6）2T1.12.B 1.13.
24、1.14. 65,3 数学必修四专项练习系列- 3 -1.15. 12732432 kk ， （ Zk ）1.16.2k 3 x2k 4 (kZ)1.17.解析：（1） )(8 xfyx 是函数 的图像的对称轴， ,1)82sin( , .4 2k k Z .43,0 （2）由（1）知 ).432sin(,43 xy因此由题意得 .,2243222 Zkkxk 所以函数 )432sin( xy 的单调增区间为 .,85,8 Zkkk 1.18.（1）奇函数 （2）偶函数 （3）非奇非偶函数1.19.B 1.20. 1.21.D 1.22.1.23.解析：以M为第一个零点，则A= 3，2 所求解
25、析式为)2sin(3 xy点M（ )0,3 在图象上，由此求得 32 所求解析式为 )322sin(3 xy1.24.解析：（1）由题意可得：6T 2A ， )31sin(2)( xxf ，函数图像过（0，1）， 21sin ， 2 ， 6 ，)63sin(2)( xxf ；（2） )6sin(2)( xxg1.25.数学必修四专项练习系列- 4 -y单调递增故递增区间为16k-6，16k+2，kZy单调递减故递减区间为16k+2，16k+10，kZ1.26.注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中注：实际上f(x
26、)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0数学必修四专项练习系列- 5 -专项练习2 平面向量的运算2.1.D（解析：起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA OB BA ；,AB BA 是一对相反向量，它们的和应该为零向量， 0AB BA ）2.2.B（解析： 1 1 12 2 2BE BC CE AD CD AD AB b a）2.3.A 2.4.14a34b 2.5. 21 2.6. 21 2.7.22.8.（1）0 （2）AC 2.9. 31 2.10.12.11.2.12.提
27、示：可以证明MC 3MN 2.13.C 2.14.B 2.15.D 2.16.D 2.17.A 2.18. 4 2.19. 21 2.20. )4,1(2.21.解析：(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以m4n3，2mn2， 得 m59，n89.(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0.k1613.2.22.C 2.23.B 2.24.C 2.25.A 2.26.C 2.27.7 2.28. 3 2.29. 38 2.30. 71数学必修四专项练习系列- 6 -2.31.解: , , 2 2 , 3,3 2 3, 2 3 1,1 .
28、b x y b a x y x y 设 由 2 3 1 1, 1,2 .2 3 1 2.x x by y 得 2 2 2 23 1 3 2 3 10cos , .103 3 1 2a ba b a b 2.32. 13132.33.解：（1） ( 3, 4)AB ， ( 3, 4)AC c ，若c=5， 则 (2, 4)AC ， 6 16 1cos cos , 5 2 5 5A AC AB ，sinA2 55 ；（2）A为钝角，则 3 9 16 0,0,cc 解得 253c ，c的取值范围是 25( , )3 2.34.解：（1） ( ) (1 sin 2 ) cos 2f x a b m x
29、 x ，由已知 1 sin cos 24 2 2f m ，得 1m （2）由（）得 ( ) 1 sin 2 cos 2 1 2 sin 2 4f x x x x ，当 sin 2 14x 时， ( )f x 的最小值为1 2 ，由 sin 2 14x ，得x值的集合为 3 8x x k k Z，数学必修四专项练习系列- 7 -专项练习3 三角恒等变换3.1.(1) 22 (2) 21 (3) 81 (4) 4 263.2.D 3.3.A 3.4.C 3.5. 74 3.6. 223 3.7.B 3.8.D 3.9.A 3.10. 63.11.(1) 2 (2) )4sin(2 （3） )32s
30、in(32 （4） )32cos(2 x3.12. 10 343 3.13. 21)cos( 3.14.B 3.15.A3.16.A 3.17.A3.18.最大值为12 1 1sin sin sin cos sin 22 2A B A A A 3.19.解析： sin 2A2sin Acos A23，0A，sin A0，cos A0，sin Acos A （sin Acos A）2 1sin 2A 123 153 .2.20.解析： 1cos2cossin321)( 2 xxxbaxf )62sin(2 )6sin2cos6cos2(sin2 )2cos212sin23(2 2cos2sin3 2cossin32 x xx xx xx xcoxxx 22T
